Para resolver a integral tripla \( \iiint_V 3(x + y) \, dx \, dy \, dz \), onde \( V \) é o sólido contido na interseção do cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( 0 \leq z \leq 2 \), com as regiões \( x \geq 0 \) e \( y \geq 0 \), vamos seguir os passos: 1. Identificar a região \( V \): O cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) é um cilindro circular de raio 1, e estamos limitados ao primeiro quadrante (onde \( x \geq 0 \) e \( y \geq 0 \)). A altura do sólido é de \( z = 0 \) até \( z = 2 \). 2. Configurar a integral: A integral pode ser configurada como: \[ \int_0^2 \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} 3(x + y) \, dx \, dy \, dz \] 3. Calcular a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( z \): \[ \int_0^2 dz = 2 \] - Agora, a integral se torna: \[ 2 \int_0^{\sqrt{1-y^2}} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} 3(x + y) \, dx \, dy \] 4. Trocar para coordenadas polares: Para simplificar, podemos usar coordenadas polares: - \( x = r \cos \theta \) - \( y = r \sin \theta \) - O jacobiano é \( r \). 5. Limites em coordenadas polares: - \( r \) varia de \( 0 \) a \( 1 \) (raio do cilindro). - \( \theta \) varia de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) (primeiro quadrante). 6. Integral em coordenadas polares: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 3(r \cos \theta + r \sin \theta) r \, dr \, d\theta \] 7. Calcular a integral: - A integral em \( r \): \[ \int_0^1 3r^2 (\cos \theta + \sin \theta) \, dr = 3(\cos \theta + \sin \theta) \cdot \frac{1}{3} = \cos \theta + \sin \theta \] - Agora, integramos em \( \theta \): \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos \theta + \sin \theta) \, d\theta = 2 \left[ \sin \theta - \cos \theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2(1 + 1) = 4 \] Portanto, o valor da integral é 4. A alternativa correta é D) 4.