Se z^3 = -8, quais são as soluções z? A) 2 e^{iπ/3} B) 2 e^{i5π/3} C) 2(-1) D) -2

Para resolver a equação \( z^3 = -8 \), podemos reescrever \(-8\) na forma polar. O número \(-8\) pode ser expresso como \(8 e^{i\pi}\) (já que está localizado no eixo negativo real). Agora, para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula: \[ z_k = r^{1/n} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right) \] onde \( r = 8 \), \( \theta = \pi \), \( n = 3 \) e \( k = 0, 1, 2 \). Calculando: 1. \( r^{1/3} = 8^{1/3} = 2 \) 2. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 0}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 0}{3}\right) \right) = 2 e^{i\pi/3} \] 3. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{3}\right) \right) = 2 e^{i\pi} = -2 \] 4. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 4\pi}{3}\right) \right) = 2 e^{i5\pi/3} \] Assim, as soluções são \( 2 e^{i\pi/3} \), \(-2\) e \( 2 e^{i5\pi/3} \). Analisando as alternativas: A) \( 2 e^{i\pi/3} \) - é uma solução. B) \( 2 e^{i5\pi/3} \) - é uma solução. C) \( 2(-1) \) - é igual a \(-2\), que é uma solução. D) \(-2\) - é uma solução. Portanto, as soluções corretas são: - A) \( 2 e^{i\pi/3} \) - B) \( 2 e^{i5\pi/3} \) - C) \(-2\) - D) \(-2\) Se você precisa de uma única resposta correta, a alternativa D) \(-2\) é uma solução direta e simples.