Grátis: **53.** Qual é o resultado do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)? A) 0 B) 1 C) \( \infty \) D) -1 Resposta: B) 1 Explicação:... – Questões Respondidas

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**53.** Qual é o resultado do limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)?
A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) -1
Resposta: B) 1
Explicação: Este é um limite bastante conhecido e é um resultado importante em cálculo, confirmando que o comportamento de \( \tan(x) \) se aproxima de \( x \).

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O limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \) é um resultado importante em cálculo. Quando calculamos esse limite, encontramos que o resultado é igual a 1. Portanto, a alternativa correta é B) 1.

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41. Calcule a integral \( \int x^2 \sin(x) \, dx \) usando integração por partes.
A) \( -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \)
B) \( x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + C \)
C) \( -2x \cos(x) + x^2 \sin(x) + C \)
D) \( x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + C \)
D) \( x^2 \sin(x) - 2x \cos(x) + C \)
Explicação: Usando integração por partes, definimos \( u = x^2 \) e \( dv = \sin(x)dx \). Então, aplicamos a fórmula de integração por partes duas vezes.

42. Qual é a derivada implícita da equação \( x^2 + y^2 = 25 \)?
A) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)
B) \( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \)
C) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)
D) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{25x}{y^2} \)
Resposta: A) \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)
Explicação: Derivando implicitamente, temos \( 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \), resultando em \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \).

43. O que é um ponto de inflexão em uma função?
A) Onde a função tem seu maior valor
B) Onde a primeira derivada é zero
C) Onde a segunda derivada muda de sinal
D) Onde a função não é contínua
Resposta: C) Onde a segunda derivada muda de sinal
Explicação: Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, o que implica que a segunda derivada muda de sinal nesse ponto.

45. Determine o volume gerado pela rotação da região sob a curva \( y = x^2 \) em torno do eixo X no intervalo \( [0, 1] \).
A) \( \frac{1}{3} \pi \)
B) \( \frac{1}{5} \pi \)
C) \( \frac{1}{4} \pi \)
D) \( \frac{1}{2} \pi \)
Resposta: A) \( \frac{1}{3} \pi \)
Explicação: Usando o método dos discos: \[ V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^4 \, dx = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{\pi}{5} \].

46. Qual é o resultado da série geométrica \( \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \) onde \( |r| < 1 \)?
A) \( \frac{a}{1-r} \)
B) \( a + r \)
C) \( ar^2 \)
D) \( ar \)
Resposta: A) \( \frac{a}{1-r} \)
Explicação: A série geométrica converge para \( \frac{a}{1-r} \) quando \( |r| < 1 \), representando a soma de uma progressão que se alonga infinitamente.

47. O que caracteriza um comportamento assintótico?
A) O comportamento de uma função quando \( x \) tende a zero
B) O comportamento de uma função para grandes valores de \( x \)
C) A taxa de crescimento de uma função
D) O valor médio de uma função
Resposta: B) O comportamento de uma função para grandes valores de \( x \)
Explicação: O comportamento assintótico de uma função fornece informações sobre como ela se comporta quando \( x \) cresce ou diminui infinitamente, incluindo seu limite.

48. Calcule a integral \( \int \frac{1}{x} \, dx \).
A) \( \ln|x| + C \)
B) \( e^x + C \)
C) \( -\ln|x| + C \)
D) \( x^2 + C \)
Resposta: A) \( \ln|x| + C \)
Explicação: A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \), um resultado padrão em cálculo.

49. O que resulta na aplicação da regra do produto para derivadas?
A) \( (uv)' = u'v + uv' \)
B) \( (u+v)' = u' + v' \)
C) \( (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
D) \( (u^n)' = nu^{n-1}u' \)
Resposta: A) \( (uv)' = u'v + uv' \)
Explicação: A regra do produto nos ajuda a derivar produtos de funções, resultando na fórmula mencionada.

50. Qual é a função geradora da série de Fibonacci?
A) \( \frac{x}{1 - x - x^2} \)
B) \( \frac{1}{1 - x} \)
C) \( \frac{x^2}{1 - x} \)
D) \( \frac{x^2}{1 - x^2} \)
Resposta: A) \( \frac{x}{1 - x - x^2} \)
Explicação: A função geradora da série de Fibonacci é expressa dessa maneira, capturando o comportamento da sequência.