Se 51 cos =+ xxsen, com 0 ≤ x ≤ π, então o valor de sen 2x é: a) 2512− b) 2524− c) 2512 d) 2516 e) 2524

Para resolver essa questão, podemos utilizar a identidade trigonométrica fundamental: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \). Dada a equação \( 5\sqrt{3} \cos(x) = x \sin(x) \), podemos elevar ambos os lados ao quadrado para obter: \( (5\sqrt{3} \cos(x))^2 = (x \sin(x))^2 \) \( 75 \cos^2(x) = x^2 \sin^2(x) \) Sabemos que \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), então podemos substituir na equação acima: \( 75(1 - \sin^2(x)) = x^2 \sin^2(x) \) \( 75 - 75\sin^2(x) = x^2 \sin^2(x) \) \( 75 = x^2 \sin^2(x) + 75\sin^2(x) \) \( 75 = x^2 \sin^2(x) + 75\sin^2(x) \) \( 75 = \sin^2(x)(x^2 + 75) \) \( \sin^2(x) = \frac{75}{x^2 + 75} \) Agora, queremos encontrar \( \sin(2x) \), que pode ser calculado usando a identidade trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \): \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) \( \sin(2x) = 2\sqrt{\frac{75}{x^2 + 75}} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} \) \( \sin(2x) = 2\sqrt{\frac{75}{x^2 + 75}} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} \) \( \sin(2x) = 2\sqrt{\frac{75}{x^2 + 75}} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} \) \( \sin(2x) = 2\sqrt{\frac{75}{x^2 + 75}} \) Portanto, a resposta correta é a alternativa: c) 25√12.