Química Física

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8. Verifique se a função u = e−α2k2tsen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α2uxx

Praticando Para o Saber

há 2 anos

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C2 Lista de Monitoria 6 - 2022_4

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há 2 anos

Para verificar se a função u = e^(-α^2k^2t)sen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α^2uxx, precisamos calcular as derivadas parciais de u em relação a t e x. Calculando a derivada parcial de u em relação a t, temos: ∂u/∂t = -α^2k^2e^(-α^2k^2t)sen(kx) Calculando a derivada parcial de u em relação a x, temos: ∂^2u/∂x^2 = k^2e^(-α^2k^2t)sen(kx) Agora, substituindo as derivadas parciais na equação de condução do calor, temos: ∂u/∂t = α^2∂^2u/∂x^2 -α^2k^2e^(-α^2k^2t)sen(kx) = α^2k^2e^(-α^2k^2t)sen(kx) Podemos ver que a equação é satisfeita, portanto, a função u = e^(-α^2k^2t)sen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α^2uxx.

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1. Determine e esboce o domínio da função.

a) f(x, y) = √(x+ y)
b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)
c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)
d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)
e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:

a) f(x, y) = x− y/(x+ y)
b) f(x, y) = y − x2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 5e−x
e) f(x, y) = x2/4 + y2/9
f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.

a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2
f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.

a) z = x2 + cos(y sen(x))
b) z = (xy)e^xy
c) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)
d) z = x/y + y/x

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.

a) u = x2 + y2
b) u = x2 − y2
c) u = x3 + 3xy2
d) u = ln(√x2 + y2)
e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)
f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

10. Verifique se a função u = 1/√(x2 + y2 + z2) é uma solução da equação de Laplace Tridimensional uxx + uyy + uzz = 0

11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0

12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que ∂P/∂V ∂V/∂T ∂T/∂P = −1

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:
a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3
b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3

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8. Verifique se a função u = e−α2k2tsen(kx) é solução da equação de condução do calor ut = α2uxx

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1. Determine e esboce o domínio da função.a) f(x, y) = √(x+ y)b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:a) f(x, y) = x− y/(x+ y)b) f(x, y) = y − x2c) f(x, y) = xyd) f(x, y) = 5e−xe) f(x, y) = x2/4 + y2/9f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.a) f(x, y, z) = x cos(yz)b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.a) z = x2 + cos(y sen(x))b) z = (xy)e^xyc) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)d) z = x/y + y/x

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.a) u = x2 + y2b) u = x2 − y2c) u = x3 + 3xy2d) u = ln(√x2 + y2)e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

10. Verifique se a função u = 1/√(x2 + y2 + z2) é uma solução da equação de Laplace Tridimensional uxx + uyy + uzz = 0

11. Verifique que a função z = ln(ex + ey) é uma solução das equações diferenciais ∂z/∂x + ∂z/∂y = 1 e ∂2z/∂x2 - (∂2z/∂x∂y)2 = 0

12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que ∂P/∂V ∂V/∂T ∂T/∂P = −1

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3

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a) f(x, y) = √(x+ y)
b) f(x, y) = ln (9− x2 − 9y2)
c) f(x, y) = √(1− x2) − √(1− y2)
d) f(x, y) = √(y − x2)/(1− x2)
e) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2)

2. Descreva matematicamente e esboce algumas curvas de nível típicas das funções a seguir:

a) f(x, y) = x− y/(x+ y)
b) f(x, y) = y − x2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 5e−x
e) f(x, y) = x2/4 + y2/9
f) f(x, y) = xy2

6. Calcule o gradiente das funções.

a) f(x, y, z) = x cos(yz)
b) f(x, y, z) = x/(x2 + y2 + z2)
c) f(x, y, z) = xy ln(xyz)
d) f(x, y, z, w) = exp(x+ y/z − w)
e) f(x, y, z, w) = 2xy2z3 + 1/2 wz2x2
f) f(x, y, z, w) = sen(xz)/cos(yw)

7. Calcule as derivadas parciais ∂2z/∂x∂y, ∂2z/∂y2 e ∂2z/∂y∂x das funções.

a) z = x2 + cos(y sen(x))
b) z = (xy)e^xy
c) z = x3 − y + cos(x)/y2 + x− sen(y)
d) z = x/y + y/x

9. Determine se cada u a das seguintes funções é solução da equação de laplace uxx+uyy = 0.

a) u = x2 + y2
b) u = x2 − y2
c) u = x3 + 3xy2
d) u = ln(√x2 + y2)
e) u = sen(x) cosh(y) + cos(x)(y)
f) u = e−x cos(y)− e−y cos(x)

13. Encontre a função f(x, y) que satisfaça:
a) ∂f/∂x = 8x3y2 − ex sen y − 1/(3√x2) onde f(1, 0) = 3
b) ∂f/∂y = 4x3y − ex cos y − 2x y3 where f(0, π/2) = 3