Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^2 + 2) \, dx\)? A) \(\frac{1}{3} + 2\) B) \(\frac{1}{3} + 1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2) \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral: \[ \int (x^2 + 2) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 2 \, dx \] A integral de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\) e a integral de \(2\) é \(2x\). Portanto: \[ \int (x^2 + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C \] 2. Avaliar de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{1}{3} + 2 \] 3. Simplificar: \[ \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{1}{3} + 2\) - Correto, pois é igual a \(\frac{7}{3}\). B) \(\frac{1}{3} + 1\) - Não é correto. C) \(\frac{1}{2}\) - Não é correto. D) \(\frac{1}{3}\) - Não é correto. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{3} + 2\).