Fazendo a substituição x=sen²u,calcule a integral
∫ dx √(x(1-x).
A integral pode ser escrita como:
A: √(cos x )+C
B: 2sen ¹√x+C
C: √(sen x)+C
D: cos x²-1+ C
E: sen²x²+C

Question

Fazendo a substituição x=sen²u,calcule a integral  ∫ dx √(x(1-x). A integral pode ser escrita como: A: √(cos x )+C B: 2sen ¹√x+C C: √(sen x)+C  D: ...

Ed · Answer

Para resolver a integral $\int \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ usando a substituição $x = \sin^2 u$, precisamos primeiro calcular $dx$ e reescrever a integral.

1. Com a substituição $x = \sin^2 u$, temos:
   - $dx = 2 \sin u \cos u \, du = \sin(2u) \, du$
   - $1 - x = 1 - \sin^2 u = \cos^2 u$

2. Substituindo na integral:
   $$
   \int \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{\sin(2u) \, du}{\sqrt{\sin^2 u \cos^2 u}} = \int \frac{\sin(2u) \, du}{\sin u \cos u} = \int 2 \, du = 2u + C
   $$

3. Agora, substituindo $u$ de volta em termos de $x$:
   - Como $x = \sin^2 u$, temos $u = \arcsin(\sqrt{x})$.

Portanto, a integral se torna:
$$
2 \arcsin(\sqrt{x}) + C
$$

Analisando as alternativas:
A: $\sqrt{\cos x} + C$ - Não é a resposta correta.
B: $2 \arcsin(\sqrt{x}) + C$ - Esta é a resposta correta.
C: $\sqrt{\sin x} + C$ - Não é a resposta correta.
D: $ \cos x^2 - 1 + C$ - Não é a resposta correta.
E: $\sin^2 x^2 + C$ - Não é a resposta correta.

Portanto, a alternativa correta é: **B: $2 \arcsin(\sqrt{x}) + C$**.

Ed · Answer

Para resolver essa integral, fazendo a substituição $x = \sin^2(u)$, temos que $dx = 2\sin(u)\cos(u)du$. Substituindo na integral $\int dx \sqrt{x(1-x)}$, obtemos:

$$
\int 2\sin(u)\cos(u) \sqrt{\sin^2(u)(1-\sin^2(u))} du
$$

Simplificando, temos:

$$
\int 2\sin(u)\cos(u) \sqrt{\sin^2(u)\cos^2(u)} du
$$

$$
\int 2\sin(u)\cos(u) \cdot \sin(u)\cos(u) du
$$

$$
\int 2\sin^2(u)\cos^2(u) du
$$

$$
\int \sin^2(2u) du
$$

Usando a identidade trigonométrica $\sin^2(2u) = \frac{1 - \cos(4u)}{2}$, a integral se torna:

$$
\int \frac{1 - \cos(4u)}{2} du = \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}\sin(4u) + C
$$

Substituindo de volta $u = \arcsin(\sqrt{x})$, obtemos a resposta correta:

Alternativa: A) $\sqrt{\cos(x)} + C$

Matemática

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Mais conteúdos dessa disciplina