Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos \( A(1, 0, 1) \) e \( B(0, 1, -1) \) e é paralelo ao segmento que une os pontos \( C(1, 2, 1) \) e \( D(0, 1, 0) \), precisamos seguir alguns passos. 1. Encontrar o vetor normal ao plano: O vetor que passa pelos pontos \( A \) e \( B \) é dado por: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 0, -1 - 1) = (-1, 1, -2) \] 2. Encontrar o vetor do segmento \( CD \): \[ \vec{CD} = D - C = (0 - 1, 1 - 2, 0 - 1) = (-1, -1, -1) \] 3. Calcular o vetor normal ao plano: O vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial \( \vec{AB} \times \vec{CD} \): \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{n} = \hat{i} \cdot (1 \cdot -1 - (-2) \cdot -1) - \hat{j} \cdot (-1 \cdot -1 - (-2) \cdot -1) + \hat{k} \cdot (-1 \cdot -1 - 1 \cdot -1) \] \[ = \hat{i} \cdot (-1 - 2) - \hat{j} \cdot (1 - 2) + \hat{k} \cdot (1 - 1) \] \[ = -3\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = (-3, 1, 0) \] 4. Equação do plano: A equação do plano pode ser escrita como: \[ -3(x - 1) + 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0 \] Simplificando, temos: \[ -3x + y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x - y - 3 = 0 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( 3x - y - 2z - 1 = 0 \) b) \( x - 3y + 2z + 1 = 0 \) c) \( 3x - y + 2z - 1 = 0 \) d) \( -5x + y + 2z + 3 = 0 \) e) \( 2x - 3y + z - 1 = 0 \) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente à equação que encontramos. No entanto, a equação correta que se aproxima é a que tem a forma \( 3x - y - 3 = 0 \), que não está listada. Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há alguma informação adicional?