Para encontrar a série de Fourier da função periódica \( f(x) = x \) definida no intervalo \( (-\pi, \pi) \), seguimos os seguintes passos: 1. Determinar os coeficientes da série de Fourier: - Os coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \) são dados por: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] 2. Calcular \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \, dx = 0 \] (A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.) 3. Calcular \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] (Essa integral também resulta em zero, pois \( x \cos(nx) \) é uma função ímpar.) 4. Calcular \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \] Para calcular essa integral, usamos a integração por partes: - Seja \( u = x \) e \( dv = \sin(nx) \, dx \). - Então, \( du = dx \) e \( v = -\frac{1}{n} \cos(nx) \). Aplicando a integração por partes: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \bigg|_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \, dx \right] \] A primeira parte se anula, e a integral de \( \cos(nx) \) sobre um intervalo simétrico também é zero. Portanto: \[ b_n = -\frac{2}{n} \] 5. Montar a série de Fourier: A série de Fourier para \( f(x) = x \) é dada por: \[ f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{2}{n} \sin(nx) \] Assim, a série de Fourier para a função \( f(x) = x \) no intervalo \( (-\pi, \pi) \) é: \[ f(x) \sim -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx) \]