Considerando z = re^{iθ} onde r = 2 e θ = π/6, qual é z^3? A) 8e^{iπ/2} B) 8e^{iπ/18} C) 8e^{iπ/3} D) 8e^{iπ/4}

Para resolver a questão, vamos usar a forma polar do número complexo \( z = re^{i\theta} \), onde \( r = 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{6} \). Primeiro, precisamos calcular \( z^3 \): \[ z^3 = (re^{i\theta})^3 = r^3 e^{i3\theta} \] Substituindo os valores de \( r \) e \( \theta \): \[ z^3 = (2)^3 e^{i(3 \cdot \frac{\pi}{6})} = 8 e^{i\frac{3\pi}{6}} = 8 e^{i\frac{\pi}{2}} \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 8e^{i\frac{\pi}{2}} \) - Correto. B) \( 8e^{i\frac{\pi}{18}} \) - Incorreto. C) \( 8e^{i\frac{\pi}{3}} \) - Incorreto. D) \( 8e^{i\frac{\pi}{4}} \) - Incorreto. Portanto, a resposta correta é: A) \( 8e^{i\frac{\pi}{2}} \).