Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1)
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1
x = 3t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1
Nenhuma das respostas anteriores
a) x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1
b) x = 3t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1
c) Nenhuma das respostas anteriores

Question

Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1)
x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1
x = 3t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1
Nenhum...

Ed · Answer

Para calcular a reta tangente à curva $\sigma(t) = (t^3, t^2, t)$ no ponto $P = (1, 1, 1)$, precisamos primeiro encontrar o valor de $t$ que corresponde a esse ponto.

1. **Encontrar $t$**:
   - Para $x = t^3$, $y = t^2$ e $z = t$:
     - $1 = t^3$ → $t = 1$
     - $1 = t^2$ → $t = 1$
     - $1 = t$ → $t = 1$

Portanto, $t = 1$ é o valor que corresponde ao ponto $P$.

2. **Calcular a derivada $\sigma'(t)$**:
   - $\sigma'(t) = \left(3t^2, 2t, 1\right)$
   - Avaliando em $t = 1$:
     - $\sigma'(1) = (3(1)^2, 2(1), 1) = (3, 2, 1)$

3. **Equação da reta tangente**:
   A reta tangente pode ser expressa como:
   $$
   \mathbf{r}(s) = \sigma(1) + s \cdot \sigma'(1)
   $$
   Onde $\sigma(1) = (1, 1, 1)$ e $\sigma'(1) = (3, 2, 1)$. Assim, temos:
   $$
   \mathbf{r}(s) = (1, 1, 1) + s(3, 2, 1) = (1 + 3s, 1 + 2s, 1 + s)
   $$

4. **Comparar com as alternativas**:
   - a) $x = 3t + 1, y = 2t + 1, z = 2t + 1$ (não corresponde)
   - b) $x = 3t + 1, x(t) = 3t + 1, y(t) = 2t + 1, z(t) = t + 1$ (não corresponde)
   - c) Nenhuma das respostas anteriores (parece ser a correta)

Portanto, a resposta correta é: **c) Nenhuma das respostas anteriores**.

Ed · Answer

Para calcular a reta tangente para a curva $\sigma(t) = (t^3, t^2, t)$ no ponto $P=(1,1,1)$, primeiro precisamos encontrar as derivadas das componentes da curva em relação a $t$. Assim, temos:
$x(t) = t^3$, $y(t) = t^2$ e $z(t) = t$.

Agora, vamos encontrar as derivadas em relação a $t$:
$\frac{dx}{dt} = 3t^2$, $\frac{dy}{dt} = 2t$ e $\frac{dz}{dt} = 1$.

No ponto $P=(1,1,1)$, temos $t=1$, então as derivadas nesse ponto são:
$\frac{dx}{dt} = 3$, $\frac{dy}{dt} = 2$ e $\frac{dz}{dt} = 1$.

Assim, a equação da reta tangente é dada por:
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{1}$.

Portanto, a resposta correta é: b) $x = 3t+1$, $y(t) = 2t+1$, $z(t) = t+1$.

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Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9.(t) = (t ,6t+9).(t) = (t ,t).Nenhuma das respostas anteriores.(t) = (t ,t+9).(t) = (2t ,6t+9).a) (t) = (t ,6t+9).b) (t) = (t ,t).c) Nenhuma das respostas anteriores.d) (t) = (t ,t+9).e) (t) = (2t ,6t+9).

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