9 - A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função . Assinale a alternativa que corresponde à taxa de variação da temperatura no ponto na direção do vetor .
a)
b)
c)
a)
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Respostas
Ed 
ano passado
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Ed
há 3 anos
A derivada direcional da função f(x,y) no ponto P na direção do vetor v é dada por: Dv f(P) = ∇f(P) . v Onde ∇f(P) é o gradiente de f no ponto P. Assim, para encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto P na direção do vetor v, é necessário calcular o gradiente de T no ponto P e, em seguida, calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor v. Portanto, a alternativa correta não foi fornecida na pergunta. É necessário fornecer as alternativas para que eu possa ajudá-lo a escolher a resposta correta.
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1 - Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
a) O domínio de uma função de duas variáveis é sempre o plano cartesiano.
b) O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados que satisfazem a lei de formação da função.
c) O domínio de uma função de duas variáveis é sempre um intervalo fechado.
2 - Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
a) As curvas de nível são conjuntos de pontos do plano cartesiano que possuem a mesma coordenada y.
b) As curvas de nível são conjuntos de pontos do plano cartesiano que possuem a mesma coordenada x.
c) As curvas de nível são conjuntos de pontos do plano cartesiano que possuem o mesmo valor da função.
3 - A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2).
a) (1,0)
b) (0,1)
c) (1,1)
4 - O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto .
a) 2
b) 3
c) 4
5 - Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e .
a)
b)
c)
6 - A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função no ponto P(-1,1).
a) (1,0)
b) (0,1)
c) (-1,-1)
7 - O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função . Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação do potencial elétrico no ponto .
a) A direção e o sentido do vetor gradiente da função no ponto .
b) A direção e o sentido do vetor normal à superfície de nível da função no ponto .
c) A direção e o sentido do vetor tangente à superfície de nível da função no ponto .
8 - As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário. Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
a)
b)
c)
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