Para determinar o volume do sólido limitado pelas superfícies dadas, vamos seguir os passos: 1. Identificar as superfícies: - \( z = 9 - x^2 \) é uma parábola invertida que abre para baixo. - \( z = 5 - y \) é um plano que desce conforme \( y \) aumenta. - \( y = 0 \) e \( y = 5 \) são planos verticais que limitam a região em \( y \). 2. Encontrar os limites de integração: - Para \( y \), os limites são de 0 a 5. - Para cada valor de \( y \), \( z \) varia de \( z = 5 - y \) até \( z = 9 - x^2 \). 3. Encontrar os limites de \( x \): - Para encontrar os limites de \( x \), precisamos igualar as duas equações de \( z \): \[ 5 - y = 9 - x^2 \implies x^2 = 4 + y \implies x = \pm \sqrt{4 + y} \] - Assim, para cada \( y \), \( x \) varia de \( -\sqrt{4 + y} \) a \( \sqrt{4 + y} \). 4. Montar a integral para o volume: O volume \( V \) pode ser expresso como: \[ V = \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}} \int_{5-y}^{9-x^2} dz \, dx \, dy \] 5. Calcular a integral: Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_{5-y}^{9-x^2} dz = (9 - x^2) - (5 - y) = 4 + y - x^2 \] Agora, substituímos na integral: \[ V = \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}} (4 + y - x^2) \, dx \, dy \] 6. Integrar em relação a \( x \): A integral em relação a \( x \) se torna: \[ \int_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}} (4 + y - x^2) \, dx \] A parte \( 4 + y \) é uma constante em relação a \( x \): \[ = (4 + y) \cdot 2\sqrt{4+y} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{4+y}}^{\sqrt{4+y}} \] O cálculo da integral de \( x^2 \) resulta em zero, pois é simétrico. 7. Finalizar a integral: Após calcular, você terá uma expressão em \( y \) que pode ser integrada de 0 a 5. 8. Verificação: Para verificar se o volume encontrado é coerente, você pode comparar com volumes de sólidos conhecidos, como um cilindro ou uma esfera, dependendo da forma do sólido. Esse é o passo a passo para encontrar o volume do sólido. Se precisar de mais detalhes em alguma parte, é só avisar!