Para determinar a expressão correta para o coeficiente \( \beta_k \) em uma regressão, precisamos considerar a relação entre a variável dependente \( y \) e a variável independente \( \tilde{x}_k \) (o resíduo da regressão de \( x_k \) contra todas as outras colunas da matriz \( X \)). Na análise de regressão, o coeficiente \( \beta_k \) pode ser expresso em termos de covariância e variância. A fórmula correta que relaciona o coeficiente de regressão com a covariância e a variância é: \[ \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x}_k]}{Var[\tilde{x}_k]} \] Analisando as alternativas: a) \( \beta_k = Var[y] Var[\tilde{x}_k] \) - Incorreta, pois não relaciona covariância. b) \( \beta_k = Cov[y, \tilde{x}_k] \) - Incorreta, pois falta a divisão pela variância. c) \( \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x}_k]}{Var[\tilde{x}_k]} \) - Correta, pois é a expressão correta para o coeficiente de regressão. d) \( \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x}_k]}{Var[y]} \) - Incorreta, pois a variância deve ser de \( \tilde{x}_k \). e) \( \beta_k = Var[\tilde{x}_k] \) - Incorreta, pois não é uma expressão para o coeficiente de regressão. Portanto, a alternativa correta é: c) \( \beta_k = \frac{Cov[y, \tilde{x}_k]}{Var[\tilde{x}_k]} \).