As raízes da equação ????2 − 9???? + ???? = 0 são números inteiros. O maior valor que ???? pode assumir é A) 14. B) 18. C) 20. D) 24.

Para resolver essa questão, é necessário utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática. A fórmula de Bhaskara é dada por: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Dada a equação \( ax^2 - 9x + c = 0 \), sabemos que as raízes são números inteiros. Isso significa que o discriminante \( b^2 - 4ac \) deve ser um quadrado perfeito. Para que o discriminante seja um quadrado perfeito, a expressão \( b^2 - 4ac \) deve ser um quadrado perfeito. Assim, temos que \( 81 - 4ac = n^2 \), onde \( n \) é um número inteiro. Analisando as alternativas: A) 14 B) 18 C) 20 D) 24 Vamos testar cada alternativa para encontrar o maior valor possível para \( c \) de modo que a equação tenha raízes inteiras. Para a alternativa A) 14: \( 81 - 4 \cdot 14 \cdot c = n^2 \) \( 81 - 56c = n^2 \) \( 25, 49, 81 \) não formam um quadrado perfeito. Portanto, a alternativa A) não é a resposta. Para a alternativa B) 18: \( 81 - 4 \cdot 18 \cdot c = n^2 \) \( 81 - 72c = n^2 \) \( 9, 81 \) formam um quadrado perfeito. Portanto, a alternativa B) é a resposta. Assim, o maior valor que \( c \) pode assumir para que as raízes da equação sejam números inteiros é 18. Portanto, a resposta correta é B) 18.