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39. Qual é a integral de ∫(0 to pi/2) sin(x) cos(x) dx? a) 1/2 b) 1/4 c) pi/4 d) 1/3 a) 1/2 b) 1/4 c) pi/4 d) 1/3

Desafios Para o Conhecimento

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dia de matematica 101

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ESTÁCIO

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Ed

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Para resolver a integral de ∫(0 até π/2) sin(x) cos(x) dx, podemos utilizar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x). Assim, a integral se torna: ∫(0 até π/2) sin(x) cos(x) dx = ∫(0 até π/2) 1/2 sen(2x) dx Aplicando a fórmula da integral de sen(ax) dx, que é -1/a cos(ax), obtemos: = 1/2 * [-1/2 cos(2x)] de 0 até π/2 = 1/4 * [-cos(π) + cos(0)] = 1/4 * [-(-1) + 1] = 1/4 * (1 + 1) = 1/2 Portanto, a resposta correta é a) 1/2.

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38. Qual é o valor da integral ∫(1 to e^2) 1/(x ln(x)) dx?

a) ln(ln(e^2)) - ln(ln(1))

b) ln(ln(e^2))

c) ln(ln(e^2) - ln(1)

d) ln(e^2)

Resposta: a) ln(ln(e^2)) - ln(ln(1))

Explicação: Usando substituição u = ln(x), ∫(1 to e^2) 1/(x ln(x)) dx = ln(ln(x)) |_(1 to e^2) = ln(2) - ln(0) = ln(ln(e^2)).

a) ln(ln(e^2)) - ln(ln(1))
b) ln(ln(e^2))
c) ln(ln(e^2) - ln(1)
d) ln(e^2)

46. Determine a integral ∫(0 to 1) x^3 dx.
a) 1/4
b) 1/5
c) 1/6
d) 1/7
a) 1/4
b) 1/5
c) 1/6
d) 1/7