Considere a função g(x) = x − 3 2 x + 1 ​2x+1 ​ ​x−3 ​​ . O domínio de g(x) e a função inversa de g(x) são, respectivamente:

Para encontrar o domínio da função \( g(x) = \frac{x - 3}{2x + 1} \), precisamos identificar os valores de \( x \) que não tornam o denominador igual a zero. 1. Encontrar o denominador: \( 2x + 1 = 0 \) 2. Resolver para \( x \): \[ 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Portanto, o domínio de \( g(x) \) é todos os números reais, exceto \( x = -\frac{1}{2} \): \[ D(g) = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\} \] Agora, para encontrar a função inversa \( g^{-1}(x) \): 1. Trocar \( g(x) \) por \( y \): \[ y = \frac{x - 3}{2x + 1} \] 2. Trocar \( x \) e \( y \): \[ x = \frac{y - 3}{2y + 1} \] 3. Resolver para \( y \): \[ x(2y + 1) = y - 3 \] \[ 2xy + x = y - 3 \] \[ 2xy - y = -3 - x \] \[ y(2x - 1) = -3 - x \] \[ y = \frac{-3 - x}{2x - 1} \] Assim, a função inversa é: \[ g^{-1}(x) = \frac{-3 - x}{2x - 1} \] Resumindo: - O domínio de \( g(x) \) é \( \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\} \). - A função inversa \( g^{-1}(x) = \frac{-3 - x}{2x - 1} \).