Para aplicar o Teorema de Green, precisamos primeiro identificar as funções que estão sendo integradas. O teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada \( C \) com uma integral dupla sobre a região \( R \) delimitada por \( C \). Dada a integral \( \int_C (x^2y \, dx + x \, dy) \), podemos identificar \( P(x, y) = x^2y \) e \( Q(x, y) = x \). O Teorema de Green nos diz que: \[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \] Calculando as derivadas parciais: - \( \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 \) - \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = x^2 \) Portanto, temos: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - x^2 \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \( R \). A forma exata da região \( R \) depende do triângulo mencionado, mas, em geral, você integraria \( 1 - x^2 \) sobre a área do triângulo. Se o triângulo tem vértices em pontos que você conhece, você pode determinar os limites de integração e calcular a integral. Sem a figura, não posso calcular a integral exata, mas se você seguir esse procedimento e calcular a integral, você deve chegar a um dos valores fornecidos nas alternativas. Se você já fez os cálculos e chegou a um dos resultados, escolha a alternativa correspondente. Se precisar de mais ajuda com os cálculos, você terá que criar uma nova pergunta.