Para encontrar o valor de \( \cossec \theta \) entre as retas \( r \) e \( s \), precisamos primeiro determinar os vetores diretores de ambas as retas. 1. Retas: - A reta \( r \) é dada por \( r: \{ x = 2t, y = 1 - t, z = 2 + 3t \} \). O vetor diretor de \( r \) é \( \vec{v_r} = (2, -1, 3) \). - A reta \( s \) é definida pelas equações \( x + y - z + 1 = 0 \) e \( 2x - y + z = 0 \). Para encontrar o vetor diretor de \( s \), podemos resolver o sistema de equações. 2. Encontrando o vetor diretor de \( s \): - Resolvendo as equações, podemos expressar \( z \) em função de \( x \) e \( y \). A partir disso, encontramos um vetor diretor. Após resolver, obtemos \( \vec{v_s} = (1, 1, 2) \). 3. Cálculo do ângulo: - O cosseno do ângulo \( \theta \) entre os vetores \( \vec{v_r} \) e \( \vec{v_s} \) é dado por: \[ \cos \theta = \frac{\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}}{|\vec{v_r}| |\vec{v_s}|} \] - Calculando o produto escalar \( \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 - 1 + 6 = 7 \). - Calculando as magnitudes: - \( |\vec{v_r}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \). - \( |\vec{v_s}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \). 4. Substituindo na fórmula: \[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{2\sqrt{21}} = \frac{7\sqrt{21}}{42} \] 5. Cálculo de \( \cossec \theta \): \[ \cossec \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{42}{7}} = \frac{\sqrt{42}}{7} \] Portanto, a resposta correta é: e) \( \frac{\sqrt{42}}{7} \).