Qual é o valor da integral de ∫ x e^(x^2) dx de 0 a 1? a) (e - 1) / 2 b) (e - 1) / 4 c) e / 2 - 1 / 2 d) e / 2 - 1 / 4 a) (e - 1) / 2

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos considerar \( u = x^2 \), então \( du = 2x dx \) e \( \frac{1}{2} du = x dx \). Substituindo na integral, temos: \[ \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int e^u du \] Agora, podemos integrar \( e^u \) em relação a \( u \), o que resulta em \( e^u \). Então, a integral original se torna: \[ \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Para encontrar o valor da integral de 0 a 1, basta substituir os limites de integração: \[ \left[ \frac{1}{2} e^{x^2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} e^{1} - \frac{1}{2} e^{0} = \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{e - 1}{2} \).