contas e mais contas 8EE

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<p>18. **Problema:** Calcule \(\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \left( x \sqrt{x^2 + 2x + 5} + 5 \ln \left| x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 5}</p><p>\right| \right) + C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado e use a substituição \( u = x + 1 \).</p><p>19. **Problema:** Encontre \(\int x e^{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{e^{x^2}}{2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \).</p><p>20. **Problema:** Determine \(\int \frac{dx}{(x^2 + 2x + 2)^2}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{4} \left( \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \right) +</p><p>C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado e use a decomposição em frações parciais.</p><p>21. **Problema:** Calcule \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>22. **Problema:** Encontre \(\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \).</p><p>23. **Problema:** Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\ln^2(x)}{2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>24. **Problema:** Calcule \(\int e^x \sin(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{e^x}{2} (\sin(x) - \cos(x)) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes duas vezes.</p><p>25. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 2x^2 + 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln \left| x^2 + 1 \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>26. **Problema:** Determine \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{2}{3} \ln \left| \sqrt{x^2 + 1} +</p><p>x \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \sqrt{x^2 + 1} \).</p><p>27. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{4} \arctan(e^{2x}) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = e^{2x} \).</p><p>28. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sqrt{x^2 + 1} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \sqrt{x^2 + 1} \).</p><p>29. **Problema:** Determine \(\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^{3/2}}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x}{2 (x^2 + 1)^{1/2}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \).</p><p>30. **Problema:** Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{2x^2} - \frac{1}{2x^2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>31. **Problema:** Encontre \(\int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\cos(x)}{x} + \int \frac{\cos(x)}{x} \, dx\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes.</p><p>32. **Problema:** Determine \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 - 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \sqrt{x^4 - 1} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \).</p><p>33. **Problema:** Calcule \(\int \frac{dx}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{2x^2 \sqrt{x^2 - 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>34. **Problema:** Encontre \(\int x \ln(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes.</p><p>35. **Problema:** Determine \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{e^{-x}}{2} (\cos(x) + \sin(x)) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes duas vezes.</p><p>36. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>37. **Problema:** Encontre \(\int \frac{\cos(x)}{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\sin(x)}{x^2} - \int \frac{\sin(x)}{x^2} \, dx\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes.</p><p>38. **Problema:** Determine \(\int \frac{1}{(x^2 + 4x + 5)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x + 2}{16(x^2 + 4x + 5)} + \frac{1}{8} \arctan \left(\frac{x +</p><p>2}{\sqrt{5}}\right) + C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado e use a decomposição em frações parciais.</p><p>39. **Problema:** Calcule \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>40. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{4} \left(\frac{x}{x^2 + 2} + \frac{1}{2} \ln |x^2 + 2|\right) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 2 \).</p><p>41. **Problema:** Determine \(\int \frac{e^{x^2}}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não há uma forma elementar; é expressa pela integral exponencial.</p><p>**Explicação:** Esta integral é não elementar.</p><p>42. **Problema:** Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{x} - \frac{1}{x} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>43. **Problema:** Encontre \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\ln \left| x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 2} \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado e use a substituição apropriada.</p><p>44. **Problema:** Determine \(\int \frac{x \ln(x)}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x^2 + 1)}\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes.</p><p>45. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sqrt{x^2 + 4x + 5} - 2 \ln \left| x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5} \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Complete o quadrado e use a substituição apropriada.</p><p>46. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>47. **Problema:** Determine \(\int \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{2}{3} \ln \left| \sqrt{x^2 + 1} + x \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \sqrt{x^2 + 1} \).</p>