Questão 1. O conjunto V = {(x, y)/x, y ∈ R, x > 0 e y > 0} é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim:
(i) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 · y2)
(ii) k ⊙ (x, y) = (xk, yk) onde k ∈ R.
a) Defina o que é o vetor simétrico de um dado vetor −→v em um espaço qualquer.
b) Determine o vetor nulo do espaço V
c) Suponha que −→u = (a, b) ∈ V . Determine o vetor simétrico de −→u em relação as operações (i) e (ii).
(i) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 · y2)
(ii) k ⊙ (x, y) = (xk, yk) onde k ∈ R.
a) Defina o que é o vetor simétrico de um dado vetor −→v em um espaço qualquer.
b) Determine o vetor nulo do espaço V
c) Suponha que −→u = (a, b) ∈ V . Determine o vetor simétrico de −→u em relação as operações (i) e (ii).
Respostas
Ed 
há 2 anos
a) O vetor simétrico de um vetor →v em um espaço vetorial é o vetor -→v, ou seja, o vetor com a mesma magnitude e direção, mas sentido oposto. b) O vetor nulo do espaço V é o vetor (1,1), pois (1,1) ⊕ (x,y) = (1·x, 1·y) = (x,y) para qualquer vetor (x,y) ∈ V. c) Para encontrar o vetor simétrico de −→u = (a, b) em relação às operações (i) e (ii), basta multiplicar cada coordenada por -1, pois o vetor simétrico é o vetor com a mesma magnitude e direção, mas sentido oposto. Assim, temos: (i) -→u = (a, b) e -→u = (-a, -b) (ii) -→u = (a, b) e -→u = (-a, -b)
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a) Solução única
b) Infinitas soluções
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a) k ̸= 3 b) k = 3 c) Não existe k que torne o sistema insolúvel
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ny + z = 1
x+ nz = 1
não tenha solução.
n = 1
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b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo 2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha solução distinta da solução trivial.
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denotado por tr A. Calcule o trT (5π/12)
trT (5π/12) = √6−√2
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a) A = 1 2 3
1 1 2
0 1 1
b) B =
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
Questão 3. Seja P3×3 uma matriz de terceira ordem dada por
P = √2 −1 1√2 1 −1
0 √2
√2
Se X é uma matriz 3× 3 que satisfaz a equação
(P +X)2 = P 2 + 2PX +X2
Determine X
Questão 4. Resolva cada sistema abaixo.
a) x+ 2y + 3z = 0
x+ y + 2z = 0
y + z = 0
b)
x+ y + z + w = 9
x+ 2y − z + 2w = 18
x− y + 2z + w = 27
x+ 3y + 3z + 2w = −9
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