Teste por Temas DERIVADAS - APLICAÇÕES

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04/09/2023, 22:07 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Testes por Temas
 avalie sua aprendizagem
Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a
equação da reta normal a e a origem.
A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos.
Sabendo disso, determine a equação da reta tangente a e o ponto .
MATEMÁTICA AVANÇADA
Lupa  
 
DGT0207_202306104104_TEMAS
Aluno: ANDERSON ALVES PEREIRA Matr.: 202306104104
Disc.: MATEMÁTICA AVANÇAD  2023.2 FLEX (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de
questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este
modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
DERIVADAS: APLICAÇÕES
 
1.
Data Resp.: 04/09/2023 21:58:18
Explicação:
Aplicando o ponto :
Equação da reta:
 
2.
y = x√9 + x2
y = 2x.
y = 3x.
y = 9x.
y = x.
1
3
y = x.
2
3
y = x√9 + x2
v = x;u = 9 + x2
= u + x ⋅ ⋅
= (9 + x2) + x ⋅ ⋅ (9 + x2)
−
⋅ 2x
+ = m
dy
dx
dx
dx
1
2
d(u )
1
2
du
d (9 + x2)
dx
dy
dx
1
2
1
2
1
2
dy
1
2
x
(9 + x2)
1
2
(0, 0)
m = (9 + x2) + = (9 + 02) + = √9 = 3
1
2
x
(9 + x2)
1
2
1
2
0
(9 + 02)
1
2
y − y0 = m (x − x0)
y − 0 = 3(x − 0)
y = 3x
y2 − 4xy = 12 (1, 6)
y = 3x + 3.
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
04/09/2023, 22:08 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos.
Sabendo disso, determine a equação da reta tangente a e o ponto .
A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a expressão que mostra a taxa de variação de com o tempo.
2.
Data Resp.: 04/09/2023 22:02:36
Explicação:
Aplicando o ponto :
Equação da reta:
 
3.
Data Resp.: 04/09/2023 22:03:14
Explicação:
Como , temos:
Como a aceleração é dada por: 
y2 − 4xy = 12 (1, 6)
y = 3x+ 3.
y = 3x+ 5.
y = 4x+ 2.
y = 6x+ 3.
y = 7x+ 1
y2 − 4xy = 12
− (4 ⋅ ⋅ y+ 4 ⋅ x ⋅ ) =
2y − 4y− 4x = 0
= = m
dy2
dy
dy
dx
dx
dx
dy
dy
dy
dx
d(12)
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
4y
2y− 4x
(1, 6)
m = = = = 3
4y
2y− 4x
4 ⋅ 6
2 ⋅ 1 − 4 ⋅ 1
24
8
y− y0 = m (x− x0)
y− 6 = 3(x− 1)
y− 6 = 3x+ 3
y = 3x+ 3
k = mv2
1
2
k
= m ⋅ v ⋅ a2.
dk
dt
= m ⋅ v2 ⋅ a.
dk
dt
= .
dk
dt
m ⋅ v ⋅ a
2
= m2 ⋅ v ⋅ a.
dk
dt
= m ⋅ v ⋅ a.
dk
dt
=?
= = m
dk
dt
dk
dt
d( mv2)1
2
dt
1
2
d (v2)
dt
= ⋅
d(v2)
dt
d(v2)
dt
dv
dt
= m ⋅ = m ⋅ 2v ⋅ = mv
dk
dt
1
2
d (v2)
dt
dv
dt
1
2
dv
dt
dv
dt
= a
dv
dt
= m ⋅ v ⋅ a
dk
dt
04/09/2023, 22:08 Estácio: Alunos
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A energia cinética de um corpo é dada pela relação . Determine a expressão que mostra a taxa de variação de com o tempo.
Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir muitas informações acerca do comportamento desta função.
A respeito de uma função analise as asserções a seguir:
I. A derivada da função é da por , sendo eu se , a função é dita como crescente dentro de seu intervalo.
PORQUE
II. A concavidade da função será volta para cima se sua segunda deriva respeitar a condição: .
Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre elas.
Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que
o tanque é preenchido.
 
3.
Data Resp.: 04/09/2023 22:03:14
Explicação:
Como , temos:
Como a aceleração é dada por: 
 
4.
A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.
A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma justi�cativa da asserção I.
A asserção I está correta e a asserção II é uma justi�cativa da asserção I.
Ambas as asserções estão incorretas.
A asserção I está correta e a asserção II está incorreta.
Data Resp.: 04/09/2023 22:03:43
Explicação:
I - Incorreta: A função é crescente se sua derivada for maior que zero: 
II - Correta: A concavidade é positiva, isto é, voltada para cima atender a condição .
 
5.
k = mv2
1
2
k
= m ⋅ v ⋅ a2.
dk
dt
= m ⋅ v2 ⋅ a.
dk
dt
= .
dk
dt
m ⋅ v ⋅ a
2
= m2 ⋅ v ⋅ a.
dk
dt
= m ⋅ v ⋅ a.
dk
dt
=?
= = m
dk
dt
dk
dt
d( mv2)1
2
dt
1
2
d (v2)
dt
= ⋅
d(v2)
dt
d(v2)
dt
dv
dt
= m ⋅ = m ⋅ 2v ⋅ = mv
dk
dt
1
2
d (v2)
dt
dv
dt
1
2
dv
dt
dv
dt
= a
dv
dt
= m ⋅ v ⋅ a
dk
dt
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x)
dy
dx
< 0
dy
dx
y = f(x)
y = f(x) > 0
d2y
dx2
y = f(x) > 0
dy
dx
> 0
d2y
dx2
= 4πR2 ⋅ .
dR
dt
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR3
dV
dt
= ⋅
dR
dt
4π
R2
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
04/09/2023, 22:08 Estácio: Alunos
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Um tanque esférico é preenchido com água à uma vazão constante. Determine uma expressão da variação do raio com o tempo à medida que
o tanque é preenchido.
Seja a função g(x) = 2x sen(x2) + 2 sen x + 4. Este grá�co apresenta uma reta normal no ponto de abscissa nula de equação 
, p  e q reais , é normal ao grá�co da função no ponto de abscissa zero. Determine o valor de 
5.
Data Resp.: 04/09/2023 22:04:03
Explicação:
 
 
6.
4
3
6
5
1
Data Resp.: 04/09/2023 22:04:45
Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Derivando a função g(x):
Derivando a primeira parcela:
Derivando a segunda parcela:
A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante.
Portanto, a derivada da função g(x) é:
Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x = 0).
Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse:
= 4πR2 ⋅ .
dR
dt
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR3
dV
dt
= ⋅
dR
dt
4π
R2
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
= ⋅ .
dR
dt
1
πR2
dV
dt
=?
= C
= ⋅
= ⋅ = π ⋅ ⋅ = π ⋅ 3R2 ⋅ = 4πR2
= ⋅
dR
dt
dV
dt
dV
dt
dV
dR
dR
dt
dV
dt
d( πR3)4
3
dR
dR
dt
4
3
dR3
dt
dR
dt
4
3
dR
dt
dR
dt
dR
dt
1
4πR2
dV
dt
px+ qy− 16 = 0
(p+ q)/(q − p).
g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4
g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4)
d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2)
= 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x
= 2sen(x2) + 8x2cos(x2)
d/dx(2sen(x)) = 2cos(x)
g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x)
04/09/2023, 22:08 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Seja a função g(x) = 2x sen(x2) + 2 sen x + 4. Este grá�co apresenta uma reta normal no ponto de abscissa nula de equação 
, p  e q reais , é normal ao grá�co da função no ponto de abscissa zero. Determine o valor de 
Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao grá�co desta função. Uma das retas é tangente ao ponto
P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de  ordenada igual a -1 O ponto de tangência entre
a segunda reta e o grá�co de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b.
 
6.
4
3
6
5
1
Data Resp.: 04/09/2023 22:04:45
Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Derivando a função g(x):
Derivando a primeira parcela:
Derivando a segunda parcela:
A derivada da terceira parcela é zero, pois é uma constante.
Portanto, a derivada da função g(x) é:
Agora, temos que encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse (x = 0).
Vamos substituir x = 0 na derivada g'(x) para encontrar a inclinação da reta normal no ponto de interesse:
Inclinação da reta normal em x = 0:
Em seguida, encontrar a inclinação da reta normal no ponto de abscissa zero.
A reta normal é perpendicular à curva no ponto de tangência. Portanto, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação
encontrada anteriormente.
Encontrando a equação da reta normal.Agora, usamos a fórmula da equação da reta:
onde é o ponto dado (0, g(0)) e "m" é a inclinação da reta normal.
Agora, ajustamos a equação para que a forma seja :
Portanto, temos que p = 1 e q = 2.
Queremos determinar:
 
7.
5
6
4
2
3
Data Resp.: 04/09/2023 22:05:36
Explicação:
px + qy − 16 = 0
(p + q)/(q − p).
g(x) = 2xsen(x2) + 2sen(x) + 4
g′(x) = d/dx(2xsen(x2)) + d/dx(2sen(x)) + d/dx(4)
d/dx(2xsen(x2)) = 2sen(x2) + 4xcos(x2). d/dx(x2)
= 2sen(x2) + 4xcos(x2).2x
= 2sen(x2) + 8x2cos(x2)
d/dx(2sen(x)) = 2cos(x)
g′(x) = 2sen(x2) + 8x2cos(x2) + 2cos(x)
m = g′(0) = 2sen(02) + 8(0)2cos(02) + 2cos(0) = 2(0) + 8(0) + 2 = 2
Inclinação da reta normal  = −1/(inclinação da reta tangente) = −1/2
y − y0 = m(x − x0)
(x0, y0)
y − g(0) = (−1/2)(x − 0)
y − (2.0.sen(0) + 2.sen(0) + 4) = (−1/2)x
y − (0 + 2.0 + 4) = (−1/2)x
y − 4 = (−1/2)x
px + qy − 16 = 0
2y − 8 = −x
x + 2y − 8 = 0
(p + q)/(q − p) = (1 + 2)/(2 − 1) = 3/1 = 3.
04/09/2023, 22:09 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao grá�co desta função. Uma das retas é tangente ao ponto
P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de  ordenada igual a -1 O ponto de tangência entre
a segunda reta e o grá�co de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b.
Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente de  , com  . 
A itâ i i l t d i it (C ) é l l d t é d fó l t d
 
7.
5
6
4
2
3
Data Resp.: 04/09/2023 22:05:36
Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Seja 
A reta tangente a f(x) será dada por:
onde
Derivando f(x):
Substituindo o P(4,1), temos:
Voltando na equação da reta tangente:
Substituindo o P(4,1), temos:
Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada -1. Logo,
O ponto de interseção é: (3,-1)
Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o grá�co da f(x) tem coordenada (a,b), devemos determine (a + b).
As retas tangentes ao grá�co da f(x) são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, então partindo do ponto (4,1) a segunda reta será
tangente num ponto (x,1).
Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja:
Como x¿=4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿=2.
Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto (2,1), logo:
 
8.
0 e  -2
Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio
0  e  1
-2 e 1
1 e  -2
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:01
Explicação:
A resposta correta é: 0 e  -2
 
9
f(x) = x2 − 6x + 9
y = mx + n
m = d[f(x)]/dx
m = d[x2 − 6x + 9]/dx = 2x − 6
m = 2x − 6 = 2.4 − 6 = 2
y = mx + n = 2x + n
y = 2x + n
1 = 2.4 + n
n = −7
y = 2x − 7
−1 = 2x − 7
x = 3
f(x) = x2 − 6x + 9
1 = x2 − 6x + 9
x2 − 6x + 8 = 0
x′ = 4 e x′′ = 2
a = 2;  b = 1
a + b = 3
f(x) = √9 − x2 x ∈ [−2, 1]
C C +
C2C3
04/09/2023, 22:09 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
Determine o máximo e o mínimo global, respectivamente de  , com  . 
A capacitância equivalente de um circuito (C0) é calculada através da fórmula  , com todas as
capacitâncias medidas em . As capacitâncias C1 e C2 tem seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 . A
variância C3 decresce com uma taxa de ¿ 0,1 . Determine a variação da capacitância equivalente com o tempo em
segundo para um instante que C1= C2 = 10  e C3 = 15  .
Suponha que temos uma função h(x) de�nida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x. A função é de�nida da
seguinte forma:  . Quantos pontos extremos locais a função apresenta?
 
8.
0 e  -2
Não existe ponto de máximo global ou mínimo global neste domínio
0  e  1
-2 e 1
1 e  -2
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:01
Explicação:
A resposta correta é: 0 e  -2
 
9.
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:21
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
4.
0.
1.
3.
2.
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:38
Explicação:
A resposta correta é: 1.
Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos veri�car se existem pontos críticos
(onde a derivada é igual a zero ou não existe) dentro dos intervalos especi�cados.
A função h(x) é de�nida como: 
Vamos encontrar os pontos críticos e veri�car quantos existem em cada intervalo:
Intervalo [-4, 0):
Para x em [-4, 0), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse intervalo.
Intervalo [0, 4):
Para x em [0, 4), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
O ponto crítico é x = 2.
Agora, determinamos o número de pontos extremos locais:
Como não há pontos críticos no intervalo [-4, 0) e apenas um ponto crítico no intervalo [0, 4), temos apenas um ponto
extremo local da função h(x) em x = 2
f(x) = √9 − x2 x ∈ [−2, 1]
C0 = C1 +
C2C3
C2+C3
μF μF/s
μF/s
μF μF
0, 12μF/s
0, 11μF/s
0, 15μF/s
0, 10μF/s
0, 13μF/s
0, 12μF/s
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x + 2,  [0, 4)
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x + 2,  [0, 4)
h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex
2ex = 0
h′(x) = d/dx(x2 − 4x + 2) = 2x − 4
2x − 4 = 0
2x = 4
x = 2
04/09/2023, 22:09 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/alunos/ 1/1
A capacitância equivalente de um circuito (C0) é calculada através da fórmula  , com todas as
capacitâncias medidas em . As capacitâncias C1 e C2 tem seus valores aumentados a uma taxa de 0,1 . A
variância C3 decresce com uma taxa de ¿ 0,1 . Determine a variação da capacitância equivalente com o tempo em
segundo para um instante que C1= C2 = 10  e C3 = 15  .
Suponha que temos uma função h(x) de�nida por partes, onde a expressão varia dependendo do intervalo de x. A função é de�nida da
seguinte forma:  . Quantos pontos extremos locais a função apresenta?
9.
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:21
Explicação:
A resposta correta é: 
 
10.
4.
0.
1.
3.
2.
Data Resp.: 04/09/2023 22:06:38
Explicação:
A resposta correta é: 1.
Para determinar o número de pontos extremos locais da função h(x), precisamos veri�car se existem pontos críticos
(onde a derivada é igual a zero ou não existe) dentro dos intervalos especi�cados.
A função h(x) é de�nida como: 
Vamos encontrar os pontos críticos e veri�car quantos existem em cada intervalo:
Intervalo [-4, 0):
Para x em [-4, 0), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Não existe solução real para essa equação, portanto, não há ponto crítico nesse intervalo.
Intervalo [0, 4):
Para x em [0, 4), a derivada da função h(x) é:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
O ponto crítico é x = 2.
Agora, determinamos o número de pontos extremos locais:
Como não há pontos críticos no intervalo [-4, 0) e apenas um ponto crítico no intervalo [0, 4), temos apenas um ponto
extremo local da função h(x) em x = 2.
Portanto, a função h(x) possui apenas 1 ponto extremo local.
 
    Não Respondida      Não Gravada     Gravada
Testes por Temas inciado em 04/09/2023 21:56:39.
C0 = C1 + C2+C3
μF μF/s
μF/s
μF μF
0, 12μF/s
0, 11μF/s
0, 15μF/s
0, 10μF/s
0, 13μF/s
0, 12μF/s
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x + 2,  [0, 4)
h(x) = {
2ex,  [−4, 0)
x2 − 4x + 2,  [0, 4)
h′(x) = d/dx(2ex) = 2ex
2ex = 0
h′(x) = d/dx(x2 − 4x + 2) = 2x − 4
2x − 4 = 0
2x = 4
x = 2