Para resolver a inequação \(2 \cdot \cos^2 x + \cos(2x) > 2\), vamos simplificá-la. Sabemos que \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\). Substituindo isso na inequação, temos: \[ 2 \cdot \cos^2 x + (2\cos^2 x - 1) > 2 \] Isso se simplifica para: \[ 4\cos^2 x - 1 > 2 \] Ou seja: \[ 4\cos^2 x > 3 \] Dividindo ambos os lados por 4: \[ \cos^2 x > \frac{3}{4} \] Portanto, temos: \[ |\cos x| > \frac{\sqrt{3}}{2} \] Isso implica que \(x\) deve estar em intervalos onde o cosseno é maior que \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). No intervalo \(0 < x < \pi\), isso ocorre em: - \(0 < x < \frac{\pi}{6}\) (cosseno positivo) - \(5\frac{\pi}{6} < x < \pi\) (cosseno negativo, mas ainda maior que \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)) Analisando as alternativas: a) \(S = \{x \in (0, \pi) | 0 < x < \frac{\pi}{6} \text{ ou } 5\frac{\pi}{6} < x < \pi\}\) - Correto. b) \(S = \{x \in (0, \pi) | 0 < \frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}\}\) - Incorreto. c) \(S = \{x \in (0, \pi) | 0 < x < \frac{\pi}{3} \text{ ou } \frac{2\pi}{3} < x < \pi\}\) - Incorreto. d) \(S = \{x \in (0, \pi) | \frac{\pi}{6} < x < 5\frac{\pi}{6}\}\) - Incorreto. e) \(S = \{x \in (0, \pi)\}\) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é a) \(S = \{x \in (0, \pi) | 0 < x < \frac{\pi}{6} \text{ ou } 5\frac{\pi}{6} < x < \pi\}\).