Resumo Múltiplos e Divisores

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Múltiplos e divisores de um Número Natural 
 O múltiplo de um número natural é o 
produto deste número por um outro número 
natural qualquer 
 Exemplo: 
4 × 3 = 12 
 Onde temos que 12 é múltiplo de 4 e 
múltiplo de 3. 
 Divisor de um número natural é todo 
número diferente de zero que, ao dividir este 
número, resulta em uma divisão exata, em outras 
palavras, uma divisão com resto igual a zero. 
 Exemplo: 
12 ÷ 4 = 3 
 Onde temos que 4 é divisor de 12, pois 
4 × 3 = 12. 
12 4 
−12 3 
0 
Múltiplos e divisores de um Número Inteiro 
 Múltiplos: 
× −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 
+3 −9 −6 −3 0 +3 +6 +9 
+4 −12 −8 −4 0 +4 +8 +12 
−5 +15 +10 +5 0 −5 −10 −15 
 
múltiplos(+3) = {0, ±3, ±6, ±9, ⋯ } 
múltiplos(+4) = {0, ±4, ±8, ±12, ⋯ } 
múltiplos(+5) = {0, ±5, ±10, ±15, ⋯ } 
 Divisores: 
divisores(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} 
 Vamos aprender o algoritmo para calcular 
todos os divisores de um número. Usaremos como 
exemplo o número 60. 
− 1º passo: fatorar o número em fatores 
primos. 
 
60 2 
30 2 
15 3 
5 5 
1 
− 2º passo: primeiramente inserimos o 
número 1, pois 1 é divisor de todos os 
números, e logo após, multiplicaremos o 
primeiro fator primo por 1 para obter o 
segundo divisor: 
 1 
60 2 2 
30 2 
15 3 
5 5 
1 
− 3º passo: o próximo passo seria multiplicar 
o próximo fator primo pelos dois divisores 
obtidos, mas como 2 está repetido, se 
multiplicarmos por 1 obteríamos o número 
2 novamente como divisor, logo, só 
precisamos multiplicar o próximo fator 
primo pelo último divisor: 
 1 
60 2 2 
30 2 4 
15 3 
5 5 
1 
− 4º passo: multiplicar 3 pelos divisores já 
obtidos: 
 1 
60 2 2 
30 2 4 
15 3 3, 6, 12 
5 5 
1 
 
− 5º passo: multiplicar 5 pelos divisores já 
obtidos: 
 1 
60 2 2 
30 2 4 
15 3 3, 6, 12 
5 5 5.10, 20, 15, 30, 60 
1 
Lembrando que os números negativos 
também são divisores de 60, então temos que os 
divisores de 60 em ordem crescente são ±1, ±2, 
±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30 e 
±60. 
Máximo Divisor Comum 
 Para calcularmos o máximo divisor comum, 
ou mdc, devemos primeiramente fatorar os 
números que queremos calcular o mdc em fatores 
primos. Usaremos como exemplo os números 60 e 
100. 
60 2 100 2 
30 2 50 2 
15 3 25 5 
5 5 5 5 
1 22 × 3 × 5 1 22 × 52 
 
 Agora, destacamos os fatores primos 
comuns a 60 e a 100 
60 = 2 × 2 × 3 × 5 
100 = 2 × 2 × 5 × 5 
 Logo, o mdc de 60 e 100 será: 
mdc (60, 100) = 2 × 2 × 5 = 20 
Mínimo Múltiplo Comum 
 Para calcularmos o mínimo múltiplo 
comum, ou mmc, usaremos o método da 
decomposição simultânea: 
− 1º passo: dividimos os dois números por 2, 
pois os dois números são pares: 
60, 100 2 
30, 50 
 
 
 
 
− 2º passo: dividiremos novamente os dois 
números por 2, pois são pares: 
60, 100 2 
30, 50 2 
15, 25 
 
 
 
− 3º passo: dividiremos apenas o número 15 
por 3, pois 25 não é divisível por 3: 
60, 100 2 
30, 50 2 
15, 25 3 
5, 25 
 
 
− 4º passo: dividiremos 5 e 25 por 5: 
60, 100 2 
30, 50 2 
15, 25 3 
5, 25 5 
1, 5 
 
− 5º passo: dividiremos 5 por 5: 
60, 100 2 
30, 50 2 
15, 25 3 
5, 25 5 
1, 5 5 
1, 1 22 × 3 × 52 = 300 
Logo, o resultado do mmc é 22 × 3 × 52 =
4 × 3 × 25 = 12 × 25 = 300 
 Para calcularmos o mmc entre três 
números, faremos a decomposição simultânea dos 
três: 
12, 18, 30 2 
6, 9, 15 2 
3, 9, 15 3 
1, 3, 5 3 
1, 1, 5 5 
1, 1, 1 22 × 32 × 5 = 180