Verifique se o conjunto {(1, 2, 1),(0, 1, −1),(1, 1, 1)} é uma base do R 3

Para verificar se o conjunto \(\{(1, 2, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 1)\}\) é uma base de \(\mathbb{R}^3\), precisamos checar se os vetores são linearmente independentes e se geram \(\mathbb{R}^3\). 1. Formar uma matriz: Colocamos os vetores como linhas de uma matriz: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Reduzir a matriz: Vamos fazer a eliminação de Gauss para verificar a independência linear. Subtraímos a primeira linha da terceira: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, somamos a segunda linha à terceira: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \] Por fim, multiplicamos a terceira linha por \(-1\): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 3. Verificar a forma escalonada: A matriz está em forma escalonada e possui 3 pivôs (um em cada linha). Isso indica que os vetores são linearmente independentes. 4. Conclusão: Como temos 3 vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^3\), o conjunto \(\{(1, 2, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 1)\}\) é uma base de \(\mathbb{R}^3\).