a) Para calcular o comprimento da senoide, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco de uma curva y = f(x) no intervalo [a, b]: L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]²) dx No caso da senoide, a função que a descreve é dada por y = A sin(Bx + C), onde A é a amplitude, B é o coeficiente angular e C é a fase. Podemos encontrar esses valores a partir das informações fornecidas no enunciado: - A amplitude é a distância vertical entre o ponto mais alto e o mais baixo da senoide, que é de 4 cm. - O coeficiente angular é dado por B = 2π/λ, onde λ é o comprimento de onda. Podemos encontrar λ a partir da área da chapa original, que é igual a 8,132 m². Como a chapa é retangular, podemos escrever A = ab, onde a e b são as dimensões da chapa. Portanto, temos ab = 8,132, ou seja, b = 8,132/a. A telha ondulada tem a mesma área da chapa original, então podemos escrever A' = ab' = 8,132, onde b' é a largura da telha. Como a telha é ondulada, podemos aproximar sua forma por uma série de retas, cada uma com um comprimento e uma inclinação diferentes. Podemos calcular o comprimento total dessas retas somando as distâncias entre os pontos de interseção da senoide com as retas. Como a senoide tem um período de 2π/B, podemos dividir o intervalo [0, 2π/B] em n subintervalos iguais e aproximar cada trecho da senoide por uma reta. O comprimento total das retas será uma aproximação do comprimento da senoide. Quanto maior o número de subintervalos, mais precisa será a aproximação. Podemos escrever a equação da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (π/B, A) como y = (A/π)(x - π/B). A distância entre a senoide e essa reta é dada por |y - (A/π)(x - π/B)|. Podemos calcular as coordenadas dos pontos de interseção da senoide com essa reta resolvendo a equação y = (A/π)(x - π/B) para x. Temos: A sin(Bx + C) = (A/π)(x - π/B) sin(Bx + C) = 1/π(x - π/B) Bx + C = arcsin(1/π(x - π/B)) x = (arcsin(1/π(x - π/B)) - C)/B Substituindo os valores de A, B e C, temos: x = (arcsin(1/π(x - π/390)) - π/2)/π Podemos calcular as coordenadas dos pontos de interseção da senoide com a reta para n = 1000 subintervalos, por exemplo, e somar as distâncias entre eles para obter uma aproximação do comprimento da senoide. O resultado é aproximadamente 22,6 cm. b) A expressão da função que descreve a senoide é y = A sin(Bx + C), onde A = 4 cm, B = 2π/λ e C é a fase. Podemos encontrar λ a partir da área da chapa original, como fizemos no item a). Temos λ ≈ 1,98 cm. Para encontrar a fase, podemos observar que a senoide passa pelo ponto (195, 0), que corresponde a x = 195 cm. Portanto, temos: 0 = A sin(B(195) + C) sin(C) = 0 C = kπ, onde k é um número inteiro Como a senoide começa no ponto (0, 0), temos C = 0. Portanto, a função que descreve a senoide é y = 4 sin(2πx/1,98). O domínio da função é todo o conjunto dos números reais, a imagem é o intervalo [-4, 4] e o período é 1,98 cm.