Para determinar o volume do prisma delimitado pelas superfícies \(y = x^2\), \(y = 2x\) e \(z = x^3 + 4y\), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os limites de integração: Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas \(y = x^2\) e \(y = 2x\). Igualando as duas equações: \[ x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \] Portanto, \(x = 0\) e \(x = 2\). Assim, os limites de \(x\) são de 0 a 2. 2. Definir os limites de \(y\): Para cada valor de \(x\) entre 0 e 2, \(y\) varia de \(y = x^2\) até \(y = 2x\). 3. Definir a função para \(z\): A função que define a altura do prisma é \(z = x^3 + 4y\). 4. Montar a integral dupla: O volume \(V\) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} (x^3 + 4y) \, dy \, dx \] 5. Calcular a integral interna (em relação a \(y\)): \[ \int (x^3 + 4y) \, dy = x^3y + 2y^2 \bigg|_{y=x^2}^{y=2x} \] Substituindo os limites: \[ = \left( x^3(2x) + 2(2x)^2 \right) - \left( x^3(x^2) + 2(x^2)^2 \right) \] \[ = (2x^4 + 8x^2) - (x^5 + 2x^4) = 2x^4 + 8x^2 - x^5 - 2x^4 = -x^5 + 8x^2 \] 6. Calcular a integral externa (em relação a \(x\)): \[ V = \int_{0}^{2} (-x^5 + 8x^2) \, dx \] \[ = \left( -\frac{x^6}{6} + \frac{8x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{2} \] Substituindo os limites: \[ = \left( -\frac{2^6}{6} + \frac{8(2^3)}{3} \right) - \left( 0 \right) \] \[ = \left( -\frac{64}{6} + \frac{64}{3} \right) = -\frac{64}{6} + \frac{128}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \] Portanto, o volume do prisma é \(V = \frac{32}{3}\) unidades de volume (u.v).