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6. Determine as equações das retas que passam pela origem e são tangentes ‘a circunferência (???? − 6)2 + (???? − 3)2 = 9

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Lista 3_ Circunferência 2
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Lista 3_ Circunferência 2

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há 2 anos

Para determinar as equações das retas que passam pela origem e são tangentes à circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência e a equação da reta. A equação geral da circunferência é dada por: (x - a)² + (y - b)² = r², onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio. No caso da circunferência (x - 6)² + (y - 3)² = 9, temos que o centro é (6, 3) e o raio é 3. Para que uma reta seja tangente à circunferência, ela deve tocar a circunferência em apenas um ponto. Esse ponto é chamado de ponto de tangência. Para encontrar as equações das retas que passam pela origem e são tangentes à circunferência, podemos utilizar a equação da reta tangente a uma circunferência, que é dada por: y - y1 = m(x - x1) onde (x1, y1) é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta. Como as retas passam pela origem, temos que x1 = 6 e y1 = 3, pois o ponto de tangência está na circunferência. A inclinação da reta é dada por: m = - (x1 - a) / (y1 - b) Substituindo os valores, temos: m = - (6 - 6) / (3 - 3) = indefinido Isso significa que a reta é vertical e sua equação é dada por: x = 0 Portanto, a equação da reta que passa pela origem e é tangente à circunferência é x = 0.

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1. A reta r passa é tangente a circunferência ????2 + ????2 = 25 no ponto ???? = (3,4). Determine a equação reduzida de r.

2. A circunferência λ tem centro em(2,3) e tangencia a reta ???? + ???? − 5 = 0. Determine a equação da circunferência.

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7. Determinar as equações das retas que passam por P 2,2 e que sejam tangentes a circunferência 2 2x y 1.

8. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência 2 2x y 2x y 0    . Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a: a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5

9. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x 4y 4 0   e s : 3x 4y 19 0.   A área do círculo determinado por C é igual a a) 5 7 b) 4 5 c) 3 2 d) 8 3 e) 9 4

10. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) 2 2 2 b) 3 2 2 c) 4 2 2 d) 5 2 2 e) 6 2 2

11. (FUVEST 2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x+y=2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a?

12. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2,1), e a reta t é tangente a C no ponto Q ( 1, 5).  a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

13. (ITA 2009) Dadas a circunferência C:     2 2 x 3 y 1 20    e a reta r: 3x−y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45º com r e cuja distância à origem é 3 5 5. Determine uma equação da reta t.

14. (ITA) A equação da reta t, tangente à circunferência de raio r no ponto P, conforme figura abaixo é dada por: a) x sen y cos r  b) x sen y cos r   c) x cos ysen r    d) x cos y sen r  e) x cos y sen r  

15. (ITA) Uma das circunferências que passa pelo ponto P: (0,0) e tangencia as retas 1 2(r ) : x y 0 e (r ) : x y 2    tem sua equação dada por: a)    x 1 ² y 1 ² 2    b)    x 1 ² y 1 ² 2    c)    x 1 ² y 1 ² 2    d)    x 1 ² y 1 ² 2    e)    x 1 ² y 1 ² 2   

16. (ITA 1987) Uma circunferência, tangente às retas de equações 2x 3y 9 0 e 3x 2y 1 0      , tem o seu centro sobre a reta x 2y 10 0   . Encontre a equação dessa circunferência.

18. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a 4 (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : 2x 2y 5 0   e s : x y 4 0   é a) 2 2 3 10 x y 4. 4 4                b) 22 3 3 x y 2 2 4. 4 4                    c) 2 2 3 10 x 2 2 y 4. 4 4                    d) 2 2 3 13 x 2 2 y 4. 4 4                    e) 2 2 3 11 x 2 2 y 4. 4 4                   

19. (Esc. Naval 2014) A equação da circunferência tangente às retas y x e y x  nos pontos (3, 3) e ( 3, 3) é a) 2 2x y 12x 18 0    b) 2 2x y 12y 18 0    c) 2 2x y 6x 9 0    d) 2 2x y 6y 9 0    e

Determine o maior valor possível de y/x.

Determine o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

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