Para resolver a integral \( \int x^2 \sin(x) \, dx \) usando integração por partes, seguimos os passos da fórmula de integração por partes, que é dada por \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \). Na explicação fornecida, definimos \( u = x^2 \) e \( dv = \sin(x) \, dx \). Então, diferenciamos \( u \) para obter \( du \) e integramos \( dv \) para obter \( v \). \( u = x^2 \) \( du = 2x \, dx \) \( dv = \sin(x) \, dx \) \( v = -\cos(x) \) Aplicando a fórmula de integração por partes duas vezes, temos: \[ \begin{aligned} \int x^2 \sin(x) \, dx & = -x^2 \cos(x) - \int -\cos(x) \cdot 2x \, dx \\ & = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx \end{aligned} \] Para resolver \( \int x \cos(x) \, dx \), podemos usar integração por partes novamente, definindo \( u = x \) e \( dv = \cos(x) \, dx \). \( u = x \) \( du = dx \) \( dv = \cos(x) \, dx \) \( v = \sin(x) \) Aplicando a fórmula de integração por partes mais uma vez, obtemos: \[ \begin{aligned} \int x \cos(x) \, dx & = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx \\ & = x \sin(x) + \cos(x) + C \end{aligned} \] Substituindo de volta na expressão original, temos: \[ \begin{aligned} \int x^2 \sin(x) \, dx & = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C \\ & = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C \end{aligned} \] Portanto, a alternativa correta é: A) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \)