Ábacos Flexão Reta - Copia

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SOLICITADAS À FLEXÃO RETA WILSON SÉRGIO VENTURINI ROGÉRIO DE OLIVEIRA RODRIGUES São Carlos, 1987INDICE 1. INTRODUÇÃO 1 2. DE CÁLCULO. ESTADO LIMITE 2 3. COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES 6 4. EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO. SEÇÃO RETANGULAR 12 5. CÁLCULO SIMPLIFICADO. SEÇÕES RETANGULARES 14 6. EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS 18 7. ABACOS DE DIMENSIONAMENTO 24 8. EXEMPLOS 31 8.1 - Exemplo de verificação 32 8.2 - Exemplo de dimensionamento 33-1- 1. INTRODUÇÃO Este texto faz parte do material u- tilizado nas disciplinas de concreto armado oferecidas pelo Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de Carlos USP para os alunos do curso de engenharia civil. As aqui utilizadas foram definidas em textos an teriormente mostrados. Nos casos de novos símbolos, estes serao definidos a medida que forem utilizados. 0 assunto a qui tratado e sobre o dimensionamento de peças de concreto armado solicitadas à flexao reta. Note-se que essa fase do curso sobre resistência do concreto armado as básicas do estado limite último para o cálculo de peças fle tidas foram estudadas tendo sido mostrado o dimensiona- mento de peças solicitadas à flexão simples apenas. Para o dimensionamento de peças de concreto arma- do submetidas à flexao composta, reta ou obliqua, a resultan te das tensões resistentes na seção considerada, nao nula. Neste caso deve-se igualar essa resultante à força nor mal de cálculo, permitindo-s estabelecer, assim, uma das de equilíbrio. Com relação ao momento fletor, a de equilíbrio a ser imposta na resolução do blema e a mesma utilizada para o caso da simples ou seja, R = M isto e, momento solicitante de cálculo igual a momento resistente. Na flexao normal composta, caso que se pretende abranger neste texto, as grandezas M R e M d ficam definidas por apenas uma das componentes, que neste caso particu- lar o plano do momento está definido e coincide com o eixo de simetria da peça. Assim, essas grandezas sem- pre referidas como R e objetivo do equacionamento a ser mostrado e presentar uma maneira simples de encontrar a solução para o sistema de duas não lineares resultantes da :imposi do equilíbrio entre esforços resistentes e atuantes, le vando-se em conta as relativas a deformações e as tensao dos dois materiais.ainda oportuno salientar que neste texto varia- dos esforços solicitantes, nas peças de concreto arma- do, decorrentes da mudança de forma da peça, nao serão estu- dadas. estado limite último de instabilidade deverá ser tratado em oportuna. 2. DE CÁLCULO. ESTADO LIMITE As para o estudo das de concreto armado com relação a sua capacidade resistente, ferentes a solicitações normais abrangem os limites de defor- mações já anteriormente descritos e os diagramas convencio- nais para o concreto e o aço. Admite-se para o concreto, no estado limite últi- mo, uma relação de cálculo onde o valor das tensoes e dado por um diagrama lo (fig. 2.1) na regiao onde as deformações sao de compres e e nulo na regiao de positivas, uma vez que qualquer resistência do concreto a tração e desprezada. Algebricamente essa pode ser expressa na seguinte forma: 0.002 0.0035 Fig. 2.1 - Diagrama de para o con creto.-3- = -0,85 f cd para -0,002 > > -0,0035 = 850 cd 1+250 E E C para -0,002 (2.1) para sinal "menos" e mantido, aqui, para caracteri- zar tensoes e deformações de de modo que as equa decorrentes do equacionamento a ser mostrado sejam con sistentes, evitando-se assim análises particulares para a- tribuir sinal aos esforços resultantes. Para o aço Classe A o diagrama indica material elasto-plastico perfeito. A tensao va- ria linearmente o limite de escoamento e e constante pa ra valores de deformação superior a esse ponto. A simetria indicada no diagrama da figura 2.2 e outra caracteristica do comportamento desse aço; tanto para tração como para com pressao o início do escoamento e dado, pelos mesmos valores absolutos da tensao e da deformação. Entretanto, para valo- res de inferiores a -0,0035 o uso do diagrama*perde sen- tido, uma vez que a solidariedade entre os materiais e admi tida perfeita para a existência do concreto armado, nao po- dendo portanto os valores da deformação ultrapassar o limi- te estabelecido para o concreto. No caso do aço Classe B, obtidos por encruamento a frio, o diagrama adotado para a relação de cálculo e apresentado na figura 2.3. Diferentemente do caso anterior o diagrama apresenta um tre cho com encruamento cuja representação analítica e dada por uma do grau, E S = S + 45 1 f yd - 0,7) 2 (2.2) ou em sua forma inversa,-4- fyd 0.0035 0.01 Es Fig. 2.2 - Diagrama tensao / ao de cálculo. Clas- se A fyd 0.0035 Ep Eyd Es 0.7 fycd Fig. 2.3 - Diagrama de - se B-5- E 22,5f S = f yd 0,7 - + S yd E (22,5f S -0,7) 2 +45 E -0,49 E S (3.3) Como no caso anterior, e deformações de tem sinal negativo para facilitar a elaboração dos numericos utilizados na montagem dos ábacos mostrados no final deste texto. Com relação aos limites estabelecidos para as de - formações, os domínios de deformação, já amplamente discuti dos, caracterizam-se pelos valores máximos permitidos. Para o concreto esses limites sao -0,0035 e -0,002, e para o aço 0,01. entretanto oportuno mostrar que seis domínios de finidos podem ser enquadrados em apenas três regioes bem car terizadas. Note que o estado limite último e caracterizado por uma deformação limite, sendo sempre os valores das ten- soes decorrentes do estado de peça. A partir dos valores limites 0,01, -0,0035 e -0,002 definem-se as regioes I, e III indicadas na figura 2.4. A região I e definida pelo limite de deformação 0,01 na ar- madura mais tracionada, abrangendo portanto 1 e 2. Nesta região a fibra de concreto menos tracionada tem de formação entre os valores -0,0035 e 0,01. A segunda e caracterizada pelo valor -0,0035 de deformação na mais comprimida da peça, podendo a parte tracionada variar de uma igual a 0,01 na barra mais tracio- nada da armadura a uma deformação nula na fibra mais tracio nada da peça. Assim a regiao II engloba os domínios 3, 4 e 4a. A região III e aqui reservada para peças mente comprimidas, coincidindo portanto com o 5, e e caracterizada pela deformação igual a -0,002 para o pon- to distante 3/7h da borda mais comprimida da peça.-6- COMPRESSÃO TRAÇÃO II I 7 0,002 h y di 0,01 Fig. 2.4 - Regioes de deformação 3. COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÕES Assumindo válida a da conservação da se- plana e considerando que uma das deformações limites de finidas, para as I, II ou III, no item anterior de- va ser imposta, deformações em quaisquer outros pontos da fica automaticamente conhecidos em apenas da posição do eixo neutro da peça, já que para a definição de uma reta, seção deformada, basta a fixação de dois valores. Para facilitar o entendimento apresentam-se abai- as expressoes das deformações, ao longo de uma seção qual quer para cada uma das regioes descritas anteriormente. Regiao I Considerando o valor último E = 0,01 para a ar- su madura tracionada, pode-se escrever a seguinte relação para a deformação, E, de um ponto distante y do centro geometrico da peça:-7- d' E X h/2 E y h/2 d Esu = 0.01 Fig. 3.1 - Deformações da I E y-y E (3.1) Lembrando que tradicionalmente a posição do eixo neutro e indicada pelo e que (3.2) a relação (3.1) fica, (3.3) onde = d'/h (3.4) B y = y/h A relação (3.3) os valores das deformações no aço e no concreto para qualquer desde que co- nhecida a posição do eixo neutro E. É importante observar que a do ponto y = -h/2 (ou B y = -1/2), Ec2' deve obedecer os limites des- - critos para a I, , isto e,-8- E 0,01 e > -0,0035 Substituindo a primeira dessas desigualdades em (3.3) observa-se que essa condição significa pertencente ao campo real. So não seria verificada se fosse admitido deformações na borda superior maiores que as da borda infe rior. Introduzindo-se a segunda desigualdade em (3.3) - tem-se, -0,0035 (3.5) Resolvendo-se (3.5) em termos de vem 0,259(1-8) (3.6) Para valores de acima do indicado em (3.6) a regiao de deformações nao será mais a I, portanto a equação de compatibilidade neste caso deverá ser a da re- gião II ou região III. Região II Impondo-se para esta regiao o limite = -0,0035 para a deformação (figura 3.2) que ocorre na parte mais comprimida da peça, a equação de compatibilidade fica dada pela seguinte d' h/2 y h/2 d' E Fig. 3.2 - da II-9- 0,0035 = (3.7) 0,5h+y Substituindo-se em (3.7) os valores de (3.2) e dividindo-se numerador e denominador por h obtem-se (3.8) valor de E acima deverá obedecer os seguintes limites 0,01 (3.9) Quando a primeira dessas condições nao for aten- dida o caso em análise pertence a região I; caso seja a se- gunda condição que esteja sendo violada o problema deve ser equacionado com as relações da regiao III. Substituindo-se em (3.8) By = 0,5-8' e 1 e utili- zando as expressoes (3.9) obtem-se o seguinte intervalo de variação para dentro da 0,259(1-8) 1 (3.10) Regiao III Esta regiao corresponde exatamente ao domínio 5, os valores das deformações ficam agora dados em função do valor fixado para o ponto situado a 3/7h bor- da mais comprimida. A figura 3.3 mostra o diagrama de deformações cor respondentes a regiao III, destacando-se o valor último cu3 = -0,002 para a deformação de um ponto com -1/14h.-10- d' h/2 7 0,002 14 y h/2 d' Fig. 3.3 - Deformação da região III A expressão da deformação para qualquer ponto y fica novamente expressa pela equação de uma reta que neste caso e dada por, (y-y o (3.11) x-3/7 h Substituindo-se o valor de de acordo com (3.2) o e dividindo-se numerador e denominador por h vem, (3.12) Para que o estado de deformação peça perten- ça a III basta que se verifique a seguinte condição (3.13) Calculando -se o valor da na fi- bra mais tracionada, a partir de (3.12) com B = 1/2 e impondo y a desigualdade (3.13) obtem-se o seguinte intervalo para na regiao III (3.14)-11- As equações (3.3), (3.8) e (3.12) representam as condições de compatibilidade para as três regioes de defor mações utilizadas. Lembrando que essas equações na verdade representam equações de retas, pode-se facilmente alterar as formas apresentadas de maneira a serem expressas por ma única equaçao que depende de apenas dois valores carac- terísticos da região. Escolhendo-se como indicadores da re- gião o valor da deformação última 0,01, -0,0035 ou -0,002, respectivamente para região I, II ou III, e uma cons tante adimensional obtida a partir da distância do pon- to do valor último a borda mais comprimida dividida por h, a seguinte para E pode ser escrita. (3.15) o Considerando-se as os valores assu midos por u e o são: Regiao I su = Regiao II = -0,0035 Regiao III = -0,0024. EQUAÇÕES DE - SEÇÃO RETANGULAR No item anterior foram mostradas as expressoes pa ra o cálculo da deformação em um ponto generico de uma peça qualquer de concreto armado, a partir dos valores limites estabelecidos pela Norma Brasileira NB1/78. Sendo os - res das tensoes calculados sempre em função das deformações, para se ter a distribuição das tensões resistentes em uma peça qualquer de concreto armado, basta a utilização das re lações (2.1), (2.2) e (2.3). A partir dos valores das assim calculados obtem-se os esforços resistentes da seção. No caso particular de seção retangular, conside- rando-se o eixo neutro perpendicular ao plano de simetria da peça, para se ter flexao composta reta, os esforços re- sistentes NR e M R sao dados pelas seguintes expressoes (ver figura 4.1), d' EC2 0,85 fcd h y, Rsi si - bw b) Deformação c) Tensões d) Resultantes Fig. 4.1 - Seção retangular de concreto armado. Tensoes e N = R + R si i=1 (4.1) N MR = M + C i=1-13- Onde número de barras da armadura, e e sao resultantes de tensão da seção comprimida de concre to armado relativas à força normal e ao momento fletor, is to e = (4.2) M = Escrevendo- se as resultantes de tensao na armadu ra em função da da área de cada barra, ob tem-se, = i=1 N M R = i=1 Sendo a seção retangular, as integrais de área pas sam a ser apenas função da variável y, ficando (4.3) dada por: N (4.4a) i=1 N (4.4b) R i=1 As equações (4.4) permitem avaliar esforços re sistentes, em uma seção de concreto armado com geo metria, e dos materiais definidas. Deve-se notar que os valores dos esforços sao apenas função da po- sição do eixo neutro,y e das tensoes, e ficando-14- portanto os valores de NR e MR independentes. Cada um deles depende apenas da posição deformada a ser imposta a peça. Assim, a equação (4.4) permite o cálculo de verificação de uma peça de concreto armado obtendo-se pares para qualquer que seja a posição do eixo neutro. Note-se que no caso de flexao simples, o problema de verificação permite calcular um único valor de entretanto neste caso a con- dição adicional NR = 0 sendo imposta, fazendo com que a posição do eixo neutro fique determinada. Em problemas de dimensionamento, determinação da ar madura para uma solicitação dada, o e imposto zendo esforços solicitantes de cálculo iguais a esforços re- sistentes isto e, = (4.5) Com essa condição a equação para o dimensionamento de peças retangulares fica, N = b dy + -h/2 i=1 (4.6) N b dy + W -h/2 i=1 5. CÁLCULO SIMPLIFICADO - SEÇÕES RETANGULARES As (4.6) mostradas acima representam o e- quilíbrio entre esforços resistentes e solicitantes em uma retangular para qualquer que seja a distribuição armadura no interior da seção. Uma que fa- cilita o entendimento do problema proposto e considerar a-15- armadura constituída de barras localizadas em apenas duas as bordas superior e inferior da seção transversal. Deste modo as (4.6) pas sam a ter no maximo dois termos, existindo tambem a possi- bilidade de uma das armaduras ser eliminada ficando a se- ção com armadura simples. Outra simplificação usual que pode ser adotada e a substituição do diagrama no concreto, cons por um trecho e outro retangular, por u ma distribuição constante de tensoes. Introduzindo-se essas duas simplificações, indica- das esquematicamente na figura 5.1, as equações de equili- brio 4.6 podem ser reescritas, As2 d' 0,85fcd Rs2 0,4x h/2 y d bw b) Deformações c) Tensões Resistentes Fig. 5.1 - Seção de concreto armado. Diagrama simplificado de tensões e resultantes. 0,8x-h/2 + 0,8x-h/2 b ydy + -h/2 -As2 (0,5h-d')o s 2 (5.1)-16- Fazendo-se as integrais indicadas obtem-se, = -0,68f cd b X + + W (5.2) = b (h-0,8x) + (0,5h-d') cd W Nas acima o valor de X e sempre positivo e nunca maior que 1,25h. Nos casos onde a posição do eixo neu tro levaria a valores fora desse intervalo o valor de X, na (5.2), deverá ser tomado igual a zero quando a se- ção está totalmente tracionada e igual a 1,25h quando total mente comprimida. dimensionamento de peças de concreto armado subme tidas à flexao composta e sempre feito com base em (5.2) e levando em conta a equação de compatibilidade (3.15) para que as tensões nas barras fiquem definidas. Em geral, no di mensionamento, a geometria da seção e previamente estabeleci da ficando como incognitas as variáveis As1' As2 e X. sim, o sistema tem infinitas Portanto para se ter uma solução do sistema uma dessas variáveis deve ser neces- sariamente arbitrada. Fixando-se a linha neutra as incogni- tas do problema ficam sendo as armaduras. Se ao contrário, for fixada uma armadura ou a relação entre elas, as tas, neste caso, ficam sendo a posição do eixo neutro, e o valor de uma das armaduras. Embora pelo descrito acima pareça que a solução se- ja muito simples, bastando adotar uma das variáveis, e im- portante lembrar que a fixação desse valor deve obedecer ca racteristicas impostas pela solicitação. A coerência em re- lação ao adotado pode ser verificada pelo signifi cado dos valores obtidos. Assim, se uma das áreas da armadu ra calculada for negativa fica claro que a imposição feita incompatível com a solicitação e outro valor para o pa deve ser adotado para reanalizar o problema.-17- Para ilustrar o dito acima, toma-se um tirante licitado por uma força normal e com momento nulo. E que o adotado e X = acarretando = = Das equações (5.2) obtem-se: (5.3) Se outra condição diferente fosse imposta, algum ab- surdo resultaria dos valores calculados. Por do-se X = 8 obtem-se duas armaduras iguais e negativas. Exemplo Numerico Dados: geometria h = , = , d' = 3cm materiais aço: CA-50A , concreto: C-18 = 1582kNcm as armaduras Impondo = = As2' restam como do problema, X e podendo-se escrever (5.2) na seguinte for ma, = (5.4) = (0,5h-d') sistema acima deve ser resolvido sempre levando- - -se em conta a equação de compatibilidade Uma das maneiras de se obter a área desejada e de tentati vas. Adotando-se X obtem-se a partir da primeira equação de (5.4) valor de Com os valores de X e verifica-se a segunda Se os momentos calculado e aplicado forem-18- diferentes, adotam-se outros valores de X até que a conver- - seja verificada. Assim, fazendo-se X = 50cm (domínio 5) obtem-se = -4,41kN/cm2 e = podendo- -se, portanto, calcular As para a primeira tentativa. = Substituindo-se esse valor na segunda equação es- tima-se o valor do momento = 9413kNcm # 0 procedimento acima deve ser repetido para ou- tros valores de X encontrar = dentro de uma tole- rância acietável. No exercício proposto chega-se a X = 62,5cm e = 2,60cm 6. EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS As integrais do diagrama de tensao indicadas em (4.4) pode-se, por facilidade de entendimento, ser separa- - das em dois termos que correspondem as partes parabólica e retangular do diagrama de tensao. Assumindo-se que o trecho parabolico e definido entre os valores e e o trecho retangular e válido de e e substituindo o valor de de acordo com (2.1) obtem-se, b + N + (6.1) i=1-19- = W dy-0, + N i=1 As expressoes (6.1) permitem a avaliação dos esfor- resistentes, NR e para um seção retangular. Os limi tes de integração e a relação entre e y sao sempre dadas em função da posição linha neutra E. importante obser- - var que os valores limites e não devem, em módulo, ser maiores que h/2 para se ter integração apenas sobre as reais da peça. Para o estudo de seções de concreto armado e conve- niente escrever as relações (6.1) independentes das dimen- soes da peça, h e e da tensão de cálculo Para isso, definem-se agora os valores adimensionais da força normal e do momento fletor resistentes (6.2) MR Dividindo-se as (6.1) por respectivamente obtem-se, V = (6.3) N = 850 dB y -0,425 i=1 si onde definido como a taxa mecânica de armadura seção, va le,-20- (6.4) e relação entre a área de uma barra e a área total, (6.5) e sao as coordenadas adimensionais das das bar- ras, (6.6) As expressoes (6.3) podem ser transformadas substi- tuindo-se o valor de pela equação de compatibilidade da- da em (3.5) , obtendo-se, V = (6.7a) = -0,425 i=1 (6.7.b) Integrando-se (6.7) e substituindo os limites B1 e B2 chega-se a, +-21- + - + + + (6.8a) i=1 = + + - 2 (5-0,5) + + + (6.8b) i=1 As expressoes acima permitem a determinação dos forços adimensionais em uma seção retangular de concreto ar mado. Para o dimensionamento de uma seção deve-se procurar fazer o par de esforço resistente ser igual aos valores dos esforços adimensionais de cálculo, garantindo-se portanto o equilíbrio no estado limite último. Considerando- se em (6.8) e de cálculo obtem-se um sistema nao linear que resolvi do fornecerá valor da taxa mecânica de armadura, , para uma disposição de barras previamente fixada. Na resolução desse sistema será também determinada o que ape nas indica a posição do eixo neutro e portanto o em que o estado limite ocorre. Note-se que esse sistema assim apresentado tem solução única uma vez que as relaçoes entre diversos valores de Asi foram fixados pelos valores nsi' com todas as demais variáveis que aparecem em (6.8), e sendo funções de E. Para ilustrar a resolução do sistema acima, e anali- sado caso de peças totalmente comprimidas. Neste caso-22- passa a valer Ficam tambem fixados o valor = 3/7 e deformações para qualquer ponto iguais a -0,002. Calculan- do-se o limite de 6.8 para obtem-se, V = - = - (6.9) Agora com a posição da linha neutra definida de mais dependentes de ficam tambem definidos. Assim tem-se, para = - valor da tensão na armadura para Substituindo-se esses valores em (6.9) vem, V = -0,85 (6.10) N o sistema (6.10) permite a determinação da taxa me cânica de armadura, de uma seção totalmente comprimida. evidente que se uma variável foi fixada e - rio que apenas duas outras referentes a armadura sejam in- - cognitas para se ter solução de (5.11) única. Escolhendo- -se, por exemplo, para a seção, N = 2, com armaduras loca- - lizadas em = 0,5-8 e = -0,5+8, isto e, com ar-23- madura dupla, as relações ficam sendo tas do sistema. Sabendo-se + = 1 as equações (6.10) podem ser escritas na seguinte forma, = (6.11) da primeira obtem-se, (6.12) podendo-se calcular, a partir desse valor, (6.13) Lembrando-se da definição de taxa mecânica de ar- madura (6.4) obtem-se, (6.14) com armadura inferior dada por, (6.15) e armadura superior igual a, - (6.16)-24- Assim como as equações (6.8) foram particulariza- das para o caso de peças com força normal predominante, on de e a imposição de = outras particularizações tambem podem ser feitas. Recomenda-se, no entanto, que qual quer particularização seja feita com a fixação de ficando sem pre como relativos a armadura. equacionamento mostrado acima, entretanto, nao e usual. Para o direto da armadura o emprego do dia grama aproximado de tensões, ja mostrado no item 5, leva a um sistema relativamente mais simples, sendo, portanto, re- comendado. objetivo do equacionamento proposto e ter uma formulação que permita avaliar esforços resistentes, V e em uma peça com e taxa mecânica da armadura defi nidas para qualquer que seja a deformação imposta. Esse quema permite a construção de de esforços resisten- tes, que uma vez elaborados podem ser utilizados no dimensio namento de peças de concreto armado desde que adotada pre- viamente a das barras no interior da seção. 7. ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO Como foi discutido no final do item anterior equações (6.8) permitem avaliar os esforços e quando parametros posição do eixo neutro, taxa mecânica de armadura, das barras na seção e tipo de aço estão definidos. Para ilustrar o descrito acima, um exemplo e anali sado mostrando diversos pares u calculados a partir de valores de E e mantendo fixo o valor de Na figura 7.1 e indicada a posição adotada para as armaduras. Embora a seção esteja descrita com dimensoes, o cálculo a ser feito e independente, uma vez que e baseado em esforços adimensionais e válido, portanto, para qualquer que sejam as dimensões da peça desde que as relações fixa- das sejam mantidas.-25- EC2= d' h/2 E52 Md Nd ) h/2 d' SI bw Fig. 7.1 - Exemplo Geometria e disposição das bar ras Para o cálculo dos seguintes valores da seção dados: cobrimento: = 0,05 posição das armaduras: = 0,45 e = -0,45 armaduras: = = 0,667 e = = 0,333 classe do aço: CA-50A = taxa mecânica: de armadura: Com esses valores a seção fica com a geometria de finida podendo-se avaliar V e u para qualquer exemplo, = 1,0, isto e, eixo neutro passando na face infe- - rior da valores podem ser os relativos a região II ou III pois = 1,0 representa o limite entre essas duas regioes. Fazendo-se = = -0,0035, região II, e-26- empregando a equação (3.15) calculam-se as deformações nas armaduras, 1,0 = 1,0 = A partir desses valores das deformações, as ten- soes nas armaduras podem ser avaliadas, = = Com esses fixados,pode-se calcular os valores de V e u a partir de (6.8). Para um melhor entendimento dessa operação, e me avaliar separadamente as influências do concreto e da armadura nos valores de V e assim pode-se escrever (7.1) Deste modo, considerando que nas equações (6.8)as parcelas S e S sao termos que contem e restante expressao obtem-se,-27- Somando-se as partes referentes ao concreto e à armadura vem: V = -0,881 = 0,118 Note que valores calculados para o concreto sao bastante dos valores obtidos com o uso do diagrama de tensoes aproximado. Neste caso o retângulo de te ria uma altura igual a 0,8 com a resultante aplicada a 0,1 do CG da peça (figura 7.2) podendo-se avaliar e com as seguintes expressões = -0,85 X 0,8 = -0,68 = 0,85 X 0,8 X 0,1 = 0,068 Sendo portanto bastante proximos dos valores cal- culados sem a simplificação do diagrama -0.85 0.5 0.5 3/7 0.5 Vc Vc 0.5 0.5 - equivalente Fig. 7.2 - Diagramas reduzidos de tensao com resultantes a- dimensionais. De uma maneira análoga o cálculo poderia ser repe tido para outros valores de obtendo-se uma de pares u como e mostrado na tabela 7.1.-28- B1 B2 B3 E lim E c2 V -5,0 -0,5 -0,50 -0,5 0,95 0,0100 0,0100 0,0085 435 435 0,50 0,07 0,0 -0,5 -0,50 -0,5 0,95 0,0100 0,0100 0,0005 435 105 0,38 0,13 0,1 -0,4 -0,50 -0,5 0,95 0,0100 0,0100 0,0017 435 -370 0,25 0,19 0,2 -0,3 -0,45 -0,5 0,95 0,0100 0,0100 0,0020 435 -420 -0,05 0,27 0,3 -0,2 -0,37 -0,5 0,00 -0,0035 0,0076 -0,0029 435 -435 -0,04 0,30 0,4 -0,1 -0,33 -0,5 0,00 -0,0035 0,0048 -0,0031 435 -435 -0,10 0,32 0,5 0,0 -0,29 -0,5 0,00 -0,0035 0,0032 -0,0032 435 -435 -0,17 0,32 0,6 0,1 -0,24 -0,5 0,00 -0,0035 0,0020 -0,0032 429 -435 -0,24 0,33 0,7 0,2 -0,20 -0,5 0,00 -0,0035 0,0013 -0,0035 263 -435 -0,44 0,26 0,8 0,3 -0,16 -0,5 0,00 -0,0035 0,0007 -0,0033 138 -435 -0,60 0,21 0,9 0,4 -0,11 -0,5 0,00 -0,0035 0,0002 -0,0033 041 -435 -0,75 0,16 1,0 0,5 -0,07 -0,5 0,00 -0,0035 -0,0002 -0,0033 35 -435 -0,88 0,12 3,0 0,5 -0,07 -0,5 0,43 -0,0020 -0,0016 -0,0023 -335 -435 -1,27 -0,04 5,0 0,5 -0,07 -0,5 0,43 -0,0020 -0,0018 -0,0022 -372 -435 -1,30 -0,05 8 0,5 -0,07 -0,5 0,43 -0,0020 -0,0020 -0,0020 -420 -420 1,33 -0,07 Tabela 7.1 - Valores de esforços adimensionais resistentesem da posição do eixo neutro, E. valores de V e u dados na tabela 2.1 podem ser lançados em diagramas adimensionais u conforme indicadona figura 7.3. Embora apenas pontos discretos tenham sido calcu lados, e facil perceber que uma curva relacionado os valores de u e V pode ser obtida. A continuidade dessa cur va e garantida pelas equações (6.8) onde todos os termos sao uma vez que estao baseados nas relações tensão de formação dos materiais e na equação de compatibilidade. A curva obtida tambem pode ser interpretada como um de resistência da peça. Pares na in- terna obedecem ao critério estabelecido, enquanto que pares sobre a curva no limite último de Para pa res fora da área determinada pela curva nao e possível encontrar uma posição deformada da peça que produza esforços resistentes necessários ao equilíbrio.-29- H 0.4 0.3 0.2 (Tração) 0.50 0.25 o -0.25 -0.50 -0.75 -1.00 ) Fig. 7.3 - Relação entre esforços adimensionais últimos em uma seção retangular com W = 0,5 e aço CA-50A. A nao uniformidade na distribuição dos pontos in dicados na figura 7.3 e explicada pela nao linearidade mos trada nas equações dos esforços resistentes. Observa-se tam bem que para valores de que correspondem ao eixo neutro definido fora da seção, > 1,0 e-30- satisfaçam o equilíbrio. Isto e, sabendo-se que valores de cálculo e esforços resistentes devem ser iguais, entra-se com V e no ábaco obtendo-se e interpolando-se quando ne cessário. No final deste texto estão apresentados para os aços CA-50A e CA-50B, para as disposições simetri- cas mais usuais de armadura, permitindo assim o cálculo de seções de concreto armado de uma maneira e segura. 0 dimensionamento de uma peça de concreto armado pode ser feito facilmente empregando-se tais Es colhida uma disposição construtiva para a armadura a ser calculada (figura 7.4) o cálculo de total da seção e i- S niciado pela obtenção dos esforços adimensionais de lo N d V. = A f (7.2) M d u = A hf C cd onde a área total da seção, = bh A distância excentricidade da força normal de cálculo, que e indicada para ressaltar a direção do mo- mento fletor aplicado, vale, M e = N d d ou (7.3) e = valores m e n indicam respectivamente o nume- total de barras dispostas na seção e a quantidade de ca madas utilizadas. Na figura 3.4 o número total de barras m e igual a 20 distribuidas em 7 (n) camadas.-31- d' e n As m + h/2 d' b Fig. 7.4 - utilizados no dimensionamento de se- retangular de concreto armado. Escolhendo-se o a partir do tipo de aço dotado e do valor da relação = d'/h), entra-se com o par e obtem-se a taxa mecânica, Para o cálculo da armadura total utiliza-se (6.4) em sua forma inversa, ou seja, WA f cd S = (7.4) f yd Com esse valor pode-se estabelecer a area indivi dual de cada barra = S (7.5) 8. EXEMPLOS Para ilustrar processo de dimensinamento des- crito nos itens anteriores são mostrados agora exemplos de aplicação.-32- 8.1 - Exemplo de verificação Dada uma seção retangular com 50cm de altura, 25cm de base e armadura de 3,88cm2 (fig. 8.1) disposta apenas mas as faces inferior e superior e com d' pede-se a força normal que a peça resiste para uma relação u/v = 0,4 e considerando ainda concreto com resistência caracteris- tica = 18 MPa e aço CA-50A. 5 cm b w 25 Fig. 8.1 - Seção transversal. Geometria e disposição da ar- madura. Valores necessários a resolução do problema: = = = Resolução: Escolhendo-se o A-2 em função do aço e de = 0,1 marca-se, a partir da origem, uma reta = (fig. 8.2). Do ponto de intersecção dessa reta com a curva W = 0,5 obtem-se V = 0,63 e u = 0,24. Utilizando-se a definição de u (equação obtem-se os seguintes valores de cálculo:-33- TRAÇÃO 0,74 - 0,63 V Fig. - Intersecção da reta u = e o diagrama W = 0,5 1,8 = 1,4 X 50 X 25 = 1012,5kN 1,8 1,4 X X X = 192,86kNm 50 25 50 Considerando-se = 1,4 os esforços caracteris ticos correspondentes sao: = 1,012/1,4 = 723,2kN = 192,86/1,4 = 137,75kNm 8.2 - Exemplo de dimensionamento A partir da geometria da seção de concreto e da po sição da armadura indicada na figura 8.1 determinar a armadu ra da peça para resistir a uma solicitação = 800kN e Mk = 100kNm para o concreto C-18 e aço CA-50A.-34- Valores adimensionais = = 0,70 = 50x25x50x1,8/1,4 = 0,17 Entrando-se com esses valores no obtem-se = 0,46 A partir desse valor a armadura da peça pode ser determinada A cd C = f yd As = 0,46 18x1,15x50x25 500x1,4 = 17,00cm 2 A armadura para a peça e 2 is to e, , 8,5cm 2 (3 barras de 20mm) para cada lado.PARA o DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO CA-50AA-2 V CA-50A Y = 1,15 = S 2,6 Nd d' 2,4 T e 2 As 2 5 2,2 2 + 2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 0,2 0,3 05 0,8 0,1 0,2 0,4 0,6 4 DOMINIO 2 0,8 1,0 1,2 = 1,4 A ch 1,6 DOMINIO = As fyd 1,8A-1 V CA-50A Y = 1,15 /h = 0,05 S 2,6 Nd 2,4 h 2 DOMÍNIO 5 2,2 + h 2 2,0 d b 1,8 4a 1,6 1,4 1,2 4 1,0 0,8 0,6 0,4 DOM.3 0,2 o 0.2 0.4 0.5 08 0,9 0,2 0,4 DOMINIO 2 0,6 0,8 1,0 1,2 f M d 1,4 Ac h 1,6 As 1,8ÁBACO A-3 V CA-50A Y = 1,15 = 0,15 S 2,6 Nd (d' 2,4 T e 2 2 As DOMÍNIO 5 2,2 2 + h 2 2,0 b 1,8 DOMINIO 1,4 1,2 DOMINIO 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 H 0.4 0.5 0,7 0,2 DOMÍNIO 3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 DOMINIO 2 fcd Md H= = 1,4 Ach Asfyd = DOMÍNIO 1 1,8A-4 = 1,15 = 0,20 CA-50A S 2,6 d' 2,4 e DOMÍNIO 5 2 As 2 2,2 2 + 2 2,0 1,8 DOMÍNIO 1,6 1,4 1,2 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 0.4 0.5 96 0.2 0,2 DOMINIO 3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 DOMINIO 2 Md = 1,4 Ach 1,6 Ac 1,8A-5 CA-50A Y = 1,15 d'/h = 0,25 S 2,6 N. 2,4 T e DOMÍNIO 5 h 2As 2 2,2 2 + 2 2,0 b 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 DOMÍNIO 4 0,8 0,6 0,4 0,2 u o O, 0.2 03 0.4 0,2 0,4 DOMINIO 3 0,6 0,8 1,0 1,2 Md 1,4 Ach DOMINIO 2 1,6 As fyd 1,8A-6 V CA-50A = 1,15 d'/h = 0,05 2,6 2,4 e h DOMINIO 5 3As 2 2,2 6 + h 2 2,0 d b DOMINIO 4q 1,8 1,6 1,4 DOMÍNIO 4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 DOMINIO 2 Nd 1,2 1,4 A C h fcd 1,6 DOMINIO = As fyd 1,8ÁBACO A-7 V CA-50A = 1,15 d'/h = 0,10 N 2,6 d' 2,4 5 2 3 As 2,2 6 h 2 2,0 b DOMÍNIO 1,8 1,6 1,4 DOMINIO 4 1,2 1,0 0,6 0,4 0,2 1 o 0,3 0,4 0,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 DOMINIO 2 Nd 1,2 Md 1,4 A C h 1,6 3 = 1 1,8A-8 V Y = 1,15 d /h = 0,15 CA-50A 2,6 d' 2,4 T e 2 DOMÍNIO 5 3 As 2,2 6 + h 2 2,0 DOMINIO 4a 1,8 1,6 1,4 DOMÍNIO 4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 0,3 0,4 0,5 0,2 0,2 0,4 DOMINIO 3 0,6 0,8 1,0 Nd = 1,2 Ac DOMÍNIO 2 Md 1,4 A ch 1,6 As fyd DOMÍNIO 1,8A-9 V CA-50A Y = 1,15 d'/h = 0,20 2,6 + 2,4 e DOMÍNIO 5 2 3AS 2,2 6 + h 2 2,0 b DOMÍNIO 4a 1,8 1,6 1,4 1,2 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 H o 0.3 0.1 0,2 0,4 DOMINIO 3 0,6 0,8 1,0 Nd V = Md 1,4 = DOMINIO 2 cd 1,6 3 = 1,8A-10 V CA-50A Y = 1,15 = 0,05 S 2,6 Nd d' T e 2,4 DOMÍNIO 5 2 4 As 2,2 + 8 2 2,0 DOMINIO b 1,8 1,6 DOMÍNIO 4 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 03 0.5 0,1 0,2 DOM 3 0,4 0,6 0,8 1,0 DOMINIO 2 Nd V= 1,2 Md 1 = 1,4 Ach As fyd 1,6 DOMINIO 1 = 1,8A-11 V CA-50A S = 1,15 d'/h = 0,10 2,6 d' 2,4 T e DOMINIO 5 4As 2 2,2 8 + h 2 2,0 b 1,8 1,6 1,4 DOMÍNIO 4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,2 1 o 0,3 0,2 94 3 0,6 0,8 1,0 Nd 1,2 DOMINIO 2 A f C cd Md 1,4 A C n 1,6 A S fyd DOMÍNIO 1 1,8ÁBACO A-12 V CA-50A S = 1,15 d'/h = 0,15 2,6 d' 2,4 DOMINIO 5 2 4 As 2,2 8 + h 2 2,0 DOMINIO 4a 1,8 1,6 1,4 DOMINIO 4 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 o a 0,3 0,4 0,2 0,4 3 0,6 0,8 1,0 1,2 A 1,4 u = DOMINIO 2 A ch 1,6 3 = 1,8 IA-13 V CA-50A = 1,15 d'/h = 0,20 S 2,6 N d' 2,4 T e 5 2 4 As 2,2 8 + h 2 2,0 DOMÍNIO 4a Td 1,8 1,6 1,4 1,2 DOMÍNIO 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 o 0.2 0,2 0,4 DOMINIO 3 0,6 0,8 1,0 Nd V= 1,2 = 1,4 Ach DOMINIO 2 Astyd 1,6 3 = 1,8