Problema: Calcule \(\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx\).

Para calcular a integral \(\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Completar o quadrado: O termo dentro da raiz pode ser reescrito. Temos: \[ x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4 \] 2. Substituição: Agora, vamos fazer a substituição \(u = x + 1\), então \(du = dx\) e \(x = u - 1\). A integral se torna: \[ \int \sqrt{(u)^2 + 4} \, du \] 3. Usar a fórmula da integral: A integral \(\int \sqrt{u^2 + a^2} \, du\) é dada por: \[ \frac{u}{2} \sqrt{u^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln |u + \sqrt{u^2 + a^2}| + C \] onde \(a = 2\). 4. Aplicar a fórmula: Assim, temos: \[ \int \sqrt{u^2 + 4} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 + 4} + 2 \ln |u + \sqrt{u^2 + 4}| + C \] 5. Substituir de volta: Agora, substituímos \(u = x + 1\): \[ = \frac{x + 1}{2} \sqrt{(x + 1)^2 + 4} + 2 \ln |(x + 1) + \sqrt{(x + 1)^2 + 4}| + C \] Portanto, a integral \(\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx\) é: \[ \frac{x + 1}{2} \sqrt{x^2 + 2x + 5} + 2 \ln |(x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 5}| + C \]