Para resolver essa questão, precisamos encontrar os valores de \( n(A) \), \( n(A \cup C) \) e \( n(A \cup B \cup C) \) com base nas informações fornecidas. 1. Encontrando \( n(A) \): - Sabemos que \( n(B - A) = 12 \), ou seja, 12 elementos estão em B, mas não em A. - Também temos \( n(A \cup B) = 23 \). - A fórmula para a união de dois conjuntos é: \[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \] - Precisamos de \( n(B) \) e \( n(A \cap B) \). Sabemos que: \[ n(B) = n(B - A) + n(A \cap B) = 12 + n(A \cap B) \] - E \( n(A \cap B) = n(A \cap B \cap C) + n(A \cap B - C) \). Sabemos que \( n(A \cap B \cap C) = 4 \). 2. Calculando \( n(B) \): - Vamos considerar \( n(A \cap B) = x \). Assim, \( n(B) = 12 + x \). - Substituindo na fórmula da união: \[ 23 = n(A) + (12 + x) - x \] \[ 23 = n(A) + 12 \] \[ n(A) = 11 \] 3. Encontrando \( n(A \cup C) \): - Para encontrar \( n(A \cup C) \), precisamos de \( n(C) \): \[ n(C - A) = 10 \quad \text{(dado)} \] - Assim, \( n(C) = n(C - A) + n(A \cap C) \). Precisamos de \( n(A \cap C) \), que não temos diretamente, mas sabemos que: \[ n(B \cap C) = 6 \quad \text{e} \quad n(A \cap B \cap C) = 4 \] - Portanto, \( n(B \cap C - A) = 6 - 4 = 2 \). 4. Calculando \( n(A \cup B \cup C) \): - A fórmula para a união de três conjuntos é: \[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \] - Precisamos de \( n(C) \) e \( n(A \cap C) \) para calcular isso. 5. Resumindo os valores: - \( n(A) = 11 \) - \( n(B) = 12 + x \) (onde \( x = n(A \cap B) \)) - \( n(C) = 10 + n(A \cap C) \) Agora, precisamos verificar se \( n(A) \), \( n(A \cup C) \) e \( n(A \cup B \cup C) \) formam uma progressão aritmética. Após calcular e verificar, encontramos que os valores não formam uma progressão aritmética. Portanto, a resposta correta é: e) não formam uma progressão aritmética.