Para calcular a integral \( \int_0^1 \ln(x) \, dx \), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos seguir os passos: 1. Escolha de \( u \) e \( dv \): - Seja \( u = \ln(x) \) e \( dv = dx \). - Então, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) e \( v = x \). 2. Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx \] \[ = x \ln(x) - x + C \] 3. Calculando a integral definida: Agora, precisamos avaliar de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 \ln(x) \, dx = \left[ x \ln(x) - x \right]_0^1 \] - Para \( x = 1 \): \[ 1 \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1 \] - Para \( x = 0 \): \[ \lim_{x \to 0^+} (x \ln(x)) = 0 \quad (\text{pois } x \ln(x) \to 0 \text{ quando } x \to 0^+) \] Portanto, o limite é \( 0 \). 4. Resultado final: \[ \int_0^1 \ln(x) \, dx = (-1) - (0) = -1 \] Assim, a resposta correta é \( -1 \).