10. Verifique se a função u = 1/√(x2 + y2 + z2) é uma solução da equação de Laplace Tridimensional uxx + uyy + uzz = 0

Question

Ed · Answer

Para verificar se a função $ u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $ é uma solução da equação de Laplace tridimensional $ u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = 0 $, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

1. **Calcule $ u_x $**:
   $$
   u_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) = -\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}
   $$

2. **Calcule $ u_{xx} $**:
   $$
   u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right)
   $$
   Usando a regra do quociente, obtemos:
   $$
   u_{xx} = -\frac{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^3}
   $$

3. **Calcule $ u_y $ e $ u_{yy} $**:
   Seguindo um processo semelhante, você encontrará:
   $$
   u_y = -\frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \quad \text{e} \quad u_{yy} = -\frac{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} - y \cdot \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}(2y)}{(x^2 + y^2 + z^2)^3}
   $$

4. **Calcule $ u_z $ e $ u_{zz} $**:
   Da mesma forma, você encontrará:
   $$
   u_z = -\frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \quad \text{e} \quad u_{zz} = -\frac{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}(2z)}{(x^2 + y^2 + z^2)^3}
   $$

5. **Some as derivadas**:
   Agora, some $ u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} $. Após simplificações, você verá que a soma resulta em zero, confirmando que $ u $ satisfaz a equação de Laplace.

Portanto, a função $ u = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $ é uma solução da equação de Laplace tridimensional.

Ed · Answer

Para verificar se a função u é uma solução da equação de Laplace tridimensional, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x, y e z e, em seguida, somá-las.

Começando com a primeira derivada parcial de u em relação a x, temos:

ux = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2x

Agora, calculando a segunda derivada parcial de u em relação a x, temos:

uxx = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2 + 3x^2(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)

Podemos fazer o mesmo para as derivadas parciais de segunda ordem em relação a y e z:

uy = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2y

uyy = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2 + 3y^2(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)

uz = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2z

uzz = -1/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * 2 + 3z^2(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)

Agora, somando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:

uxx + uyy + uzz = -3/2(x^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) + 3(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2)^(-5/2)

Simplificando, temos:

uxx + uyy + uzz = 0

Portanto, a função u = 1/√(x^2 + y^2 + z^2) é uma solução da equação de Laplace tridimensional.

Química Física

10. Verifique se a função u = 1/√(x2 + y2 + z2) é uma solução da equação de Laplace Tridimensional uxx + uyy + uzz = 0

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1. Determine e esboce o domínio da função.

a) f(x, y) = √(x+ y)
b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)
c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)
d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)
e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:

a) f(x, y) = x− y/(x+ y)
b) f(x, y) = y − x2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 5e−x
e) f(x, y) = x2/4 + y2/9
f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.

a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2
f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.

a) z = x2 + cos(y sen(x))
b) z = (xy)e^xy
c) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)
d) z = x/y + y/x

8. Verifique se a função u = e−α2k2tsen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α2uxx

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.

a) u = x2 + y2
b) u = x2 − y2
c) u = x3 + 3xy2
d) u = ln(√x2 + y2)
e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)
f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0

12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que ∂P/∂V ∂V/∂T ∂T/∂P = −1

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:
a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3
b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3

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1. Determine e esboce o domínio da função.a) f(x, y) = √(x+ y)b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:a) f(x, y) = x− y/(x+ y)b) f(x, y) = y − x2c) f(x, y) = xyd) f(x, y) = 5e−xe) f(x, y) = x2/4 + y2/9f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.a) f(x, y, z) = x cos(yz)b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.a) z = x2 + cos(y sen(x))b) z = (xy)e^xyc) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)d) z = x/y + y/x

8. Verifique se a função u = e−α2k2tsen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α2uxx

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.a) u = x2 + y2b) u = x2 − y2c) u = x3 + 3xy2d) u = ln(√x2 + y2)e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0

12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que ∂P/∂V ∂V/∂T ∂T/∂P = −1

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3

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1. Determine e esboce o domínio da função.

a) f(x, y) = √(x+ y)
b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)
c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)
d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)
e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:

a) f(x, y) = x− y/(x+ y)
b) f(x, y) = y − x2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 5e−x
e) f(x, y) = x2/4 + y2/9
f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.

a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2
f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.

a) z = x2 + cos(y sen(x))
b) z = (xy)e^xy
c) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)
d) z = x/y + y/x

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.

a) u = x2 + y2
b) u = x2 − y2
c) u = x3 + 3xy2
d) u = ln(√x2 + y2)
e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)
f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:
a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3
b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3