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13. (ITA 2009) Dadas a circunferência C:     2 2 x 3 y 1 20    e a reta r: 3x−y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45º com r e cuja distância à origem é 3 5 5. Determine uma equação da reta t.

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Aprimorando com Questões

há 2 anos

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há 2 anos

Lista 3_ Circunferência 2
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Lista 3_ Circunferência 2

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há 10 meses

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos necessários: 1. Identificar a circunferência: A equação da circunferência \(C\) é dada por \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 20\). O centro é \(C(3, 1)\) e o raio \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). 2. Identificar a reta \(r\): A reta \(r\) é dada por \(3x - y + 5 = 0\). Podemos reescrevê-la na forma \(y = 3x + 5\). 3. Encontrar a inclinação da reta \(r\): A inclinação de \(r\) é \(m_r = 3\). 4. Encontrar a inclinação da reta \(t\): Como a reta \(t\) forma um ângulo de 45º com \(r\), a inclinação de \(t\) pode ser \(m_t = 3 + 1\) ou \(m_t = 3 - 1\). Portanto, temos duas possibilidades: - \(m_t = 4\) (se for um ângulo agudo) - \(m_t = 2\) (se for um ângulo obtuso) 5. Usar a distância da reta à origem: A distância de uma reta \(Ax + By + C = 0\) à origem é dada por \(\frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\). Para a reta \(t\), sabemos que essa distância é 3. 6. Equação da reta \(t\): Vamos considerar a forma geral da reta \(t\) como \(y - y_0 = m_t(x - x_0)\), onde \((x_0, y_0)\) é um ponto na reta. Para a distância, podemos usar a forma \(Ax + By + C = 0\) e aplicar a condição da distância. 7. Resolver para \(t\): Para cada inclinação, você pode substituir na fórmula da distância e resolver para encontrar a equação da reta \(t\). Por exemplo, se escolhermos \(m_t = 4\): - A equação da reta pode ser escrita como \(y - y_0 = 4(x - x_0)\). - A distância à origem deve ser 3, então você pode substituir \(A\), \(B\) e \(C\) na fórmula de distância e resolver. Repita o processo para \(m_t = 2\) e verifique qual das duas retas atende a todas as condições. Se precisar de mais detalhes sobre algum passo específico, é só avisar!

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Craque NetoCraque Neto

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há 2 anos

Para encontrar a equação da reta t, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o ponto de tangência P entre a circunferência C e a reta t. 2. Encontrar o vetor diretor da reta t. 3. Usar o ponto P e o vetor diretor encontrado para escrever a equação da reta t. 1. Para encontrar o ponto de tangência P, podemos usar o fato de que a reta t é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência C ao ponto P. Além disso, sabemos que a distância de P à origem é 5. Podemos então escrever: (x - 2)² + (y - 1)² = 25 (equação da circunferência C) 3x - y + 5 = k (equação da reta r, onde k é uma constante a ser determinada) A reta que passa pelo centro da circunferência C e pelo ponto P tem equação: y - 1 = -3/2 (x - 2) Substituindo y por -3/2 (x - 2) na equação da circunferência C, obtemos uma equação do segundo grau em x: (x - 2)² + (-3/2 (x - 2) - 1)² = 25 Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções para x: x = 1 ou x = 7/5. Substituindo esses valores na equação da reta r, encontramos duas soluções para k: k = -4 ou k = -2/5. Portanto, os pontos de tangência são P1 = (1, -2) e P2 = (7/5, 8/5). 2. Para encontrar o vetor diretor da reta t, podemos usar o fato de que ela forma um ângulo de 45º com a reta r. Sabemos que o vetor diretor da reta r é (-1, 3), então podemos encontrar um vetor diretor da reta t usando a rotação de 45º: cos(45º) -sen(45º) sen(45º) cos(45º) Multiplicando esse vetor pela matriz (-1, 3), obtemos um vetor diretor da reta t: (-1, 3) (cos(45º) -sen(45º)) = (-2, -2) 3. Finalmente, podemos usar o ponto de tangência P1 = (1, -2) e o vetor diretor (-2, -2) para escrever a equação da reta t: y + 2 = -1/2 (x - 1) Simplificando, obtemos: 2y + x - 5 = 0 Portanto, uma equação da reta t é 2y + x - 5 = 0.

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8. (ITA 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência 2 2x y 2x y 0    . Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a: a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5

9. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x 4y 4 0   e s : 3x 4y 19 0.   A área do círculo determinado por C é igual a a) 5 7 b) 4 5 c) 3 2 d) 8 3 e) 9 4

10. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, um círculo de centro P (a, b) tangencia as retas de equações y x e x 0. Se P pertence à parábola de equação 2y x e a 0, a ordenada b do ponto P é igual a a) 2 2 2 b) 3 2 2 c) 4 2 2 d) 5 2 2 e) 6 2 2

11. (FUVEST 2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x+y=2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a?

12. (Fuvest 2016) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2,1), e a reta t é tangente a C no ponto Q ( 1, 5).  a) Determine o raio da circunferência C. b) Encontre uma equação para a reta t. c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

14. (ITA) A equação da reta t, tangente à circunferência de raio r no ponto P, conforme figura abaixo é dada por: a) x sen y cos r  b) x sen y cos r   c) x cos ysen r    d) x cos y sen r  e) x cos y sen r  

15. (ITA) Uma das circunferências que passa pelo ponto P: (0,0) e tangencia as retas 1 2(r ) : x y 0 e (r ) : x y 2    tem sua equação dada por: a)    x 1 ² y 1 ² 2    b)    x 1 ² y 1 ² 2    c)    x 1 ² y 1 ² 2    d)    x 1 ² y 1 ² 2    e)    x 1 ² y 1 ² 2   

16. (ITA 1987) Uma circunferência, tangente às retas de equações 2x 3y 9 0 e 3x 2y 1 0      , tem o seu centro sobre a reta x 2y 10 0   . Encontre a equação dessa circunferência.

18. (Ita 2014) A equação do círculo localizado no 1º quadrante que tem área igual a 4 (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : 2x 2y 5 0   e s : x y 4 0   é a) 2 2 3 10 x y 4. 4 4                b) 22 3 3 x y 2 2 4. 4 4                    c) 2 2 3 10 x 2 2 y 4. 4 4                    d) 2 2 3 13 x 2 2 y 4. 4 4                    e) 2 2 3 11 x 2 2 y 4. 4 4                   

19. (Esc. Naval 2014) A equação da circunferência tangente às retas y x e y x  nos pontos (3, 3) e ( 3, 3) é a) 2 2x y 12x 18 0    b) 2 2x y 12y 18 0    c) 2 2x y 6x 9 0    d) 2 2x y 6y 9 0    e

Determine o maior valor possível de y/x.

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