FUNÇÃO QUADRÁTICA

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<p>FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>GERMANA VITOI</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Descritores:</p><p>• Construir modelos matemáticos empregando as funções polinomiais afim e quadrática, para resolver</p><p>problemas em contextos diversos.</p><p>• Analisar e estabelecer relações entre as representações de funções afins, quadráticas e exponencial</p><p>expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio,</p><p>contradomínio, imagem (utilizando, se necessário, a linguagem e operações de conjuntos), crescimento,</p><p>raízes, estudo do sinal, etc.) de cada função.</p><p>• Converter representações algébricas de funções polinomiais quadráticas em representações geométricas no</p><p>plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado</p><p>da outra.</p><p>• Analisar e resolver problemas envolvendo pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em</p><p>contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.1 – Definição:</p><p>É toda função definida de IR em IR dada pela lei:</p><p>f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 com a, b, c  IR</p><p>Ex: 1) f(x) = x2</p><p>2) f(x) = 2x2 + 3x + 5</p><p>3) f(x) = – x2 + x – 4</p><p>4) f(x) = x2 + 2</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.2 – Gráfico</p><p>É uma curva chamada parábola.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.3 Significado dos coeficientes</p><p>• a → indica a concavidade e a abertura da curva: ቊ</p><p>𝑎 > 0 → ∪</p><p>𝑎 < 0 → ∩</p><p>Quanto maior o 𝑎 mais fechada é a curva. Quanto menor 𝑎 mais aberta é a curva.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>c → indica o intercepto da curva com o eixo Oy.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>• ൞</p><p>𝑏 = 0 → 𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦 𝑛𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎</p><p>𝑏 > 0 → 𝑜 𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦</p><p>𝑏 < 0 → 𝑜 𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.4 - Raízes ou zeros da função</p><p>Chama-se zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 os valores reais de x para os</p><p>quais f(x) = 0</p><p>1) f(x) = x2 – 5x + 6</p><p>2) g(x) = 4x2 – 4x + 1</p><p>3) h(x) = 2x2 + 3x + 4</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.5 – Quantidade de raízes</p><p>A quantidade de raízes de uma função quadrática depende do valor obtido para o</p><p>discriminante :</p><p>• Quando  > 0, há duas raízes reais distintas.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>• Quando  = 0 há só uma raiz real ou uma raiz real dupla.</p><p>• Quando  < 0 não existe raízes reais.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.6 – Coordenadas do vértice da parábola</p><p>O vértice é um ponto importante da parábola V (xv , yv ) = 𝑉 = −</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>, −</p><p>∆</p><p>4𝑎</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.7 – Máximo e Mínimo</p><p>• Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto mínimo V.</p><p>• Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.</p><p>PMín (xv , yv ) e yv é o valor mínimo da função</p><p>PMáx (xv , yv ) e yv é o valor máximo da função</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Ex: 1) Qual é o valor extremo da função abaixo:</p><p>f(x) = x2 – 12x + 30</p><p>2) Uma bala de canhão é atirada por um tanque de guerra e descreve uma trajetória em forma de parábola de</p><p>equação 𝑦 = −</p><p>𝑥2</p><p>20</p><p>+ 2𝑥, onde x e y são medidos em metros. Veja!</p><p>Determine:</p><p>a) a altura máxima atingida pela bala.</p><p>b) o alcance do disparo.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.8 – Conjunto Imagem</p><p>Considere a função f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0.</p><p>• Quando a > 0</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>• Quando a < 0</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>OBS: Outras formas de representar a lei da função quadrática</p><p>• Forma reduzida: f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 com a, b, c  IR</p><p>• Forma fatorada: f(x) = a(x – x1)(x – x2); a ≠ 0</p><p>• Forma canônica: f(x) = a (x – m)2 + k; m, k  IR.</p><p>Ex: Qual é a lei da função cujo gráficos está representado abaixo:</p><p>5.9– Crescimento/Decrescimento</p><p>• a > 0</p><p>• a < 0</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.10 – Construção da parábola</p><p>É possível construir o gráfico de uma função quadrática da seguinte forma:</p><p>1º) Analise o sinal do coeficiente “a” : ቊ</p><p>𝑎 > 0 → ∪</p><p>𝑎 < 0 → ∩</p><p>2º) Determine o vértice: 𝑉 = −</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>, −</p><p>∆</p><p>4𝑎</p><p>3º) Determine as raízes, ou seja, os interceptos com o eixo Ox</p><p>4º) Determine o intercepto com o eixo Oy, isto é, (0, c).</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Ex: Construa o gráfico das funções</p><p>a) y = x2 – 2x + 1</p><p>b) y = - x2 – x – 3</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.11 – Estudo do sinal</p><p>Considere a função f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 com a, b, c  IR, queremos determinar o valores</p><p>de x para os quais: f(x) < 0, f(x) = 0 e f(x) > 0. Para tal, veja o quadro abaixo:</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>5.12 – Inequações:</p><p>Inequações do 2º grau são sentenças do tipo :</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0</p><p>𝑜𝑢</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0</p><p>; 𝑎 ≠ 0</p><p>Resolvemos estas inequações através do estudo do sinal.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Inequações Simultâneas e Sistemas de Inequações</p><p>Em ambos os casos resolvemos as inequações e em seguida determinamos a interseção</p><p>de seus conjuntos soluções na representação geométrica.</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Inequações Produto e Quociente</p><p>Sejam f(x) e g(x) funções quaisquer.</p><p>• Inequação produto é toda sentença do tipo:</p><p>𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 > 0</p><p>𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ≥ 0</p><p>𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 < 0</p><p>𝑜𝑢</p><p>𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ≤ 0</p><p>CAPÍTULO 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>• Inequação quociente é toda sentença do tipo:</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑔 𝑥</p><p>> 0</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑔 𝑥</p><p>≥ 0</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑔 𝑥</p><p>< 0</p><p>𝑜𝑢</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>𝑔(𝑥)</p><p>≤ 0</p><p>; 𝑔 𝑥 ≠ 0</p><p>Para resolvê-las estudamos o sinal de todas as funções envolvidas e em seguida montamos um quadro</p><p>de sinal.</p><p>Slide 1: FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p>