Vamos analisar a função \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} + 2 \). ### a) Ponto de descontinuidade A função é uma fração, e a descontinuidade ocorre onde o denominador é igual a zero. Portanto, vamos resolver: \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] Assim, o ponto de descontinuidade é \( x = 2 \) porque o denominador se anula, tornando a função indefinida nesse ponto. ### Limites laterais Agora, vamos calcular os limites laterais em \( x = 2 \): - Limite à esquerda (\( x \to 2^- \)): \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left( \frac{2x + 1}{x - 2} + 2 \right) = \frac{2(2) + 1}{2 - 2} + 2 = \text{indefinido} \] - Limite à direita (\( x \to 2^+ \)): \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{2x + 1}{x - 2} + 2 \right) = \frac{2(2) + 1}{2 - 2} + 2 = \text{indefinido} \] Ambos os limites são indefinidos, confirmando que há uma descontinuidade em \( x = 2 \). ### Assíntotas horizontais Para verificar a existência de assíntotas horizontais, analisamos o comportamento da função quando \( x \) tende ao infinito: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 1}{x - 2} + 2 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} + 2 \right) = 2 + 2 = 4 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2x + 1}{x - 2} + 2 \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} + 2 \right) = 2 + 2 = 4 \] Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em \( y = 4 \). ### Raiz no intervalo (0, 1) Para verificar se há uma raiz no intervalo \( (0, 1) \), podemos calcular \( f(0) \) e \( f(1) \): - \( f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} + 2 = \frac{1}{-2} + 2 = -0,5 + 2 = 1,5 \) - \( f(1) = \frac{2(1) + 1}{1 - 2} + 2 = \frac{3}{-1} + 2 = -3 + 2 = -1 \) Como \( f(0) > 0 \) e \( f(1) < 0 \), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo \( (0, 1) \). ### Resumo - Ponto de descontinuidade: \( x = 2 \) - Limites laterais: indefinidos em \( x = 2 \) - Assíntota horizontal: \( y = 4 \) - Existe pelo menos uma raiz no intervalo \( (0, 1) \).