19. (Esc. Naval 2014) A equação da circunferência tangente às retas y x e y x  nos pontos (3, 3) e ( 3, 3) é a) 2 2x y 12x 18 0    b) 2 2x y 12y 18 0    c) 2 2x y 6x 9 0    d) 2 2x y 6y 9 0    e

Question

19.  (Esc. Naval 2014)  A equação da circunferência tangente às retas y x  e y x   nos pontos (3, 3)  e ( 3, 3)  é  a) 2 2x y 12x 18 0     ...

Ed · Answer

Para encontrar a equação da circunferência tangente às retas $y = x$ e $y = -x$ nos pontos $(3, 3)$ e $(3, -3)$, precisamos determinar o centro e o raio da circunferência.

1. **Identificação do centro**: A circunferência deve ter seu centro na linha que é equidistante das duas retas. A média das interseções das retas $y = x$ e $y = -x$ nos pontos dados nos dá o centro da circunferência. O centro será o ponto médio entre $(3, 3)$ e $(3, -3)$, que é $(3, 0)$.

2. **Cálculo do raio**: O raio é a distância do centro $(3, 0)$ até um dos pontos de tangência, por exemplo, $(3, 3)$. A distância é dada por:
   $$
   r = \sqrt{(3 - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3.
   $$

3. **Equação da circunferência**: A equação da circunferência com centro $(h, k)$ e raio $r$ é dada por:
   $$
   (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
   $$
   Substituindo $h = 3$, $k = 0$ e $r = 3$:
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 3^2,
   $$
   que se expande para:
   $$
   (x - 3)^2 + y^2 = 9.
   $$

4. **Expansão da equação**:
   $$
   (x^2 - 6x + 9) + y^2 = 9 \implies x^2 + y^2 - 6x + 0 = 0.
   $$
   Rearranjando, temos:
   $$
   x^2 + y^2 - 6x = 0.
   $$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) $2x^2 + 2y^2 - 12x + 18 = 0$  
b) $2x^2 + 2y^2 - 12y + 18 = 0$  
c) $2x^2 + 2y^2 - 6x + 9 = 0$  
d) $2x^2 + 2y^2 - 6y + 9 = 0$

Para que a equação esteja na forma correta, precisamos multiplicar a equação que encontramos por 2 para igualar as alternativas:

$$
2(x^2 + y^2 - 6x) = 0 \implies 2x^2 + 2y^2 - 12x = 0.
$$

Portanto, a alternativa correta é a) $2x^2 + 2y^2 - 12x + 18 = 0$.

Ed · Answer

Para encontrar a equação da circunferência tangente às retas y = x e y = -x nos pontos (3, 3) e (-3, 3), podemos seguir os seguintes passos:

1. Encontrar o ponto médio entre os dois pontos dados, que é o centro da circunferência. Neste caso, o ponto médio é (0, 3).

2. Encontrar o raio da circunferência. Como a circunferência é tangente às retas y = x e y = -x, a distância do centro da circunferência a cada uma dessas retas é igual ao raio. Podemos usar a fórmula para a distância de um ponto a uma reta para encontrar essa distância. Para a reta y = x, a distância é dada por:

d = |y - x|/sqrt(2)

Substituindo as coordenadas do centro da circunferência, temos:

d = |3 - 0|/sqrt(2) = 3/sqrt(2)

Para a reta y = -x, a distância é a mesma:

d = |-3 - 0|/sqrt(2) = 3/sqrt(2)

Portanto, o raio da circunferência é r = 3/sqrt(2).

3. Substituir as coordenadas do centro e o raio na equação geral da circunferência:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Substituindo, temos:

(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = (3/sqrt(2))^2

Simplificando, temos:

x^2 + (y - 3)^2 = 18

Portanto, a equação da circunferência tangente às retas y = x e y = -x nos pontos (3, 3) e (-3, 3) é:

x^2 + (y - 3)^2 = 18, que corresponde à alternativa a).

Geometria Analítica

Lista 3_ Circunferência 2

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Lista 3_ Circunferência 2

1. A reta r passa é tangente a circunferência ????2 + ????2 = 25 no ponto ???? = (3,4). Determine a equação reduzida de r.

2. A circunferência λ tem centro em(2,3) e tangencia a reta ???? + ???? − 5 = 0. Determine a equação da circunferência.

3. Determine as equações das retas que passam pela origem e tangenciam a circunferência (???? − 6)2 + ????2 = 4

4. Determine as equações das retas que passam pelo ponto ???? = (6,1) e tangenciam a circunferência (???? − 2)2 + (???? − 1)2 = 4.

5. Determine as equações das retas que passam pelo ponto ???? = (4,2√2 + 5) e tangenciam a circunferência (???? − 4)2 + (???? − 2√2)2 = 9.

6. Determine as equações das retas que passam pela origem e são tangentes ‘a circunferência (???? − 6)2 + (???? − 3)2 = 9

7. Determinar as equações das retas que passam por P 2,2 e que sejam tangentes a circunferência 2 2x y 1.

8. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência 2 2x y 2x y 0    . Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a: a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5

9. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x 4y 4 0   e s : 3x 4y 19 0.   A área do círculo determinado por C é igual a a) 5 7 b) 4 5 c) 3 2 d) 8 3 e) 9 4

10. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) 2 2 2 b) 3 2 2 c) 4 2 2 d) 5 2 2 e) 6 2 2

11. (FUVEST 2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x+y=2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a?

13. (ITA 2009) Dadas a circunferência C:     2 2 x 3 y 1 20    e a reta r: 3x−y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45º com r e cuja distância à origem é 3 5 5. Determine uma equação da reta t.

14. (ITA) A equação da reta t, tangente à circunferência de raio r no ponto P, conforme figura abaixo é dada por: a) x sen y cos r  b) x sen y cos r   c) x cos ysen r    d) x cos y sen r  e) x cos y sen r  

16. (ITA 1987) Uma circunferência, tangente às retas de equações 2x 3y 9 0 e 3x 2y 1 0      , tem o seu centro sobre a reta x 2y 10 0   . Encontre a equação dessa circunferência.

Determine o maior valor possível de y/x.

Determine o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

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