Qual é o valor de \( \int_1^2 (x^2 + 3x) \, dx \)? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

Para calcular o valor da integral \( \int_1^2 (x^2 + 3x) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \) e a antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3x^2}{2} \). Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 3x \) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \] 2. Calcular a integral definida: Agora, precisamos avaliar \( F(x) \) nos limites de 1 a 2: \[ F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{26}{3} \] \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = \frac{1}{3} + \frac{18}{6} = \frac{19}{6} \] 3. Subtrair os valores: Agora, subtraímos \( F(1) \) de \( F(2) \): \[ \int_1^2 (x^2 + 3x) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{26}{3} - \frac{19}{6} \] Para subtrair, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 3 e 6 é 6: \[ \frac{26}{3} = \frac{52}{6} \] Portanto: \[ \frac{52}{6} - \frac{19}{6} = \frac{33}{6} = 5.5 \] Como 5.5 não está entre as opções, vamos revisar a antiderivada e os cálculos. Na verdade, a integral correta é: \[ \int_1^2 (x^2 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_1^2 \] Calculando novamente: \[ F(2) = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8}{3} + \frac{18}{3} = \frac{26}{3} \] \[ F(1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} = \frac{1}{3} + \frac{18}{6} = \frac{19}{6} \] Subtraindo: \[ \frac{26}{3} - \frac{19}{6} = \frac{52}{6} - \frac{19}{6} = \frac{33}{6} = 5.5 \] Parece que houve um erro nas opções. A resposta correta não está entre as opções dadas. Você pode verificar se as opções estão corretas?