Vamos analisar a função \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} + 2 \). ### a) Ponto de descontinuidade A função é uma fração, e a descontinuidade ocorre quando o denominador é igual a zero. Portanto, precisamos resolver: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Assim, o ponto de descontinuidade é \( x = 1 \) porque o denominador se anula, tornando a função indefinida nesse ponto. ### Limites laterais Agora, vamos calcular os limites laterais em \( x = 1 \): - Limite à esquerda (\( x \to 1^- \)): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{2x + 1}{x - 1} + 2 \right = \frac{2(1) + 1}{1 - 1} + 2 = \frac{3}{0^-} + 2 \to -\infty \] - Limite à direita (\( x \to 1^+ \)): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{2x + 1}{x - 1} + 2 \right = \frac{2(1) + 1}{1 - 1} + 2 = \frac{3}{0^+} + 2 \to +\infty \] ### Comportamento da função Portanto, a função tem um comportamento de descontinuidade infinita em \( x = 1 \), pois os limites laterais tendem a \( -\infty \) e \( +\infty \). ### Assíntotas horizontais Para verificar a existência de assíntotas horizontais, analisamos o limite quando \( x \) tende ao infinito: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 1}{x - 1} + 2 \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} + 2 \right) = \frac{2 + 0}{1 - 0} + 2 = 2 + 2 = 4 \] Assim, existe uma assíntota horizontal em \( y = 4 \). ### Raiz no intervalo (0, 1) Para verificar se há uma raiz no intervalo \( (0, 1) \), podemos calcular \( f(0) \): \[ f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} + 2 = \frac{1}{-1} + 2 = -1 + 2 = 1 \] Como \( f(0) = 1 \) e \( f(1) \) tende a \( -\infty \), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo \( (0, 1) \). ### Resumo - Ponto de descontinuidade: \( x = 1 \) - Limites laterais: \( -\infty \) (esquerda) e \( +\infty \) (direita) - Assíntota horizontal: \( y = 4 \) - Existe pelo menos uma raiz no intervalo \( (0, 1) \).