Determine z tal que |z| = 4 e Arg(z) = π/3. a) 2 + 2i b) 4cos(π/3) + 4i sin(π/3) c) 4 - 4i d) -2 + 2√3i

Para determinar o número complexo \( z \) que satisfaz \( |z| = 4 \) e \( \text{Arg}(z) = \frac{\pi}{3} \), podemos usar a forma polar do número complexo: \[ z = |z| \cdot (\cos(\text{Arg}(z)) + i \sin(\text{Arg}(z))) \] Substituindo os valores dados: \[ z = 4 \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \] Sabemos que: - \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) - \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Portanto: \[ z = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ z = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ z = 2 + 2\sqrt{3}i \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 2 + 2i \) - Não é a resposta correta. b) \( 4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 4i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \) - Esta é a forma correta que encontramos. c) \( 4 - 4i \) - Não é a resposta correta. d) \( -2 + 2\sqrt{3}i \) - Não é a resposta correta. Portanto, a alternativa correta é: b) \( 4\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 4i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \).