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6. Qual é o valor da integral definida ∫₀^(π/2) sin²(x) dx? a) π/4 b) π/2 c) π/8 d) π/6 a) π/4 b) π/2 c) π/8 d) π/6

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Para resolver essa integral definida, podemos utilizar a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a integral definida ∫₀^(π/2) sin²(x) dx se torna ∫₀^(π/2) (1 - cos(2x))/2 dx. Integrando termo a termo, obtemos: ∫₀^(π/2) (1 - cos(2x))/2 dx = ∫₀^(π/2) 1/2 dx - ∫₀^(π/2) cos(2x)/2 dx. Calculando as integrais, temos: [ x/2 - (sen(2x)/4) ] de 0 a π/2. Substituindo os limites de integração, obtemos: [ (π/2)/2 - (sen(π)/4) ] - [ (0)/2 - (sen(0)/4) ]. Simplificando, temos: π/4 - 0 = π/4. Portanto, o valor da integral definida ∫₀^(π/2) sin²(x) dx é π/4. Assim, a alternativa correta é: a) π/4.

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1. Qual é o valor da integral ∫₀¹ (3x² - 2x + 1) dx?
a) 7/3
b) 5/3
c) 2/3
d) 4/3
a) 7/3
b) 5/3
c) 2/3
d) 4/3

3. Qual é a derivada de f(x) = e^(2x)?
a) 2e^(2x)
b) e^(2x)
c) 2xe^(2x)
d) 4e^(2x)
a) 2e^(2x)
b) e^(2x)
c) 2xe^(2x)
d) 4e^(2x)

4. Encontre a integral de ∫ x cos(x) dx.
a) x sin(x) - cos(x) + C
b) x sin(x) + cos(x) + C
c) -x sin(x) + cos(x) + C
d) -x sin(x) - cos(x) + C
a) x sin(x) - cos(x) + C
b) x sin(x) + cos(x) + C
c) -x sin(x) + cos(x) + C
d) -x sin(x) - cos(x) + C

7. Qual é a derivada de f(x) = ln(x² + 1)?
a) 2x/(x² + 1)
b) x/(x² + 1)
c) 2x/x
d) 2x/(x² + 1) * 1/(x² + 1)
a) 2x/(x² + 1)
b) x/(x² + 1)
c) 2x/x
d) 2x/(x² + 1) * 1/(x² + 1)

9. Qual é o valor da integral ∫ e^(-x²) dx entre os limites -∞ e ∞?
a) √π
b) π
c) 1
d) 0
a) √π
b) π
c) 1
d) 0

10. Encontre a derivada de f(x) = sin²(x).
a) 2 sin(x) cos(x)
b) cos²(x)
c) 2 sin(x) * sin(x)
d) sin(x) cos(x)
a) 2 sin(x) cos(x)
b) cos²(x)
c) 2 sin(x) * sin(x)
d) sin(x) cos(x)

11. Determine o valor da integral ∫₀¹ x³ dx.
a) 1/4
b) 1/5
c) 1/3
d) 1/2
a) 1/4
b) 1/5
c) 1/3
d) 1/2

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