Determine o valor de \frac{d^2}{dx^2}(e^{x^2}). a) 2e^{x^2} b) 4xe^{x^2} c) 2xe^{x^2} + 2e^{x^2} d) e^{x^2}

Para determinar o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(e^{x^2})\), precisamos calcular a primeira e a segunda derivada da função \(e^{x^2}\). 1. Primeira derivada: Usamos a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \] 2. Segunda derivada: Agora, derivamos a primeira derivada: \[ \frac{d^2}{dx^2}(e^{x^2}) = \frac{d}{dx}(2xe^{x^2}) \] Usamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(2xe^{x^2}) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x^2} + 2x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x^2}) = 2e^{x^2} + 2x \cdot (2xe^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} \] Podemos fatorar \(e^{x^2}\): \[ = e^{x^2}(2 + 4x^2) = 2xe^{x^2} + 2e^{x^2} \] Portanto, a resposta correta é: c) \(2xe^{x^2} + 2e^{x^2}\)