Para resolver essa questão, vamos considerar que os lados do triângulo retângulo são os dois catetos e a hipotenusa. Como os lados formam uma progressão aritmética (PA), podemos representá-los como \( a \), \( a + d \) (catetos) e \( a + 2d \) (hipotenusa), onde \( d \) é a razão da PA. Sabemos que o perímetro do triângulo é a soma dos lados, ou seja: \[ a + (a + d) + (a + 2d) = 36 \] Isso simplifica para: \[ 3a + 3d = 36 \] Dividindo tudo por 3, temos: \[ a + d = 12 \] Agora, como estamos lidando com um triângulo retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras: \[ a^2 + (a + d)^2 = (a + 2d)^2 \] Substituindo \( d \) por \( 12 - a \): \[ a^2 + (a + (12 - a))^2 = (a + 2(12 - a))^2 \] Isso se torna: \[ a^2 + 12^2 = (24 - a)^2 \] Resolvendo isso, temos: \[ a^2 + 144 = 576 - 48a + a^2 \] Cancelando \( a^2 \) de ambos os lados: \[ 144 = 576 - 48a \] Isolando \( a \): \[ 48a = 576 - 144 \] \[ 48a = 432 \] \[ a = 9 \] Agora, substituindo \( a \) para encontrar \( d \): \[ d = 12 - a = 12 - 9 = 3 \] Assim, os lados do triângulo são: - Primeiro cateto: \( a = 9 \) - Segundo cateto: \( a + d = 9 + 3 = 12 \) - Hipotenusa: \( a + 2d = 9 + 6 = 15 \) Portanto, o cateto maior é 12 cm. A alternativa correta é: B) 12.