Para resolver a questão, vamos simplificar o número complexo \( z = \frac{1 + ai}{a - i} \). 1. Multiplicando pelo conjugado: Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \( a + i \): \[ z = \frac{(1 + ai)(a + i)}{(a - i)(a + i)} = \frac{(1 \cdot a + 1 \cdot i + ai \cdot a + ai \cdot i)}{a^2 + 1} \] 2. Simplificando o numerador: \[ = \frac{a + i + a^2i - a}{a^2 + 1} = \frac{(a^2 - 1)i + a}{a^2 + 1} \] 3. Separando a parte real e imaginária: \[ z = \frac{a}{a^2 + 1} + \frac{(a^2 - 1)i}{a^2 + 1} \] 4. Analisando o módulo de \( z \): O módulo de \( z \) é dado por: \[ |z| = \sqrt{\left(\frac{a}{a^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}\right)^2} \] 5. Verificando a periodicidade: Para \( z^{2016} \), precisamos verificar se \( z \) é uma raiz da unidade. Se \( z \) for uma raiz da unidade, então \( z^n \) será igual a 1 para \( n \) múltiplo do período. 6. Verificando as opções: - Se \( a = 1 \), temos \( z = 1 \). - Se \( a = 0 \), temos \( z = -i \). - Se \( a = -1 \), temos \( z = -1 \). No entanto, para \( z^{2016} \), a única opção que se mantém constante e não depende de \( a \) é a opção b) 1. Portanto, a resposta correta é: b) 1.