Aritmética 1-1

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
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AritméticA
Matemática
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 aritmética
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 1 - aritMética 3
Presentación
Estimado estudiante, en esta nueva etapa en tu vida escolar, seguiremos siendo tu apoyo 
académico, continuaremos por el mismo camino y en la misma dirección. Si bien es cierto, esta 
etapa es diferente; sin embargo, nuestra forma de trabajar no ha cambiado.
Esta nueva colección permitirá desarrollar, aún más, las competencias matemáticas, afianzar la 
forma de resolver problemas empleando, en muchos casos, estrategias nuevas, utilizando siempre 
el razonamiento lógico y en base a situaciones de la vida real o simuladas, con el único objetivo de 
que estas sean aplicadas cuando las requieras.
Todo el contenido teórico que debes conocer para fortalecer tus capacidades y competencias han 
sido distribuidos en estos libros: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y Razonamiento 
Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio de Educación 
ha designado para este nivel.
Al mismo tiempo, complementamos lo planteado con algunos ejercicios que han sido tomados de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado 
desde ahora.
Comencemos este año escolar con la mejor disposición para adquirir nuevos conocimientos y 
mantengamos el mismo espíritu durante todo el año.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
26
Tema
Multiplicación y división 
de números naturales
Leyes de la multiplicación
Multiplicación en 
La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que 
se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 
7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7.
La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados 
multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, 
se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo 
sumando «A» el cual aparece «B» veces. 
6 × 5 × 8 = (6 × 5) × 8
 = 30 × 8
 = 240
6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8)
 = 6 × 40 
 = 240
6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5
 = 48 × 5
 = 240
Clausura
El producto que resulta de multiplicar dos 
números naturales, es también un número 
natural.
∀ a, b ∈ , (a × b) ∈ 
Ejemplo:
6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ 
Conmutativa
En una multiplicación de dos números 
naturales, el orden de los factores no 
altera el producto.
 a × b = b × a
Ejemplo:
7 y 12 ∈ 
Entonces: 7 × 12 = 12 × 7
 84 = 84
Asociativa
La forma cómo asociemos los factores de 
la multiplicación, no altera el producto. 
∀ a, b, c ∈ , se cumple que:
a × b × c = a × (b × c) 
a × b × c = (a × b) × c
a × b × c = (a × c) × b
Ejemplo:
6; 5 y 8 ∈ 
Entonces:
Donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
A y B también se denominan factores
 ∀ A, B ∈ 
A + A + A + ... + A = P
«B» sumandos
a = b A × B = P
Elemento neutro
En la multiplicación, el número 1 es el 
elemento neutro. La multiplicación de 
cualquier número natural por 1, da como 
resultado el mismo número natural.
∀ a ∈ 
Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a
Ejemplos:
● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358
● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469
2
Import a nt e
La multiplicación se 
representa con una 
aspa (×) o un punto 
(●). Sin embargo, 
usar el aspa(x) 
no es aconsejable 
porque crea una 
confusión innecesaria 
con la letra que 
normalmente se 
asigna a una incógnita 
en una ecuación.
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada por el 
educador.
51MateMática Delta 1 - aritMética
2 Un buzo que se encontraba a 15 metros bajo el nivel del mar decide bajar unos 8 
metros logrando atrapar un pez corvina. Luego, al subir 6 metros, el pez da un fuerte 
coletazo y escapa. Determina a qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra el 
buzo. Ilustra la situación.
Resolución:
Se encuentra a 17 m bajo el nivel 
del mar.
Para saber exactamente dónde se 
encuentra el buzo, efectuamos la 
operación:
(–15) + (–8) + (+6)
 (–23) + (+6)
 –17
–15
–8
+6
nivel del mar
3
Resolución:
Rpta. Al efectuar obtenemos 11 454.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19] } (4 – 3 × 9)
{ (+1992) + (+30) [(–12) + 6 (–15) + 19] } (4 – 27)
 { 1992 + 30 [(–12) + (–90) + 19] } (–23)
 { 1992 + 30 [–83] } (–23)
 { 1992 + (–2490) } (–23)
 {–498} (–23)
 +11 454
Efectúa.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19]} (4 – 3 × 9)
Sea x un número entero mayor que –3, pero menor que 4; determina cuántos valores 
puede tomar x.
–3 < x < 4
Resolución:
Matematizando tendremos:
En la recta numérica:
Rpta. x toma 6 valores.
x = –2; –1; 0; 1; 2; 3
... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
1
Se denomina nivel 
del mar al que sirve 
como referencia 
para ubicar la altitud 
de las localidades 
y accidentes 
geográficos, excepto 
los accidentes 
submarinos que 
se miden por su 
profundidad.
La unidad de medida 
en que suele medirse 
la altura sobre el nivel 
del mar es el metro. 
Se habla, pues, de 
metros sobre el nivel 
del mar, abreviado: 
m s.n.m.
También se habla 
de metros bajo el 
nivel del mar, cuya 
abreviación es 
m b.n.m. 
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
Rpta. Se encuentra a 17 m bajo el nivel del mar.
79MateMática Delta 1 - aritMética
2 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de a3 + b2 sabiendo que: 
A = {7a + 6; 2} , B = {26 – 3b; 41}.
Resolución:
1 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de a2 + b3 sabiendo que: 
A = {12a – 7; –2} 
B = {28 – 5b; 53}.
Resolución:
Rpta.Rpta.
Conjuntos La palabra «conjunto» indica una colección de objetos reales o 
abstractos que están bien definidos y que se llaman elementos.
Determinación Relación de pertenencia
Relaciones
Conjunto - Conjunto
Conjunto potencia
Conjuntos especiales
Operaciones entre conjuntos
Cardinal
Por extensión 
Cuando sus elementos están 
escritos uno a uno.
Ejemplo: 
B = {2; 3; 4; 5; 6; ...}
Por comprensión 
Cuando se define la o las 
características que poseen los 
elementos del conjunto.
Ejemplo: 
T = {2x – 1 / x ∈ ; 5 < x < 9}
Número de elementos del 
conjunto. 
Ejemplo: Sea M = {8; 6; 8; 8}
# M = n(M) = 2
Entre un elemento y 
un conjunto.
• Unitario
• Vacío
• Universal
Unión
A B
A – B
A B
A B
Intersección
Diferencia
Diferencia 
simétrica
Complemento
Inclusión
Ejemplo:
A = {2; 3; 6; 8; 9}
B = {3; 6; 8}
Entonces: B ⊂ A
Conjuntos iguales
A = {5; 8; 3}
B = {8; 5; 3}
Entonces A = B
Formado por todos los 
subconjuntos.
Ejemplo: A = {2; 3}
P(A) = {∅; {2}; {3}; {2; 3}}
n[P(A)] = 2n = 22 = 4
A B
B
B
B
A
A
A
A
Síntesis
Modela y resuelve 
Nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada.
Espacio para 
resolver 
el problema.
Nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 1 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
Nombre de la 
sección
Número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución
Alternativas
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
105MateMática Delta 1 - aritMética
 Calcula el numerador de una fracción equivalente 
a 3
5
, sabiendo que la diferencia de los cuadrados 
de sus términos es 1024.
1
 Encuentra una fracción equivalente a 126
336
, tal que 
la suma de sus términos esté comprendida entre 
199 y 219. Dar como respuesta la diferencia de 
sus términos.
2
 Halla la suma de los numeradores de aquellas 
fracciones de la forma n
24
, la cual es una fracción 
propia e irreductible mayor que 3
7 
 .
3
A 16 B 24 C 32
D 56 E 42
A 97 B 76 C 95
D 100 E 90
A 60 B 72 C 70
D 66 E 83
 En un instituto hay 690 alumnos. Si dos quintas 
partes de ellos han participado en el concurso 
de fotografía y un tercio del resto en el de dibujo, 
¿cuántos alumnos no han participado en ninguno 
de los dos concursos?
4
 A un congreso de Medicina han acudido 125 
pediatras, 100 dermatólogos, 200 neurólogos 
y m cirujanos. Si los cirujanos y dermatólogos 
representan los siete veinteavos del total de 
asistentes al congreso, ¿qué fracción del total 
representan los cirujanos?
5
Un libro tiene cierta cantidad de páginas. El primer 
día leemos 1
4
; el segundo, 2
5
 y el tercero, 4
7
 del 
resto de hojas. Si aún quedan 12 páginas por leer, 
¿cuántas páginas leímos el tercer día? 
6
A 7
24
 B 3
20
 C 5
24
D 9
20
 E 7
20
A 12 B 14 C 16
D 18 E 20
A 284 B 272 C 276
D 268 E 288
Nivel I
Practica y demuestra
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
175MateMática Delta 1 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Un comerciante desea poner en cajas
12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo 
que cada caja contenga el mismo número de 
manzanas o naranjas y, además, sea la mayor 
cantidad posible. Halla el número de frutas que 
debe contener cada caja.
6
Si el número 25aa9 es divisible por 7 y a2an es 
divisible por 4. Calcula la suma de los valores 
correspondientes de a × n.
3
56A
72
64B
80DC
Si el número a8a3aa es divisible por 3, encuentra 
los valores que puede tomar a. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
2
11A
13
12B
14DC
Determina qué valores puede tomar a para que 
el número ab52a sea divisible por 4. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
1
12A
15
14B
16DC
4 Si el número a4a3a8 es divisible por 11; abbabb 
es divisible por 9 y 6cabn es divisible por 4. 
Determina los valores correspondientes de b × n. 
Da como respuesta la suma de dichos valores.
18A
24C
20
28D
B
5 Un faro se enciende cada 36 segundos, otro 
cada 48 segundos y un tercero cada minuto; si a 
las 6:10 p. m. los tres coinciden, calcula cuántas 
veces volverán a coincidir hasta las 7:00 p. m.
3 vecesA
5 veces
4 vecesB
6 vecesDC
230A
124
160B
62DC
 
7MateMática Delta 1 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
ca
nt
id
ad
Traduce 
cantidades a 
expresiones 
numéricas.
los números naturales10
Números naturales
Relación de orden
Operaciones con números naturales
multiplicación y división de números naturales 26
Multiplicación en 
División en 
los números enteros 45
Relación de orden
Operaciones con números enteros
signos de agrupación y prioridad de las operaciones
teoría de conjuntos 66
Definiciones
Determinación de un conjunto
Operaciones entre conjuntos
Fracciones 91
Números fraccionarios
Clasificación de las fracciones
Operaciones con fracciones
números decimales 109
Definiciones
Clasificación de los números decimales
Operaciones con números decimales
Aproximación con decimales
divisibilidad 131
Divisores y múltiplos de un número
Criterios de divisibilidad
máximo común divisor y mínimo común múltiplo 145
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
razones 161
Definiciones
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre los 
números y las 
operaciones.
Usa estrategias 
y procedimientos 
de estimación y 
cálculo.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre las 
relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Índice
Al hablar de «Teoría de conjuntos», es inevitable mencionar a Georg Ferdinand Ludwig Philipp 
Cantor, o simplemente Georg Cantor, un matemático cuyo origen se remonta al antiguo imperio 
ruso. Este hombre, nacido en San Petersburgo el año 1845, estudió en la Universidad de Zúrich 
y, tras la muerte de su padre, se trasladó a la Universidad de Berlín donde concluyó su carrera 
especializándose en Matemática, Física y Filosofía. Años después de hacer su doctorado en 
1867, comenzó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. Es ahí donde realiza 
varios estudios, entre ellos, su trabajo en la teoría de conjuntos que fue publicado en 1874, 
lo cual lo hizo conocido en el ambiente académico; en él, habla acerca del tamaño de los 
conjuntos infinitos.
Cuando Cantor dio a conocer sus estudios sobre los infinitos, pocas fueron las personas que 
vieron con buenos ojos aquellos trabajos; una de las personas a las que no le agradaran estos 
fue a Leopold Kronecker, quien anteriormente había sido su mentor en la Universidad de Berlín, y 
luego pasó a considerarlo como un carbunclo matemático. Kronecker sostenía que desconocía 
qué predominaba en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero que estaba seguro 
que lo que ahí no había era matemática. En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas 
de Cantor coqueteaban con la filosofía y ponía en cuestionamiento los fundamentos de las 
matemáticas.
La carrera de Cantor no fue reconocida sino hasta principios del siglo XX, cuando fue galardonado 
con una medalla de la Sociedad Real de Londres. Este ilustre matemático falleció de un ataque 
al corazón el 6 de enero de 1918 en una clínica psiquiátrica.
Georg Cantor:
Teoría
de
conjuntos
8
Muchas personas creen que Cantor fue un adelantado 
a su época. Durante los años en que realizó sus trabajos 
de investigación, nos dejó también algunas frases con 
las que defendía dichos estudios:
El miedo al infinito es una forma de miopía que 
destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar 
de que en su forma más elevada nos ha creado y 
sostenido.
Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada 
flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su 
arquero.
La visión –del infinito– que considero la única correcta 
y compartida por pocos. Aunque posiblemente 
yo sea el primero en la historia en tomar esta 
posición explícitamente, ¡estoy seguro de que no 
seré el último! 
Fuente:
www.bbc.com
Actualmente se considera a Cantor como padre de la teoría de conjuntos.
En un chiste de matemáticos, un profesor le pregunta a la clase cuál es el número más grande. 
«Un trillón de billones», responde Jorge. «¿Y si es un trillón de billones y uno?», replica el profesor. 
«Bueno, estaba cerca», dice Jorge.
Los números no tienen fin. Dame un número y te daré uno más grande. De ahí partimos para 
conocer la infinidad de los números.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y las transforma a expresiones numéricas que incluyen las cuatro 
operaciones básicas con números enteros, fracciones o decimales.
• Comprueba si el modelo planteado representó las condiciones del problema: datos, acciones y 
condiciones.
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico, su comprensión del valor posicional de 
las cifras de un número, de la fracción, del significado de los signos de los números enteros, de las 
propiedades de las operaciones con números enteros y expresiones decimales para interpretar un 
problema según su contexto.
• Selecciona y emplea estrategias de cálculo, estimación y procedimientos para realizar operaciones 
con los datos indicados anteriormente.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades de los números y de las operaciones con números enteros 
y expresiones decimales, y sobre las relaciones inversas entre las operaciones. Las justifica o sustenta 
con ejemplos y propiedades de los números y de las operaciones. Infiere relaciones entre estas. 
Reconoce errores en sus justificaciones y en las de otros, y las corrige.
9MateMática Delta 1 - aritMética
10
Tema
Los números en la historia
Los números naturales
Relación de orden
Todos los números naturales (en la recta 
numérica) escritos a la derecha del 0 
(cero) cumplen lo siguiente:
«Aquel número natural que esté más 
cercano del 0, será de menor valor que 
aquel que está más alejado del 0». 
Los elementos del conjunto pueden 
representarse en la recta numérica como 
la que aparece en la siguiente figura.
En la recta numérica se elige un punto 
cualquiera sobre ella y se le llama 0 (cero). 
Enseguida, se selecciona otro punto a la 
derecha del 0 y se le llama 1. La distancia 
que hay entre 0 y 1 nos da una unidad de 
medida que se utilizará para localizar los 
otros puntos que se llamarán 2; 3; 4; ...; y 
así sucesivamente.
Números naturales
Un número natural es cualquiera de 
los números que se usa para contar y 
determinar la ausencia o presencia de 
los objetos. Al conjunto de los números 
naturales los representaremos con el 
símbolo .
 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
 0 1 2 3 4 5 6 
Recta numérica
El símbolo 
proviene del latín 
Numerus, para ello se 
tomó la primera letra 
de esta palabra. 
El término Numerus 
se refiere a un signo 
o conjunto de signos.
... + ∞
Ejemplo:
El número 4 es menor que el número 6, 
frase que escribiremos como:
Del mismo modo, decir que 4 es menor 
que 6, implica decir que 6 es mayor que 4, 
frase última que escribiremos como:
El símbolo < se lee: es menor que.
a = b 4 < 6
El símbolo > se lee: es mayor que.
a = b 6 > 4
Algunos símbolos 
matemáticos son:
∀	 :	 para todo
˅	 :	 o
˄	 :	 y
⇔	 :	 si y solo si
⇒	 :	 entonces
∴	 :	 por lo tanto
Recu e rda
1
¿Sa bía s qu e.. .?
11MateMática Delta 1 - aritMética
Operaciones con números naturales
Adición en 
La adición es la operación matemática que 
consiste en reunir o agrupar dos números 
naturales para convertirlos en uno solo 
que llamaremos suma.
Donde:
a y b son sumandos y 
S es la suma.
Ejemplo:
24 + 16 = 40
• 24 y 16 son los sumandos.
• 40 es la suma.
∀	a, b ∈ 
a + b = S
Los axiomas de 
Peano son:
1. El 0 es un número 
natural.
2. Si «n» es un 
número natural 
su sucesor será 
«n + 1» y también 
es natural.
3. El 0 no es sucesor 
de ningún número 
natural.
4. Si hay dos 
números naturales 
con el mismo 
sucesor, entonces 
ambos son el 
mismo número 
natural.
5. Si 0 pertenece 
a un conjunto A; 
además, dado un 
número natural 
cualquiera (a) y 
el sucesor de ese 
número (a + 1), 
que también 
pertenece al 
conjunto A, 
entonces todos 
los elementos de 
dicho conjunto 
pertenecen a .
Import a nt e
Leyes de la adición
Clausura
La suma de dos números naturales es 
también un número natural.
∀	a, b ∈ (a + b) ∈ 
Ejemplo: 
7 y 13 ∈ ⇒	 7 + 13 = 20 ⇒	 20 ∈ 
Conmutativa
El orden de los sumandos no altera el 
valor de la suma.
∀	a, b ∈ a + b = b + a
Ejemplo:
16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23= 23
Asociativa
La forma cómo se agrupan los sumandos, 
no altera la suma.
∀	a, b, c ∈ 
a + b + c = (a + b) + c 
 = a + (b + c) = (a + c) + b
Ejemplo:
9 + 12 + 21
(9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21) = (9 + 21) + 12
 21 + 21 = 9 + 33 = 30 + 12
 42 = 42 = 42
Elemento neutro
Cuando a un número natural le adicionamos 
el 0, se obtiene como resultado el mismo 
número natural. El 0 es el elemento neutro 
en la adición.
∀	a ∈ 
a + 0 = 0 + a = a
Ejemplo:
34 + 0 = 0 + 34 = 34
Uniformidad
Si sumamos los primeros miembros de 
dos igualdades, y luego los segundos 
miembros, se obtiene otra igualdad.
∀	a, b, c, d ∈ 
Si a + b = c y d = d
Entonces: a + b + d = c + d
Ejemplo:
Se tienen: 6 + 9 = 15 y 7 = 4 + 3
Entonces: 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3
 22 = 22
Cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad 
se tiene el mismo sumando, entonces 
podemos cancelar este sumando luego 
del cual obtendremos otra igualdad.
∀	a, b, c, d ∈ 
Si a + b + d = c + d
Entonces: a + b + d = c + d (cancela d)
Se obtiene: a + b = c
Ejemplo:
5 + 12 + 9 = 17 + 9
5 + 12 + 9 = 17 + 9 (cancela 9)
 5 + 12 = 17
Sustracción en 
La sustracción es una operación en la que 
dada la suma de dos números naturales y 
uno de los sumandos, debemos calcular 
el otro sumando. De allí decimos que la 
sustracción es la operación inversa de 
la adición. A la sustracción también se le 
conoce como resta.
Si S + D = M, entonces: 
Ahora partimos de la sustracción:
M – S = D
es la sustracción
Siempre y 
cuandoa = b M – S = D a = b S + D = M
12
Teniendo en cuenta los datos del cuadro, contesta:
(a) Utilizando el símbolo < ordena los sueldos de los cuatro presidentes 
latinoamericanos que ganan menos, indicando el país al que pertenecen.
País Presidente Sueldo mensual
Uruguay José Mujica $ 12 500
$ 10 000
$ 15 042
$ 2842
$ 5500
$ 18 000
$ 10 000
$ 20 409
$ 8587
$ 7000
$ 6188
$ 11 764
$ 4400
Cristina Fernández
Michelle Bachelet
Evo Morales
Ollanta Humala
Otto Pérez Molina
Juan Manuel Santos
Enrique Peña Nieto
Horacio Cortés
Rafael Correa
Nicolás Maduro
Dilma Rousseff
Juan Orlando Hernández
Argentina
Chile
Bolivia
Perú
Guatemala
Colombia
México
Paraguay
Ecuador
Venezuela
Brasil
Honduras
SUELdOS mENSUALES RECibidOS pOR LOS pRESidENtES 
LAtiNOAmERiCANOS (EN dóLARES)
A pesar de ser países vecinos, el sueldo mensual de los presidentes de las 
naciones latinoamericanas oscila considerablemente. El cuadro siguiente muestra 
cuáles fueron estos sueldos en el año 2015.
2
Al comparar números naturales con los símbolos < o > en cada pareja de números 
que se presenta, justifica tu respuesta.
Todo número natural que tenga más cifras que otro, 
siempre será mayor que este otro.
(a) 3001 > 234 ...
(b) 672 < 682 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras y también al 6 
como primera cifra. Ahora, para determinar quién es 
mayor o menor suprimimos la cifra 6 (672 y 682) y 
comparamos los números que aún quedan. 
Como observamos, 72 < 82 corresponde el signo <.
(c) 1234 < 1243 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras; tienen 
también al 12 como sus dos primeras cifras. Ahora, 
para determinar quién es mayor o menor suprimimos 
12 (1234 y 1243) y comparamos los números que 
quedan. Como observamos, 34 < 43 corresponde el 
signo <.
1
Import a nt e
La sustracción
(M – S) en los 
números naturales 
solo es posible 
cuando el minuendo 
M es mayor que el 
sustraendo S, y la 
diferencia D.
Es decir:
M – S = D
Solo es posible en el 
caso que M S.
Además:
M : minuendo
S : sustraendo
D : diferencia de 
 M y S
La historia del cero 
no es sencilla. Los 
antiguos griegos y 
romanos, no lograron 
dar un nombre a 
«la nada». Ellos no 
contaban «nada».
El sistema de 
numeración hindú-
arábigo que incluyó el 
cero, fue promulgado 
en occidente por 
Fibonacci en su 
Liber-Abaci (libro del 
ábaco), publicado 
en 1202.
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
13MateMática Delta 1 - aritMética
La palabra minuendo 
proviene del latín 
MINUENDUS 
(disminuir) 
y la palabra 
sustraendo, del latín 
SUBSTRAHENDUS 
(sustraer).
Resolución:
Bolivia Honduras Perú Venezuela
$ 2842 < $ 4400 < $ 5500 < $ 6188
Resolución:
Resolución:
Sobre la recta numérica, primero ubicamos a los valores extremos 5400 y 9800.
(b) Ordenando de mayor a menor, escribe los sueldos de los cuatro presidentes 
latinoamericanos que más ganan, indicando el país al que pertenecen.
(c) Sobre la recta numérica, ubica los sueldos de los presidentes latinoamericanos 
que estén comprendidos entre $ 5400 y $ 9800.
México Guatemala Chile Uruguay
$ 20 409 > $ 18 000 > $ 15 042 > $ 12 500
0 5400 5500 6188 7000 8587 9800
Perú Venezuela Ecuador Paraguay
Rolando gastó S/ 98 en comprar un libro de Comunicación, S/ 24 más que el 
precio anterior en un libro de Matemática y S/ 75 en un libro de Inglés. Por otro 
lado, Miguel gastó S/ 104 en comprar un libro de Ciencia y Ambiente, S/ 38 menos 
en un libro de Personal Social y S/ 84 en un buzo escolar. Determina quién gastó 
más, y cuánto más.
 Resolución:
Como son dos personas que gastan dinero, entonces calcularemos cuánto 
gastaron en total cada uno. Organizamos los datos en cuadros de doble entrada.
Como 295 > 254, decimos que Rolando tiene un mayor gasto que Miguel. Para 
determinar cuánto má s gastó, restamos el menor del mayor 295 – 254 = 41.
Rpta. Rolando gastó S/ 41 más que Miguel.
Gasto de Rolando = 98 + 122 + 75
 = 295
Gasto de Miguel = 104 + 66 + 84
 = 254
Rolando
Artículo Precio (S/)
98
98 + 24
75
L. Comunicación
L. Matemática
L. Inglés
Miguel
Artículo Precio (S/)
104
104 – 38
84
L. Ciencia
L. Personal Social
Buzo escolar
3
¿Sa bía s qu e.. .?
14
El dólar 
estadounidense es 
la moneda oficial de 
Estados Unidos. 
El dólar es una 
moneda fiduciaria 
ya que su valor 
está respaldado 
únicamente por la 
confianza que le 
otorga los usuarios.
El Euro es una 
moneda de la Unión 
Europea.
 Thomas Alva Edison nació el mismo año que Alexander Graham Bell, y murió 9 años 
más tarde que Bell, quién inventó el teléfono en 1876, con 29 años de edad y murió 
46 años más tarde. ¿En qué año nació y murió Edison?
4
 Los tres últimos movimientos de la cuenta bancaria de mi madre han sido: S/ 72, 
la factura de energía eléctrica; S/ 33; la del servicio de agua potable y S/ 1300, su 
pago de haberes. Si finalmente quedó un total de S/ 18 227 en su cuenta bancaria, 
¿cuánto dinero tenía inicialmente?
5
 Roentgen descubrió los rayos X en 1895 cuando tenía 50 años y 28 años más tarde, 
murió. ¿En qué año nació y en qué año murió?
6
Resolución:
• Bell tenía 29 años en 1876:
1876 – 29 = 1847 → año en que nació Bell y Alva.
• Bell murió 46 años después de 1876:
1876 + 46 = 1922 → año en que murió Bell.
• Alva murió 9 años después del fallecimiento de Bell.
1922 + 9 = 1931 
Resolución:
• La cantidad de dínero que tenía inicialmente es desconocida: x
• S/ 72 es el pago de la factura de energía eléctrica; por lo tanto, se resta 
de la cantidad inicial.
• S/ 33 es el pago de la factura del servicio de agua potable; también se 
resta del monto inicial. 
• S/ 1300 es un ingreso de su sueldo; este monto se suma a la cantidad 
inicial.
• S/ 18 227 es la cantidad final.
x – 72 – 33 + 1300 = 18 227
 x + 1195 = 18 227
 x = 17032
Resolución:
• Roentgen tenía 50 años en 1895, entonces:
1895 – 50 = 1845 → año de nacimiento. 
• Se sabe que Roentgen falleció 28 años después de 1895, entonces: 
1895 + 28 = 1923 → año en que murió. 
Rpta. Concluimos que mi madre tenía inicialmente S/ 17 032.
Rpta. Por lo tanto, Thomas Alva Edison nació en 1847 y falleció en 1931.
Rpta. Por lo tanto, Roentgen nació en 1845 y falleció en 1923.
¿Sa bía s qu e.. .?
15MateMática Delta 1 - aritMética
Para señalar la 
desigualdado igualdad 
de dos números se 
recurre a los siguientes 
signos.
> : Mayor que
< : Menor que
= : Igual a
≥ : Mayor o igual a
≤ : Menor o igual a
≠ : Desigual o diferente
 Determina el valor de a2 + c2 + b2, sabiendo que abc + abc + ab = 888.8
 Adela tenía en su cuenta bancaria S/ 1187, pero ha pagado con la tarjeta S/ 385 por 
la compra de un abrigo y S/ 163, por un vestido. ¿Cuánto le queda en su cuenta?
7
 En una empresa de 50 trabajadores, se han obtenido los siguientes datos de una 
encuesta:
� 22 juegan lotería, 25 son aficionados al fútbol y 28 están casados.
� 11 son aficionados al fútbol y además juegan lotería, 12 son casados y juegan 
lotería, y 14 son casados y aficionados al fútbol.
� 7 son casados, aficionados al fútbol y juegan lotería.
¿Cuántos solteros, no son aficionados al fútbol y no juegan lotería? 
9
1187 = 385 + 163 + x
1187 – 385 – 163 = x 
639 = x
2a = 8 → a = 4
2b + a = 8 → b = 2 
2c + b = 8 → c = 3
6 + 4 + 7 + 7 + 7 + 5 + 9 + x = 50 
 x = 50 – 45
 x = 5
2 2 2 2 2 2∴	a + b + c = (4) + (2) + (3)
 = 16 + 4 + 9 
 = 29
Rpta. Por lo tanto, concluimos que a Adela le queda S/ 639 en su cuenta bancaria.
Rpta. El valor de a2 + b2 + c2 es 29.
Rpta. 5 trabajadores son solteros no aficionados al fútbol y tampoco juegan lotería.
a b c
a b c 
+ a b
8 8 8
74
7
75
6
9
Tenía = S/ 1187
Abrigo = S/ 385 Vestido = S/ 163 Queda = x
x
L (22) F (25)
U = 50
C (28)
¿Sa bía s qu e.. .?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
16
1
1 2En la batalla de Ayacucho, ocurrida el 9 de 
diciembre de 1824, se enfrentó el ejército libertador 
que contaba con 6000 soldados y el ejército 
realista con 9320 hombres. Luego de la batalla, 
el primer ejército quedó con 5630 soldados y el 
segundo con 7520. ¿Cuántos soldados murieron 
en total?
Resolución:
En la batalla de Junín, ocurrida el 6 de agosto 
de 1824, se enfrentó el ejército libertador que 
contaba con 7900 soldados de infantería y 1000 de 
caballería, mientras que el ejército realista contaba 
con 1300 jinetes y 7000 infantes. Luego de la 
batalla, el primer ejército quedó con 8752 soldados 
y el segundo con 8046. ¿Cuántos soldados 
murieron en total?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Sustracción
Sea:
a1 + a2 + a3 + ... + an = S
Se tiene que:
a1; a2; a3; ... ; an son sumandos y S es la suma.
Propiedades
- Clausura : 7 y 13 ∈ ⇒ 7 + 13 = 20 ∈ 
- Conmutativa : 16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23 = 23
- Asociativa : (9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21)
- Elemento neutro : 34 + 0 = 34
- Uniformidad : 6 + 9 = 15 ∧ 7 = 4 + 3 ⇒ 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3
- Cancelativa : 5 + 12 + 9 = 17 + 9 ⇒ 5 + 12 = 17
Sea:
M – S = D
Se tiene que:
•	 M es minuendo
•	 S es sustraendo
•	 D es diferencia
Además:
S + D = M
Adición
Síntesis
Modela y resuelve 
17MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta. 
5 6Sofía compró un teléfono celular en S/ 257 y lo 
vendió en S/ 239. ¿Cuánto ganó o perdió en esta 
transacción comercial?
Resolución:
Mayra compró un equipo de sonido en S/ 345 y lo 
vendió en S/ 381. ¿Cuánto ganó o perdió en esta 
transacción comercial?
Resolución:
Recuerda
• Cuando se compra un objeto y se vende, 
luego, a un valor menor que el valor de 
compra, se perderá dinero. O también:
 Si Valor de venta < Valor de compra
 entonces se perderá.
Recuerda
• Cuando se compra un objeto y se vende, 
luego, a un valor mayor que el valor de 
compra, se ganará dinero. Es decir:
 Si Valor de venta > Valor de compra 
 entonces se ganará.
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
3 4Sergio tiene ahorrado S/ 2567 y le falta S/ 433 
para comprar una cama de dos plazas en madera 
tornillo. Si dentro de dos días recibirá S/ 269 
como parte de su sueldo, y su hermano Javier ha 
prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta 
la cama? ¿Cuánto deberá prestarle su hermano 
Javier?
Resolución:
Rodrigo tiene ahorrado S/ 2784 y le falta 
S/ 578 para comprar un TV LED de 58 pulgadas. 
Si dentro de dos días recibirá S/ 345 como 
parte de su sueldo, y su hermano Miguel ha 
prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta 
la TV LED?¿Cuánto deberá prestarle su hermano 
Miguel?
Resolución:
18
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
7 8Un tráiler proveniente de la sierra central llega con 
un cargamento de papa para ser distribuido en 
cuatro puestos del mercado central. En el puesto 
de Ana dejó 4840 kg, en el puesto de Beatriz 
dejó 748 kg más que en el puesto anterior; en el 
tercer puesto (Carmen) dejó tanto como en los 
dos puestos anteriores, y en el puesto de Domitila 
dejó 10 026 kg menos de lo que descargó en los 
puestos de Ana y Carmen juntos; terminando así 
con toda la carga. ¿Cuántos kilogramos de papa 
descargó el tráiler?
Resolución:
Un tráiler distribuyó su mercadería en cuatro 
puestos. En el puesto de Adriana dejó
5240 kg, en el puesto de Vilma dejó 824 kg más que 
en el puesto anterior, en el tercer puesto (Camila) 
dejó tanto como en los otros dos puestos anteriores, 
y en el puesto de Dora dejó 10 428 kg menos de lo 
que descargó en los puestos de Adriana y Camila 
juntas; terminando así con toda la carga. ¿Cuántos 
kilogramos de mercadería descargó el tráiler?
Resolución:
9 10Sabiendo que he comprado un televisor LED 
de 42 pulgadas a un precio de S/ 2458 y una 
computadora por S/ 1746; determina si gané o 
perdí al vender la computadora en S/ 1957 y el 
televisor en S/ 2396.
Resolución:
Sabiendo que he comprado un televisor LED 
de 50 pulgadas a un precio de S/ 2584 y una 
computadora por S/ 1849; determina si gané o 
perdí al vender la computadora en S/ 2015 y el 
televisor en S/ 2487.
Resolución:
19MateMática Delta 1 - aritMética
11 12La suma de los términos de una sustracción es 
1524. Si el sustraendo es 343, calcula el valor de 
la diferencia.
Resolución:
La suma de los términos de una sustracción es 
1628. Si el sustraendo es 547, calcula el valor de 
la diferencia.
Resolución:
13 14Encuentra el valor de bac + bca + acb, sabiendo 
que abc + cab + cba = 2b5a. 
Resolución:
Sabiendo que abc + cab + cba = 1c7a, 
encuentra el valor de bac + bca + cab.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
20
15 16Calcula el valor de cba + bac + bca, sabiendo que 
a + b + c = 16 y abc + cba + acb = 2046.
Resolución:
Calcula el valor de bac + cba + bca, sabiendo que
a + b + c = 19 y abc + cba + acb = 1839.
Resolución:
17 18En una sustracción, si el minuendo aumenta en 
87 unidades, halla en cuánto debe aumentar el 
sustraendo para que la diferencia disminuya en 
59 unidades.
Resolución:
En una sustracción, si el minuendo aumenta en 
128 unidades, halla en cuánto debe aumentar el 
sustraendo para que la diferencia disminuya en 67 
unidades.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
21MateMática Delta 1 - aritMética
19 20
21 22
En una sustracción de un número de tres cifras 
abc con otro que se obtiene de invertir el orden de 
sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras 
extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra 
central de la diferencia es 9, ejemplos:
En una sustracción de un número de tres cifras 
abc con otro que se obtiene de invertir el orden de 
sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras 
extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra 
central de la diferencia es 9, ejemplos:
Calcula el mayor valor de a2 + b2 + m2, sabiendo 
que abc + cba = xm74 y abc – cba = xy8.
Calcula el valor de a2 + c2 + m2, sabiendo que 
abc + cba = b1my y abc – cba = 4nx.
Resolución: Resolución:
En una sustracción el sustraendo es el triple de 
la diferencia. Si la suma de sus tres términos es 
1576, encuentra el valor del sustraendo.
Resolución:
En una sustracción el sustraendo es el cuádruple 
de la diferencia. Si la suma de sus tres términos 
es 1690, encuentra el valor del sustraendo.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
652 
256
396
582 
285
297
921 
129
792
721 
127
594580 
085
495
610 
016
594
– – – –– –
22
 A S/ 15 B S/ 14
 C S/ 12 D S/ 13
 E S/ 16
 A S/ 6185 B S/ 6183
 C S/ 6187 D S/ 6193
 E S/ 6173
 A S/ 72 y S/ 36 B S/ 56 y S/ 28
 C S/ 72 y S/ 12 D S/ 72 y S/ 28
 E S/ 76 y S/ 14
 A 205 y 343 B 250 y 334
 C 215 y 323 D 215 y 423
 E 205 y 433
 A Les falta S/ 1 B Les sobra S/ 3
 C Les sobra S/ 1 D Les falta S/ 2
 E Les sobra S/ 2
 Ana le ha prestado a su hermano Javier S/ 16 
que le faltaban para comprarse un patinete y le 
ha quedado a ella S/ 56. Si Ana tiene después 
del préstamo tiene el doble de dinero que Javier, 
¿cuánto dinero tenía cada uno?
1
 En una granja había 630 animales entre gallinas, 
patos y pavos. El número de gallinas era 250 y el 
de patos, 75 unidades menos que el de gallinas. 
¿Cuántos pavos había en la granja? ¿Cuántos 
animales quedaron en la granja si se vendieron 
100 gallinas, 32 patos y 65 pavos?
2
 Juan tiene S/ 25; su hermano Luis, S/ 12 más 
que Juan, y su hermana Lucía, S/ 8 menos que 
Luis. Entre los tres quieren comprar un regalo a 
sus padres que cuesta S/ 90. ¿Tienen suficiente 
dinero? En caso afirmativo, calcula cuánto les 
sobra y en caso negativo, cuánto les falta.
3
 Tres amigos han juntado S/ 40 para comprar un 
regalo a otro amigo. El primero puso S/ 12 y el 
segundo, S/ 3 más que el primero. ¿Cuánto puso 
el tercero?
4
 Un trabajador autónomo ganó, en enero, S/ 2056; 
en febrero, S/ 136 menos, y en marzo, S/ 287 más 
que en febrero. ¿Cuánto ganó el primer trimestre 
del año?
5
 A S/ 6980 B S/ 6860
 C S/ 6940 D S/ 7120
 E S/ 6920
 Un contador ha anotado las operaciones que 
realizó en un día.
¿De cuánto es el saldo a favor?
- Primero, recibió depósitos de Juan por S/ 1970; 
de Pedro, S/ 2480; de José, S/ 470, y de Jazmín, 
S/ 2010.
- Segundo, tuvo que pagar los montos de 
 S/ 1640 y S/ 380.
- Por último, recibió un depósito de Rosa por 
 S/ 2030.
6
Practica y demuestra
Nivel I
23MateMática Delta 1 - aritMética
 A 3880 g B 3895 g
 C 3925 g D 3455 g
 E 3960 g
 Un pepinillo mediano pesa 850 g más que uno 
pequeño y 1155 g menos que uno grande. Cuánto 
pesan los tres, si el mediano con el grande pesan 
3255 g.
11
 Si se sabe que aa + bb + 443 = aba, calcula el 
valor de a2 + b2.
7
 Encuentra el valor de (a × c + b2), sabiendo que 
ab + bc + dd = (c – 1)dd .
9
Nivel II
A 65 B 85 C 73
D 74 E 80
A 10 B 12 C 56
D 66 E 72
 En una maratón internacional se han inscrito 
187 corredores europeos, 145 americanos 
y 158 asiáticos. El resto, hasta un total de 
612 participantes, son africanos. ¿Cuántos 
participantes son africanos?
12
A 125 B 135 C 118
D 108 E 122
 Sabiendo que a8a + 5bb + 64c = 165a, halla el 
valor de a × b + c. 
8
A 34 B 20 C 26
D 38 E 16
 Determina el valor de a2 + c × b, sabiendo que 
 4b7 + 8bc + a5a = 1b6a.
10
A 31 B 23 C 28
D 19 E 35
24
 De tres números se sabe que: 
 � Su suma es 100. 
 � El primero es 10 unidades mayor que el segundo. 
� El segundo es 15 unidades más que el tercero. 
 Calcula el número mayor.
13
A 50 B 65 C 35
D 45 E 55
 Luis se compró una bicicleta por S/ 318 y la pagó 
en tres cuotas mensuales de igual valor. Por pagar 
en cuotas le recargaron S/ 21 al valor original de la 
bicicleta. ¿Cuánto pagó en cada cuota?
14
A S/ 113 B S/ 120 C S/ 106
D S/ 127 E S/ 119
 Para comprar un televisor de S/ 540 me faltan 
S/ 156. ¿Cuánto dinero tengo?
15
A S/ 384 B S/ 618 C S/ 648
D S/ 658 E S/ 696
 A 1564 y 1632 B 1574 y 1648
 C 1573 y 1632 D 1564 y 1642
 E 1573 y 1642
 Kepler nació 7 años más tarde que Galileo y murió 
12 años antes. Si Kepler murió con 59 años en 1630, 
¿en qué año nació y en qué año murió Galileo?
16
 A S/ 6680 B S/ 6930
 C S/ 6870 D S/ 7170
 E S/ 6810
 Tres hermanos: Alex, Carlos y Enrique, recibieron 
una herencia de S/ 19 250. Según el testamento, 
Carlos recibiría S/ 1770 más que Alex y Enrique, 
S/ 1280 más que Alex. ¿Cuánto recibió Carlos?
18
 Mi madre tiene 6 años menos que mi padre y 
22 años más que yo. ¿Cuántos años tiene mi 
madre, si la suma de nuestras edades es 89 años?
 A 31 años B 32 años
 C 33 años D 34 años
 E 35 años
17
25MateMática Delta 1 - aritMética
 Sabiendo que abe + ace + ade = 2011, encuentra 
el valor de (a × e + b + c + d).
20
A 58 B 61 C 73
D 47 E 63
 Un comerciante compró dos bicicletas gastando 
en total S/ 278. La primera bicicleta le costó S/ 58 
más que la segunda. Si la primera la vendió en 
S/ 201, ¿a cuánto debe vender la segunda para 
ganar en total S/ 102? 
19
A S/ 183 B S/ 197 C S/ 179
D S/ 181 E S/ 191
Nivel III
 Calcula el valor de (ac + db), sabiendo que 
aab + ccb + ddb = acdb y b ≠ 5.
21
A 69 B 98 C 78
D 99 E 87
 Sabiendo que aaa + aaa + b = cba, halla el valor 
de (c × b + a2).
22
A 51 B 57 C 44
D 58 E 49
 Determina el valor de (bc + ad), sabiendo que 
abcd + bcd + cd + d = dcc8; además d < 7.
23
 Encuentra el valor de (a × b + n × c), sabiendo 
que 97na + 692 + aaaa = nabc2.
24
A 63 B 87 C 94
D 79 E 83
A 21 B 27 C 48
D 51 E 270
26
Tema
Multiplicación y división 
de números naturales
Leyes de la multiplicación
multiplicación en 
La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que 
se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 
7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7.
La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados 
multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, 
se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo 
sumando «A» el cual aparece «B» veces. 
6 × 5 × 8 = (6 ×	5) ×	8
 = 30 ×	8
 = 240
6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8)
 = 6 ×	40 
 = 240
6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5
 = 48 × 5
 = 240
Clausura
El producto que resulta de multiplicar dos 
números naturales, es también un número 
natural.
∀	a, b ∈ , (a × b) ∈ 
Ejemplo:
6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ 
Conmutativa
En una multiplicación de dos números 
naturales, el orden de los factores no 
altera el producto.
 a × b = b × a
Ejemplo:
7 y 12 ∈ 
Entonces: 7 × 12 = 12 × 7
 84 = 84
Asociativa
La forma cómo asociemos los factores de 
la multiplicación, no altera el producto. 
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que:
a ×	b ×	c = a ×	(b ×	c) 
a ×	b ×	c = (a ×	b) ×	c
a ×	b ×	c = (a ×	c) ×	b
Ejemplo:
6; 5 y 8 ∈ 
Entonces:
Donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
A y B también se denominan factores
								∀ A, B ∈		
A + A + A + ... + A = P
«B» sumandos
a = b A × B = P
Elemento neutro
En la multiplicación, el número 1 es el 
elemento neutro. La multiplicación de 
cualquier número natural por 1, da como 
resultado el mismo número natural.
∀ a ∈	
Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a
Ejemplos:
● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358
● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469
2
Import a nt e
La multiplicación se 
representa con una 
aspa (×) o un punto 
(●). Sin embargo, 
usar el aspa (x) 
no es aconsejable 
porque crea una 
confusión innecesaria 
con la letra que 
normalmente se 
asigna a una incógnita 
en una ecuación.
27MateMática Delta 1 - aritMética
distributiva
Con respecto a la adición
El producto de un número natural por una 
adición, es igual a sumar el producto de 
este número natural con cada uno de los 
sumandos de dicha adición.
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que:
a ×	(b + c) = a × b + a × c
Ejemplo:
9 × (5 + 8) = 9 × 5 + 9 × 8
9 × 13 = 45 + 72
 117 = 117
Con respecto a la sustracción
El producto de un número natural por una 
sustracción, es igual a restar el producto 
de este número natural con el minuendo 
menos el producto del mismo número 
natural con el sustraendo.
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que: 
a ×	(b – c) = a × b – a × c 
Ejemplo:
8 × (8 – 3) = 8 × 8 – 8 × 3
 8 × 5 = 64 – 24
 40 = 40
Uniformidad
Si multiplicamoslos primeros miembros 
de dos igualdades y luego los segundos 
miembros, se obtiene otra igualdad.
∀ a, b, c, d ∈	 , 
si a = b y c = d ⇒ a × c = b × d
Ejemplo:
Si 6 + 8 = 14 y 5 = 3 + 2
Entonces: (6 + 8) ×	5 = 14 × (3 + 2)
				 	 										14 × 5 = 14 × 5
 70 = 70
Elemento absorbente
El 0 es el elemento absorbente de la 
multiplicación de cualquier número natural 
por 0, da como resultado 0.
Ejemplo:
∀ a ∈	 , se cumple que:
a ×	0 = 0 × a = 0
1359 × 0 = 0 × 1359 = 0
Cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad 
aparece un mismo factor, diferente de 
0, entonces este mismo factor puede 
cancelarse.
∀ a, b, c ∈	 , c ≠ 0
Si a × c = b × c
Ejemplo:
Entonces: a × c = b × c
 a = b
Si 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27
 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27
 6 × 9 = 2 × 27
 54 = 54
división en 
La división es la operación inversa de 
la multiplicación. La división es una 
operación en la que dado un producto 
de dos números naturales y uno de los 
factores, debemos hallar el otro factor.
Sea P = a × b y conociendo «a», definimos 
la división como: P ÷ a = b.
Sea ahora la división:
Generalmente, la división la escribiremos 
usando los siguientes símbolos:
Donde:
D es el dividendo
d es el divisor
q es el cociente
÷ es el símbolo que identifica a la división
cumpliéndose que
P ÷ a = b, debe cumplirse que a × b = P.
Formas de expresar la división exacta
Cualquiera sea la forma de expresar la 
división exacta, debe cumplirse que:
a = b D ÷ d = q
D
d = q
D d
0 q
q 
D d
 0
a = b D ÷ d = q
a = b d × q = D
a = b d × q = D
Usando la ley 
asociativa podemos 
apresurar nuestros 
cálculos, sobre todo 
cuando multiplicamos 
un número que 
termina en cifra 5 con 
un número par.
A = 6 × 8 × 15 × 15
 = (6 × 15)(8 × 15)
 = 90 × 120
 = 10 800
B = 14 × 12 × 5 × 15
 = (14 × 15)(12 × 5)
 = 210 × 60
 = 12 600
Recu e rda
Un error frecuente 
que se comete 
al usar la ley 
cancelativa ocurre 
cuando algunas 
personas creen que 
en una igualdad se 
puede cancelar el 
cero llegándose a 
absurdos.
6 × 0 = 7 × 0
6 × 0 = 7 × 0
cancelan el cero 
y obtienen que
6 = 7
¡Absurdo!
5 × (3 × 2 – 6) = 
8 (5 × 3 – 15)
5 × 0 = 8 × 0
5 × 0 = 8 × 0
Cancelan el cero 
¡Absurdo!
¡No o lv id e s 
qu e.. .!
28
A una fiesta asistieron 18 niños y 14 niñas; al finalizar la fiesta, los niños recibieron 
en su caja de sorpresas 15 caramelos, 4 chocolates y 3 cajitas de refresco. Por 
otra parte, las niñas recibieron 6 caramelos, 12 chocolates y 2 cajitas de refresco. 
Determina cuántos caramelos, chocolates y cajitas de refresco se repartieron en 
total.
Organizamos los datos en un cuadro de doble entrada.
Rpta. Se repartieron 354 caramelos, 240 chocolates y 82 cajitas de refresco.
Resolución:
18 niños 18 × 15 = 270 18 × 4 = 72 18 × 3 = 54
14 × 6 = 84 14 × 12 = 168 14 × 2 = 28
 354 240 82
14 niñas
total
n.° de caramelos 
repartidos
n.° de chocolates 
repartidos
n.° de cajitas 
de refresco
1
Un comerciante compró 78 polos a S/ 13 cada uno, y 56 pantalones a S/ 24 por 
unidad. Si luego logra vender 64 polos a S/ 18 cada uno, y 48 pantalones a S/ 31 por 
unidad; determina si con los ingresos por ventas ¿ganó o perdió? y ¿cuánto?
Para determinar si ganó o perdió, calculamos la suma de todos los gastos realizados 
al comprar, y después sumamos todos los ingresos que obtuvo al vender; para 
finalmente comparar ambas sumas.
Observamos que Gasto total < Ingreso total, por consiguiente ganó.
Su ganancia se calcula restando: 2640 – 2358 = 282
Rpta. En esta operación comercial ganó S/ 282.
Resolución:
polo 78
56
2358
S/ 13 78 ×	13 = 1014
56 ×	24 = 1344S/ 24pantalón
Gasto total
Artículo Cantidad
Compra
precio unit. Gasto
polo 64
48
2640
S/ 18
S/ 31
64 ×	18 = 1152
48 ×	31 = 1488pantalón
Ingreso total
Artículo Cantidad
Venta
precio unit. ingreso
2358 2640<
2
Para resolver 
ejercicios de 
multiplicación 
debemos tener 
presente las 
siguientes leyes:
• Clausura
• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro
• Distributiva
• Elemento 
absorbente
• Uniformidad
• Cancelativa
Recu e rda
Ejercicios resueltos
29MateMática Delta 1 - aritMética
Se ha determinado que trabajando con 
24 personas se puede asfaltar una calle en cierto 
plazo, si trabajasen 8 horas al día. ¿Cuántas 
personas serán necesarias para asfaltar la 
misma calle, si la jornada de trabajo diario se 
aumentara en 4 horas y se pretende terminar en 
el mismo plazo?
Resolución:
Rpta. Serán necesarias 16 personas.
3
•		Como cada una de las personas debería trabajar 8 horas diarias, entonces podemos 
determinar el número total de «horas diarias» que se debería trabajar para asfaltar 
la calle en el plazo fijado.
 24 personas, c/u trabajando 8 horas diarias:
 24 × 8 = 192 «horas diarias» son necesarias.
•		Finalmente, se decidió trabajar 12 horas diarias (4 horas más) por persona. Para 
saber cuántas personas deben trabajar dividiremos:
personas que trabajarán 12 horas diarias cada una.
Un anciano dejó al morir S/ 684 para cada uno 
de sus hijos. Pero días antes del reparto fallece 
uno de ellos, y la herencia de este se repartió 
entre los demás, recibiendo entonces cada uno 
S/ 912. ¿Cuánto dejó de herencia el anciano?
Resolución:
Rpta. La herencia fue S/ 2736.
4
Para resolver este problema, bastará calcular el número de hijos.
Llamaremos n al número de hijos beneficiados.
• Son n hijos, cada uno recibirá S/ 684, entonces:
 684 × n = herencia
• Fallece uno de ellos, ahora son (n – 1) beneficiados, cada uno recibirá S/ 912.
 Entonces:
 912 × (n – 1) = herencia
• Ahora, igualamos:
 684 × n = 912(n – 1)
 684 × n = 912 × n – 912
 912 = 228 × n
 4 = n
• Finalmente la herencia que dejó el anciano se calcula como: 4 hijos, cada uno 
recibirá S/ 684; entonces: 4 × 684 = 2736
192 12
 72
 0
16
30
5 Dos secretarias tienen que copiar y pegar 540 
cartas cada una. La primera copia y pega 15 
cartas por minuto y la segunda, 12 cartas. 
Cuando una de ellas haya terminado su tarea, 
¿cuántas cartas le faltará copiar y pegar a la 
otra?
Resolución:
Rpta. Le faltará copiar y pegar 108 cartas.
Fotografía de dos 
secretarias
La primera persona copia y pega más cartas por hora. Calcularemos entonces cuánto 
tiempo emplea.
540 cartas
15 cartas/minuto
 = 36 minutos
Ahora, calculamos cuántas cartas copia y pega la segunda en 36 minutos.
12 cartas/minuto × 36 minutos = 432 cartas
Entonces, le faltarán 540 – 432 = 108
6 En un supermercado se ofrece la oferta 
compre 3 y pague 2. Marcia decide 
comprar los siguientes productos: 8 bolsas 
de pañales cuyo precio es de S/ 24 por 
bolsa, 3 six packs de leche que está a
S/ 15 cada paquete y 7 botellas de yogur de 
dos litros que cuestan S/ 8 cada una. Calcula 
cuánto paga Marcia.
Resolución:
Rpta. Marcia paga S/ 214.
Fotografía de oferta 3 x 2
o de supermercado
Elaboramos un cuadro para mostrar los precios y las cantidades que lleva.
Cantidad Artículo Precio Oferta
8 bolsas pañal S/ 24 2
3 six packs leche S/ 15 1
7 bot. (2 L) yogur S/ 8 2
El pago a realizar es: 144 + 30 + 40 = 214
Calculamos el pago que debe realizar.
•		 En pañales hay 2 ofertas, quedan 2 bolsas.
• En leche hay una oferta.
• En yogur hay dos ofertas, queda una botella.
Artículo Precio Pago
pañal S/ 24 2 × (2 × 24) + 2 × 24 = 144
 llevo 3, pago 2
leche S/ 15 1 × (2 × 15) = 30
 llevo 3, pago 2
yogur S/ 8 2 × (2 × 8) + 1 × 8 = 40
 llevo 3, pago 2
31MateMática Delta 1 - aritMética
7
8
Un parque de diversiones recibe, en promedio, 
1560 personas al día en primavera, 2580 en 
verano, 1120 en otoño y 345 en invierno. 
Calcula cuántos visitantes se espera tener en 
un año. 
Resolución:
Sumando tenemos 504 450 v.
Rpta. Se espera tener 504 450 visitantes en un año. 
Fotografía de parque de 
diversiones
El dueño de una pollería pagó el mes pasado 
a su proveedor S/ 11 664 poruna compra de 
1296 kilogramos de carne de pollo. Si este 
mes, que termina hoy, ha pagado S/ 10 116, 
determina cuántos kilogramos menos de 
carne pidió este mes que el anterior.
Resolución:
Rpta. El dueño pidió 172 kg menos que el mes anterior.
Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne de pollo.
 Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne de pollo se compró 
este mes.
Este mes se compró menos carne que el mes anterior:
1296 – 1124 = 172
S/ 11 664
1296 kg
 = S/ 9
S/ 10 116
S/ 9
 = 1124 kg
(Considera que cada estación dura 90 días)
En primavera: 1560 × 90 d = 140 400 vv
d
En verano: 2580 × 90 d = 232 200 vv
d
En otoño: 1120 × 90 d = 100 800 vv
d
En invierno: 345 × 90 d = 31 050 vv
d
32
En un salón que tiene matriculados a 24 estudiantes, el profesor planeó entregar 
15 chocolates a cada estudiante para darles la bienvenida. Ese día faltaron 
6 estudiantes. Determina cuántos chocolates más recibió cada estudiante, si todos 
recibieron por igual.
•		 En primer lugar, calculamos el número total de chocolates que había planeado.
•		 Luego, repartimos (dividimos) equitativamente los 360 chocolates entre los 
18 estudiantes, pues faltaron 6.
•		 Si hubieran asistido todos, cada uno hubiera recibido 15 chocolates. Pero como 
algunos faltaron, recibieron 20 chocolates.
Resolución:
24 estudiantes a 15 chocolates cada uno se expresa: 24 × 15 = 360 chocolates
20 chocolates para cada uno.
Rpta. Cada estudiante recibió 5 chocolates más de lo planeado.
360 18
 0 20
9
El dueño de un restaurante pagó el mes pasado a su proveedor S/ 1776 por una 
compra de 148 kilogramos de carne de res. Si este mes, que termina hoy, ha pagado 
S/ 2196, determina cuántos kilogramos de carne pidió este mes más que el anterior.
Resolución:
10
Albert Einstein
Se cuenta que cuando Albert Einstein empezaba a ser conocido por su 
Teoría de la Relatividad era muy solicitado para dar conferencias.
Después de muchas conferencias Einstein le comentó a su chofer lo aburrido 
que era repetir lo mismo una y otra vez.
«Si quiere, –le dijo su chofer– lo puedo sustituir por una noche. He oído su 
conferencia tantas veces que la puedo recitar palabra por palabra».
Einstein estuvo de acuerdo y antes de llegar al lugar de la siguiente 
conferencia intercambiaron sus ropas. Afortunadamente, ningún presente 
conocía a Einstein y el chofer expuso la conferencia.
Al final, un profesor de la audencia le hizo una pregunta. El chofer no tenía 
ni idea de cuál podía ser la respuesta y le contestó: «La pregunta que me 
hace es tan sencilla que dejaré que mi chofer que se encuentra al final de la 
sala se la responda». 
Dato histórico
• Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne.
Rpta. El dueño del restaurante pidió 35 kg más que el mes anterior.
•		 Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne se compró 
este mes.
Este mes se compró más carne que el mes anterior: 
 183 – 148 = 35
S/ 1776
148 kg
 = S/ 12
S/ 2196
S/ 12
 = 183 kg
La división puede ser 
exacta o inexacta.
División exacta
Cuando el residuo es 
cero.
Recu e rda
15 5
0 3
15 = 5 × 3 
División inexacta
Cuando el residuo es 
mayor que cero.
17 5
 2 3
17 = 5 × 3 + 2 
En general:
D d
r q
D = d × q + r 
D es el dividendo
d es el divisor
q es el cociente
r es el residuo
 3 
15 5
 0
 3 
17 5
 2
q 
D d
r
o
o
o
33MateMática Delta 1 - aritMética
 A × B = P
donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
Se lee:
B veces A es igual a P.
Ejemplo:
98 × 99 = 9702
Se lee 99 veces 98 es igual a 9702.
multiplicación división
A
de
m
ás
•	 Exacta
 D = d . q
 donde:
 D es el dividendo
 d es el divisor
 q es el cociente
•	 Inexacta
 D = d × q + r
 donde:
 r es el residuo
r < d
rmáx = d – 1
1 2Un agricultor sembró y cosechó tomates que 
transportó al mercado mayorista para venderlos. 
Los tomates llegaron en 184 cajas, cada caja con 
248 tomates; luego de descargar se observó que 
había 8 tomates malogrados por caja, los cuales 
fueron retirados. ¿Cuántas cajas con tomate se 
podrá vender, si los compradores exigen que cada 
caja contenga 230 tomates en buen estado?
Resolución:
Un agricultor sembró y cosechó manzanas que 
transportó al mercado mayorista para venderlos. 
Las manzanas llegaron en 192 cajas, cada 
caja con 236 manzanas; luego de descargar se 
observó que había 7 manzanas malogradas por 
caja, las cuales son retiradas. ¿Cuántas cajas con 
manzanas se podrá vender, si los compradores 
exigen que cada caja contenga 229 manzanas en 
buen estado?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Síntesis
Modela y resuelve 
34
3 4Entre 12 personas deben juntar S/ 3888 aportando 
por igual. Pero resulta que 4 de ellas solo pueden 
aportar la tercera parte de lo que les corresponde, 
obligando de esta manera a que cada uno de los 
restantes aporte cierta cantidad adicional. ¿Cuánto 
será el aporte de cada uno de los restantes?
Resolución:
Entre 16 personas deben juntar S/ 5088 aportando 
por igual. Pero resulta que 6 de ellas solo pueden 
aportar la tercera parte de lo que les corresponde, 
obligando de esta manera a que cada uno de los 
restantes aporte cierta cantidad adicional. Calcula 
de cuánto será el aporte de cada uno de los 
restantes.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
5 6Al multiplicar dos números se obtiene cierto 
producto; pero al aumentar 18 unidades al 
multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior 
en 954 unidades. Halla el valor del multiplicando.
Resolución:
Al multiplicar dos números se obtiene cierto 
producto; pero al aumentar 23 unidades al 
multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior 
en 2047 unidades. Halla el valor del multiplicando.
Resolución:
 
Rpta. Rpta. 
35MateMática Delta 1 - aritMética
7 8El producto de un número de cuatro cifras por 
el mayor número de tres cifras termina en 2013. 
Determina la suma de cifras del producto.
Resolución:
El producto de un número de tres cifras por el 
mayor número de dos cifras termina en 053. 
Determina la suma de cifras del producto.
Resolución:
 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
9 10Sabiendo que al multiplicar un número de tres 
cifras por 87, se obtiene en el producto como sus 
tres últimas cifras a 639. Encuentra el producto de 
las cifras del número de tres cifras.
Resolución:
Sabiendo que al multiplicar un número de tres 
cifras por 97, se obtiene en el producto como sus 
tres últimas cifras a 099. Encuentra el valor de la 
suma de cifras del producto.
Resolución:
 
 
36
11 12Para una instalación de luz en un edificio, 
un electricista pidió S/ 35 por cada punto de 
luz, incluyendo el material y la mano de obra, 
calculando ganar S/ 345; pero por tratarse de 
su compadre hizo una rebaja de S/ 14 por cada 
punto de luz y no ganó más que S/ 79. Calcula 
cuánto es el costo del material eléctrico.
Resolución:
Para una instalación de luz en un edificio, 
un electricista pidió S/ 28 por cada punto de 
luz, incluyendo el material y la mano de obra, 
calculando ganar S/ 288; pero por tratarse de su 
compadre hizo una rebaja de S/ 9 por cada punto 
de luz y no ganó más que S/ 63. ¿Cuánto es el 
costo del material eléctrico?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13 14Al multiplicar 384 × 456 se obtiene cierto producto. 
Pero si disminuimos 12 unidades al multiplicador 
y aumentamos 12 unidades al multiplicando, 
encuentra el aumento o disminución del nuevo 
producto con respecto al producto original.
Resolución:
Al multiplicar 359 × 494, se obtiene cierto producto. 
Pero si disminuimos 13 unidades al multiplicador 
y aumentamos 13 unidades al multiplicando, 
encuentra el aumento o disminución del nuevo 
producto con respecto al producto original.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
37MateMática Delta 1 - aritMética
15 16Un ganadero tiene 420 ovejas que las puede 
alimentar durante60 días. Luego quiere que los 
alimentos duren 12 días más sin acortar la ración 
diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada 
animal consume una ración de alimentación por 
día?
Resolución:
Un ganadero tiene 380 ovejas que las puede 
alimentar durante 45 días. Luego quiere que los 
alimentos duren 15 días más sin acortar la ración 
diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada 
animal consume una ración de alimentación por 
día?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
17
Rpta. Rpta. 
18Un parque de diversiones recibe, en promedio, 
1560 personas al día en primavera; 2580, en 
verano; 1120, en otoño y 345, en invierno. Calcula 
cuántos visitantes se espera tener en un año.
(Considera que cada estación dura 90 días)
Resolución:
Un zoológico recibe, en promedio, 1280 personas 
en el primer trimestre del año; 1970, en el segundo; 
1040, en el tercero y 1690, en el cuarto trimestre. 
Calcula cuántos visitantes se espera recibir en un 
año. (Considera que cada trimestre dura 90 días)
Resolución:
38
19 20Antonio y Arturo están encargados de recoger 
los huevos de gallina en la granja. Hoy, Antonio 
ha recogido 17 bandejas con huevos y Arturo, 
7 bandejas más que Antonio. Si en una bandeja 
entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos 
huevos han recogido entre los dos?
Resolución:
Cristina y Mariana están encargadas de recoger 
los huevos de gallina en la granja. Hoy, Cristina 
ha recogido 27 bandejas con huevos y Mariana, 
8 bandejas menos que Cristina. Si en una bandeja 
entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos 
huevos han recogido entre las dos?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
21 22Un comerciante mayorista compró 80 cajas de 
naranjas de 25 kg cada caja, pagando S/ 4000. El 
transporte le significa un gasto de S/ 120. Luego 
las selecciona y envasa en bolsas de 5 kg. En la 
selección de las naranjas, desecha unos 40 kg. 
Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea 
ganar en total S/ 584.
Resolución:
Un comerciante mayorista compró 95 cajas de 
manzanas de 30 kg cada caja, pagando S/ 5100. 
El transporte le significa un gasto de S/ 160. Luego 
las selecciona y envasa en bolsas de 6 kg. En la 
selección de las manzanas, desecha unos 60 kg. 
Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea 
ganar en total S/ 785.
Resolución:
MateMática Delta 1 - aritMética 39
 Un apicultor tiene 187 colmenas con una 
producción de dos cosechas al año, a razón de 
9 litros de miel por colmena en cada cosecha. 
La miel se envasa en tarros de medio litro y se 
comercializa en cajas de seis tarros que se venden 
a S/ 18 la caja. ¿Qué ingreso anual produce el 
colmenar?
Nivel I
 Cada uno de los 28 alumnos de 1.º A han traído 
dos paquetes con seis dulces cada uno para el 
desayuno de Navidad, y los 21 alumnos de 1.º G, 
tres bolsas de siete dulces cada una. ¿Cuántos 
dulces menos que 1.º G ha traído 1.º A?
1
 Las galletas de una determinada marca se 
envasan en paquetes de 6 unidades que luego se 
empaquetan en cajas que contienen 30 paquetes 
cada una. Un supermercado hizo un pedido de 
15 cajas. ¿Cuántas docenas de galletas pidió en 
total?
2
A 115 B 105 C 102
D 112 E 124
A S/ 34,30 B S/ 34,36 C S/ 33,76
D S/ 35,20 E S/ 34,40
A 200 B 180 C 240
D 225 E 275
 Un librero compró dos docenas y media de libros 
a S/ 24 cada libro. Luego, vendió 19 libros a S/ 18 
cada uno. ¿A cuánto tiene que vender cada uno 
de los libros restantes para no perder dinero ni 
ganar?
4
 A S/ 40 392 B S/ 30 294
 C S/ 25 245 D S/ 45 441
 E S/ 20 196
 Se desea plantar árboles, con una separación 
de 24 metros, a lo largo de un sendero que tiene 
una longitud de dos kilómetros con 40 metros. 
¿Cuántos árboles se necesitan?
5
6
A 80 B 82 C 84
D 88 E 86
Practica y demuestra
 Pablo ha comprado 13 cuadernos que le han 
costado S/ 4 cada uno, 9 bolígrafos de S/ 2 y 
una caja de colores por S/ 17. Ha pagado con un 
billete de S/ 100. ¿Cuánto recibirá de vuelto?
3
A S/ 17 B S/ 13 C S/ 19
D S/ 23 E S/ 11
40
Nivel II
 Al multiplicar dos números naturales se obtiene 
2368, pero al aumentar 24 unidades al multiplicador, 
entonces el nuevo producto difiere del anterior 
en 888 unidades. Calcula la suma del doble del 
multiplicando con el triple del multiplicador. 
9
A 236 B 266 C 242
D 272 E 282
 Al multiplicar un número de tres cifras por 99 el 
producto tiene como sus tres últimas cifras a 355. 
Halla la suma de las cifras del producto.
10
A 18 B 19 C 20
D 21 E 22
 En un partido de baloncesto, un jugador de 2,05 m 
de altura, encestó 12 canastas de dos puntos y 5 
de tres puntos. ¿Cuántos puntos anotó?
12
A 29 B 34 C 39
D 51 E 85
El padre de Alicia tiene 8 gallinas. Durante toda la 
semana pasada recogió huevos que ha puesto en 
tres cartones de 2 docenas cada uno. Si todas las 
gallinas han puesto el mismo número de huevos, 
¿cuántos habría puesto cada una de ellas la 
semana pasada?
11
A 5 B 6 C 7
D 8 E 9
 El señor García ha comprado 570 latas de atún 
a S/ 2 cada lata y las quiere vender a S/ 3,50 
cada una. Como no las vende según lo planeado, 
decide ofertar 3 latas por S/ 8. ¿Cuánto dinero 
dejaría de ganar de cumplir la oferta? 
7
A S/ 475 B S/ 495 C S/ 375
D S/ 525 E S/ 425
 Un turista camina a un ritmo de 72 pasos por 
minuto y avanza 85 cm en cada paso. ¿Qué 
distancia, en metros, recorre en una hora? 
 A 9420 m B 1570 m
 C 4320 m D 5872 m
 E 3672 m
8
41MateMática Delta 1 - aritMética
 A S/ 10 554 B S/ 11 027
 C S/ 12 351 D S/ 12 313
 E S/ 11 473
 A S/ 3420 B S/ 2835
 C S/ 6255 D S/ 4380
 E S/ 4545
Un barco pesquero ha conseguido S/ 9268 por la 
captura de 1324 kg de merluza. ¿Cuánto obtendrá 
otro barco que entra en puerto con 1759 kg de 
merluza de la misma calidad?
13
Un comerciante compra enciclopedias en CD-R a 
S/ 63 y las vende a S/ 76 cada una. Si compra 
600 CD-R, vende 555 y regala el resto, ¿cuánto 
gana?
14
Un albañil y su ayudante cobraron S/ 1620 por 
10 días de trabajo. Si el albañil le diera S/ 300, 
entonces ambos tendrían cantidades iguales. 
¿Cuánto gana por día el ayudante?
15
A S/ 80 B S/ 51 C S/ 25
D S/ 45 E S/ 57
 A S/ 120 B S/ 180
 C S/ 210 D S/ 144
 E S/ 108
Diez amigos tienen que pagar en partes iguales 
una deuda de S/ 960. Si 4 de ellos solo pueden 
pagar la cuarta parte de su cuota, determina 
cuánto pagaron cada uno de los amigos restantes 
para cubrir la deuda. 
18
 Un comerciante compra libros a S/ 53 cada uno. 
Por cada docena que compra le obsequian un libro, 
llevándose en total 780 libros. Si decide regalar 
30 libros, calcula a qué precio debe vender cada 
libro para ganar S/ 6090.
16
A S/ 63 B S/ 61 C S/ 59
D S/ 57 E S/ 65
 Un depósito lleno de gasolina cuesta S/ 4250. 
Luego de vender 72 galones, cuesta S/ 1224 
menos. ¿Cuántos galones de gasolina contenía el 
depósito?
 A 148 B 173
 C 216 D 250
 E 236
17
42
 Un comerciante compra cierta cantidad de 
pantalones a S/ 64 cada uno, pagando S/ 6656. Si 
pierde una docena de los pantalones comprados, 
halla a qué precio debe vender los restantes para 
ganar S/ 1164 en total. 
 A S/ 87 B S/ 85
 C S/ 83 D S/ 80
 E S/ 78
19
Nivel III
 Un avión lleva 275 pasajeros. En primera clase 
viajan 80 personas y cada una pagó S/ 250; en 
segunda clase viajaron 125 personas y cada una 
pagó S/ 210. ¿Cuánto pagó cada persona que 
viajó en tercera clase, si la recaudación total fue 
S/ 58 850? 
20
 A S/ 190 B S/ 180
 C S/ 200 D S/ 160
 E S/ 150
 En una feria se oferta regalar dos libros por cada 
docena comprada; el dueño de una librería pagó 
por una remesa de 48 libros a S/ 18,00 cada uno. 
¿Cuánto gana por la venta de los libros, si vende 
todos los libros que llevó a S/ 17,50 cada uno?
21
 A S/ 72 B S/ 106
 C S/ 92 D S/ 142
 E S/ 116
 A S/ 16 B S/ 17
 C S/ 18 D S/ 20
 E S/ 24
 Compré cierto número de libros por S/ 600. Vendí 
40 y recibí S/ 320, perdiendo S/ 2 en cada libro 
vendido.¿A cuánto tengo que vender los libros 
restantes, si quiero ganar S/ 60 en la venta total?
22
El producto de dos números es 3312; si 
aumentamos 18 unidades al multiplicando 
entonces el producto aumenta 1296 unidades.
Encuentra la suma de los factores de tal 
multiplicación.
23
Al multiplicar un número de cuatro cifras por 839, 
el producto termina en 7581. Calcula la suma de 
las cifras del producto.
24
 A 116 B 118
 C 120 D 124
 E 112
 A 38 B 39
 C 40 D 41
 E 42
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
43MateMática Delta 1 - aritMética
Henry, Diego y Manuel hicieron una 
colecta de S/ 756 para donar a una familia 
damnificada. De ellos, se sabe que Manuel 
aportó S/ 470 y Henry S/ 290 menos que 
Manuel. ¿Cuánto aportó Diego?
5 Sabiendo que a + b + c = 15, calcula la suma 
de las cifras de aa + bb + cc
5 )(
2 .
4 Al hacer la rendición del balance anual 
de una distribuidora, se conoció que en el 
primer trimestre se obtuvo una ganancia de 
S/ 8425; el segundo trimestre, S/ 1500 más 
que en el anterior; en el tercero, tanto como 
en el segundo; y en el cuarto, S/ 1375 menos 
que la suma del primero con el segundo. 
¿De cuánto fue la ganancia anual de dicha 
distribuidora?
Después de solicitar los últimos movimientos 
de su cuenta bancaria, Daniela observó que 
figuraban los pagos de: telefonía móvil, 
equivalente a S/ 149; televisión satelital, S/ 
129; música (streaming) por S/ 28 y pago de 
haberes por S/ 2600. Si se sabe que figura 
como saldo final S/ 18 564, determina cuánto 
dinero tenía inicialmente.
Einstein nació 6 años antes que Bohr. Si 
se sabe que en el año 1925 sostuvieron un 
debate cuando Bohr tenía 40 años, y que 
Einstein falleció 30 años después, indica el 
año de nacimiento de Einstein y su edad al 
morir. (S + I + G + M + A)2
1
2
3
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
S/ 44 250A
S/ 45 750C
S/ 45 250B
S/ 46 500D
9A
18C
15B
24D
441A
289C
361B
272D
S/ 576A
S/ 286C
S/ 466B
S/ 106D
S/ 17 170A
S/ 16 550C
S/ 17 860B
S/ 16 270D
1979; 75A
1879; 76C
1885; 77B
1885; 76D
Si se cumple que:
Halla el resultado de:
6
SIGMA + IGMA + GMA + MA + A = 5M940
44
Se ha determinado que trabajando con 
36 personas se puede construir un camino 
en cierto plazo si trabajase 9 horas al día. 
¿Cuántas personas será necesario que trabajen 
para construir el mismo camino, si la jornada 
de trabajo diario se aumentara en 3 horas y se 
pretende terminar en el mismo plazo?
En un colegio hay cierta cantidad de alumnos; 
cuando los hacen formar para un desfile se 
observa que hay una escolta con 6 alumnos, 
2 batallones principales de 5 filas y 4 columnas, 
y 10 batallones adicionales de 7 columnas y 
20 filas. Calcula cuántos alumnos tiene el colegio.
Dos secretarias tienen que copiar y pegar 
630 cartas cada una. La primera copia y pega 
15 cartas por minuto y la segunda, 18 cartas. 
Cuando una de ellas haya terminado su tarea, 
¿cuántas cartas le faltará copiar y pegar a la 
otra?
El dueño de un restaurante pagó el mes pasado a 
su proveedor S/ 1776 por una compra de 148 kg 
de carne de res. Si este mes, que termina hoy, ha 
pagado S/ 2196, determina cuántos kilogramos 
más de carne se ha pedido este mes que el 
anterior.
Los padres de familia del colegio Delta 
decidieron comprar el libro de Matemática que 
les corresponde a sus hijos con la siguiente 
oferta: «Un libro costará S/ 112 y les regalarán 
2 libros por cada docena que compren». Si en 
total los padres llevaron 392 libros, ¿cuánto 
debieron pagar?
Un anciano dejó al morir S/ 724 para cada uno de 
sus hijos. Pero días antes del reparto falleció uno 
de ellos, y la herencia de este se repartió entre 
los demás, recibiendo entonces cada uno S/ 905. 
¿Cuánto dejó de herencia el anciano?
7 10
11
129
8
27A
45C
36B
324D
S/ 3620A
S/ 1629C
S/ 2896B
S/ 181D
726A
1656C
1446B
2400D
105A
645C
525B
1155D
183 kgA
24 kgC
35 kgB
14 kgD
S/ 336A
S/ 37 632C
S/ 4032B
S/ 37 634D
MateMática Delta 1 - aritMética
Tema
45
Números enteros
Cuando se utilizaron los números naturales y se representaron en la recta numérica, 
se estableció un punto de referencia o punto de origen a partir del cual y a su derecha 
se escribió el siguiente del cero que es el 1; luego, el siguiente del uno que es el 2; el 
siguiente del dos que es el 3 y así sucesivamente. Gracias a este acuerdo podemos 
determinar cuándo un número es mayor que otro. Se estableció también que un número 
a es mayor que otro b, cuando el primero se encuentre más lejos que el segundo con 
respecto al punto de referencia.
Del mismo modo cuando dos atletas están compitiendo, podemos saber en cualquier 
instante (antes que termine la carrera) quién de ellos tiene un mayor recorrido, y 
lo sabremos porque hay un punto de partida común; gracias a este punto de partida 
podemos realizar nuestras mediciones.
¿Y qué sucedería si no hubiera tal punto de referencia?
Pues no sabríamos cuál es el norte o cuál es el sur, ni quién está delante o detrás. Si se 
produce, por ejemplo, un accidente automovilístico en la intersección de dos calles, un 
peatón a cierta distancia del lugar donde se produjo el impacto, puede narrar lo que vio 
de forma distinta que otro testigo que se encontraba observando desde el tercer piso de 
un edificio.
Es por ello que, en matemática, para no caer en discusiones interminables y etéreas 
debemos fijar claramente nuestro punto de origen o referencia.
Ahora que ya justificamos la importancia de contar con un punto de referencia, situemos 
a nuestros dos atletas partiendo del mismo lugar en la recta numérica, pero esta vez 
corriendo en sentidos opuestos.
0‒a +a
Partida
0
menor recorrido
mayor recorrido
a b
Punto de
partida
a < b
Los números enteros
Los números 
negativos 
complementan o 
extienden el conjunto 
de los números 
naturales, generado 
por un defecto de los 
números naturales.
Por ejemplo: 5 – 9 
no es natural, no se 
cumple, entonces, 
la propiedad de 
clausura en los 
números naturales.
Recu e rda
3
46
El conjunto de los 
números enteros 
está representado 
por la letra , la cual 
es la letra inicial de 
la palabra alemana 
Zahleh, que significa 
número.
¿Sa bía s qu e.. .?
Como vemos en el gráfico, ambos han 
corrido igual distancia pero están en 
lugares distintos (lugares opuestos). 
Entonces, para poder diferenciarlos, uno 
del otro, convenimos que quien está a la 
derecha del 0 será escrito como «+a» y 
quien está a la izquierda del 0 será escrito 
como «–a»; donde «a» será cualquier 
número natural.
Podemos decir entonces que la recta 
numérica tendrá más elementos: los 
números naturales y sus opuestos.
Con los números naturales no era 
posible realizar la sustracción cuando el 
minuendo es menor que el sustraendo, 
por ejemplo: 16 – 24. Esta situación 
nos obliga a ampliar el conjunto de 
los números naturales, introduciendo 
un nuevo conjunto que contenga a los 
naturales y sus opuestos. Este nuevo 
conjunto numérico será llamado números 
enteros.
Sus elementos son los números naturales 
y sus opuestos, tomando como punto de 
referencia al 0.
Así el conjunto , en la recta numérica 
será:
Es decir:
 = {– ∞; ...; –4; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; +4; ...; + ∞}
5–5 1–3 3–1–4 2–2 40 +∞–∞
Enteros 
negativos
Enteros 
positivos
+∞1–3 3–1–4 2–2 40–∞
1.° «+a» consiste en avanzar «a» 
unidades hacia la derecha de la recta 
numérica partiendo del punto donde 
nos encontremos. Por ejemplo, +8 
significa avanzar 8 unidades a la 
derecha.
2.° «–a» consiste en retroceder «a» 
unidades hacia la izquierda de la 
recta numérica partiendo del punto 
donde nos encontremos. Por ejemplo, 
–6 significa retroceder 6 unidades a la 
izquierda.
Operaciones con números enteros
Adición de números enteros
Teniendo en cuenta la recta 
numérica y para abordar la adición 
en , tomemos en consideración las 
siguientes convenciones:
Relación de orden
En la recta numérica de los números 
enteros,aquellos números que se 
encuentren a la derecha del 0 serán 
llamados enteros positivos, y quienes 
estén a la izquierda del 0 serán llamados 
enteros negativos. El cero no es positivo ni 
negativo, y aquel número que se encuentre 
a la derecha de otro (en la recta numérica) 
será siempre mayor.
0 a b
b > a
–a 0 b
b > –a
–a –b 0
–b > –a
47MateMática Delta 1 - aritMética
¿Sa bía s qu e.. .?
Ahora, sumemos números enteros.
Partimos del 0, avanzamos 5 
unidades y seguimos avanzando 3, 
llegando a 8, es decir:
• (+5) + (+3)
+5 +3
0 5 8
(+5) + (+3) = +8
Partimos del 0, retrocedemos 5 
unidades y seguimos retrocediendo 
4, llegando a –9; es decir:
• (–5) + (–4)
(–5) + (–4) = –9
–4 –5
–9 –5 0
Partimos del 0, avanzamos 5 
unidades y luego retrocedemos 2, 
llegando a +3; es decir:
• (+5) + (–2)
+5
–2
0 3 4 5
(+5) + (–2) = +3
Partimos del 0, retrocedemos 6 
unidades y luego avanzamos 2, 
llegando a –4; es decir:
• (–6) + (+2)
(–6) + (+2) = –4
–6 –4 0
–6
+2
En resumen:
Gráficamente:
• (+7) + (+9) = +16
siempre se avanzó, por eso el resultado 
es positivo.
• (–8) + (–3) = –11
siempre se retrocedió, por eso el 
resultado es negativo.
• (+5) + (–7) = –2
el retroceso es mayor que el avance, el 
resultado es negativo.
• (–6) + (+10) = +4
el avance es mayor que el retroceso, el 
resultado es positivo.
 
enteros 
negativos
enteros 
positivoscero
...; ‒3; ‒2; ‒1; 0; +1; +2; +3; ...
Debes conocer que 
la aparición de los 
números enteros fue 
bastante posterior 
a la de los números 
fraccionarios; tal 
aparición necesitaba 
de la existencia del 
cero, la cual era 
algo ajeno a muchas 
culturas antiguas 
como por ejemplo los 
egipcios, romanos y 
griegos.
Leyes de la adición en 
(+6), (–8) ∈ 
(+6) + (–8) = –2 ∈ 
Ejemplo:
∀ a, b ∈ ; (a + b) ∈ 
Clausura
La suma de dos números enteros es 
también otro número entero.
(+8) + (–5) = (–5) + (+8)
 +3 = +3
Ejemplo:
∀ a, b ∈ ; a + b = b + a
Conmutativa
Si se cambia el orden de los sumandos no altera el 
valor de la suma.
48
(+8) + (–8) = 0
Las leyes de uniformidad y cancelativa 
vistas en , también son leyes en .
Ejemplo:
a + (–a) = 0
Elemento opuesto o inverso aditivo
Todo número entero «a» tiene un 
opuesto de la forma «–a» y viceversa, 
cumpliéndose que:
Ejemplo:
∀ a ∈ 
a + 0 = 0 + a = a
(–24) + 0 = 0 + (–24) = –24
Elemento neutro
Cuando a un número entero le adicionamos 
el 0, se obtiene como resultado el mismo 
número entero. El cero es el elemento 
neutro de la adición.
Ejemplo:
∀ a, b, c ∈ 
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b
Asociativa
La forma cómo se agrupan los sumandos no altera la suma.
(+9) + (–8) + (–7) = [(+9) + (–8)] + (–7) = (+9) + [(–8) + (–7)] = [(+9) + (–7)] + (–8)
 = (+1) + (–7) = (+9) + (–15) = (+2) + (–8)
 = –6 = –6 = –6
Ley de clausura es
también conocida 
como la ley de 
cerradura.
Sea una operación 
definida en el conjunto 
A; si a A entonces 
su elemento inverso 
se denota como a–1, 
y su elemento neutro 
como e, de modo que:
a e = e a = a
a a–1 = a–1 a = e
Recu e rda
Definimos la sustracción de dos números enteros llamados minuendo y sustraendo como 
una suma del minuendo con el opuesto del sustraendo.
Sustracción de números enteros
∀ a, b ∈ , entonces: a – b = a + (–b)
Ejemplos:
• (+8) – (+5) = (+8) + (–5) = +3
• (+5) – (+8) = (+5) + (–8) = –3
• (–9) – (–4) = (–9) + (+4) = –5
• (–4) – (–9) = (–4) + (+9) = +5
• (+6) – (–5) = (+6) + (+5) = +11
• (–5) – (+6) = (–5) + (–6) = –11
Otros ejemplos:
• (+16) – (+8) – (–5) + (–9) – (+6)
 (+16) + (–8) + (+5) + (–9) + (–6)
 (+16) + (+5) + (–8) + (–9) + (–6)
 (+21) + (–23)
 –2
• (+12) – {(–4) – (+6) – [(–12) – (–26)]}
 (+12) – {(–4) + (–6) – [(–12) + (+26)]}
 (+12) – { (–10) – [+14] }
 (+12) – { (–10) + (–14) }
 (+12) – {–24}
 (+12) + (+24)
 +36
49MateMática Delta 1 - aritMética
Ejemplos de multiplicación:
(+8) × (+3) = +24
(–6) × (–4) = +24
(–7) × (+3) = –21
(+2) × (–9) = –18
(+24) ÷ (+6) = +4
(–28) ÷ (–4) = +7
(+36) ÷ (–9) = –4
(–18) ÷ (+3) = –6
Ejemplos de división:
1.° Multiplica los números enteros, 
prescindiendo del signo que tienen.
2.° Determina el signo del producto de 
acuerdo a la siguiente convención.
• Al multiplicar dos números 
enteros, ambos positivos o 
negativos, el resultado siempre 
es positivo.
• Al multiplicar dos números 
enteros, uno positivo y el otro 
negativo, el resultado siempre es 
negativo.
Multiplicación y división de 
números enteros
Se utiliza la misma regla para multiplicar 
y para dividir.
¿Cómo se hace?
Recuerda que la regla de signos en la 
división es igual a la de la multiplicación.
(–8) × (–5) = +40
Es razonable decir que (–8) × (–5) es 
igual al opuesto de (+8)(–5).
Como (+8) × (–5) = –40
Entonces (–8)(–5) = +40 ... el opuesto 
de –40.
• Multiplicación de dos enteros 
negativos:
(+6) × (+7) = 6 × 7 = +42
recuerda que +a = a
Y por la ley conmutativa:
(+4) × (–6) = (–6) + (–6) + (–6) + (–6)
 = –24
(+4) × (–6) = (–6) × (+4) = –24
Breve explicación
• Multiplicación de dos enteros positivos:
• Multiplicación de un entero negativo 
con otro positivo:
Los signos de agrupación más usados 
son:
Signos de agrupación
Los signos de agrupación son símbolos 
que definen el orden en que se realizará 
cualquier operación matemática. También 
indican que los elementos dentro de él 
deben considerarse como un todo.
Si aparecen varios signos de colección, 
unos dentro de otros, entonces se 
procede a operar aquel donde exista 
mayor encierro; es decir, desde el interior 
hacia afuera.
Prioridad de las operaciones
Las operaciones matemáticas deben 
seguir un orden único, para que todos 
obtengan el mismo resultado. Es 
fundamental que a medida que vayan 
apareciendo distintas operaciones, 
usemos los signos de colección para 
evitar ambigüedades; tal como veremos 
en la siguiente expresión:
Signos de agrupación
El paréntesis ( )
El corchete [ ]
Las llaves { }
No existe regla que determine si primero 
debo multiplicar o si primero debo dividir. 
Tampoco es regla empezar la operación 
de izquierda a derecha o de derecha a 
izquierda. Por eso es necesario utilizar los 
signos de agrupación, y tener un orden 
único, para eso se crearon.
16 × 12 ÷ 4 × 6 ÷ 2
50
Reglas en el orden de las operaciones:
1.° Resolver las operaciones dentro de los signos de agrupación.
2.° Resolver la potenciación o radicación.
3.° Resolver la multiplicación o la división.
4.° Resolver la adición o la sustracción.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
En primer lugar, las operaciones entre 
paréntesis
Luego, multiplicamos dentro de los 
corchetes
Restamos dentro del corchete
Multiplicamos
Las operaciones entre llaves
Operamos con números enteros
Multiplicamos
............
...............................
....................................
....................................
..............................................
.................................................
..........................................................
3 × {4 – 8 [6 × (9 – 5) – 5 × (28 ÷ 7)] + 1}
 
3 × {4 – 8 [6 × 4 – 5 × 4] + 1}
3 × {4 – 8 [24 – 20] + 1}
3 × {4 – 8 [4] + 1}
3 × {4 – 32 + 1}
3 × {(+4) + (–32) + (+1)}
3 × {–27}
–81
................
.........................
.......................................................
....................................
..........................................
............................................................
Operamos dentro de los paréntesis
Resolvemos las operaciones entre 
paréntesis
Resolvemos dentro de los corchetes
Operamos dentro de las llaves
Resolvemos las llaves
Sumamos
8 + {25 + 6 – [2 × 6 – (32 ÷ 8 – 1)] ÷ 3}
8 + {25 + 6 – [2 × 6 – (4 – 1)] ÷ 3}
8 + {25 + 6 – [12 – 3] ÷ 3}
8 + {32 + 6 – [9] ÷ 3}
8 + {38 – 3}
8 + {35}
43
Blaise Pascal
Matemático francés delsiglo XVII, fue quien generalizó el triángulo 
aritmético para el desarrollo de un binomio, y contribuyó al cálculo de 
probabilidades.
Pascal construyó, a la edad de 18 años, la primera máquina de sumar 
y restar que se conoce, para su padre que tenía problemas con estas 
operaciones matemáticas. Su padre era cobrador de impuestos.
¿Leyeron alguna vez 
las frases?
1. El amigo de mi 
amigo es mi amigo.
2. El enemigo de mi 
enemigo es mi 
amigo.
3. El amigo de mi 
enemigo es mi 
enemigo.
4. El enemigo de 
mi amigo es mi 
enemigo.
Son frases que 
ayudan a recordar la 
regla de signos de 
la multiplicación, al 
reemplazar la palabra 
amigo por el signo + y 
enemigo por el signo –. 
Le e
¿Sabías que...?
4 4
51MateMática Delta 1 - aritMética
2 Un buzo que se encontraba a 15 metros bajo el nivel del mar decide bajar unos 8 
metros logrando atrapar un pez corvina. Luego, al subir 6 metros, el pez da un fuerte 
coletazo y escapa. Determina a qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra el 
buzo. Ilustra la situación.
Resolución:
Se encuentra a 17 m bajo el nivel 
del mar.
Para saber exactamente dónde se 
encuentra el buzo, efectuamos la 
operación:
(–15) + (–8) + (+6)
 (–23) + (+6)
 –17
–15
–8
+6
nivel del mar
3
Resolución:
Rpta. Al efectuar obtenemos 11 454.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19] } (4 – 3 × 9)
{ (+1992) + (+30) [(–12) + 6 (–15) + 19] } (4 – 27)
 { 1992 + 30 [(–12) + (–90) + 19] } (–23)
 { 1992 + 30 [–83] } (–23)
 { 1992 + (–2490) } (–23)
 {–498} (–23)
 +11 454
Efectúa.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19]} (4 – 3 × 9)
Sea x un número entero mayor que –3, pero menor que 4; determina cuántos valores 
puede tomar x.
–3 < x < 4
Resolución:
Matematizando tendremos:
En la recta numérica:
Rpta. x toma 6 valores.
x = –2; –1; 0; 1; 2; 3
... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
1
Se denomina nivel 
del mar al que sirve 
como referencia 
para ubicar la altitud 
de las localidades 
y accidentes 
geográficos, excepto 
los accidentes 
submarinos que 
se miden por su 
profundidad.
La unidad de medida 
en que suele medirse 
la altura sobre el nivel 
del mar es el metro. 
Se habla, pues, de 
metros sobre el nivel 
del mar, abreviado: 
m s.n.m.
También se habla 
de metros bajo el 
nivel del mar, cuya 
abreviación es 
m b.n.m. 
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
Rpta. Se encuentra a 17 m bajo el nivel del mar.
52
a. C.
Calculamos la diferencia de temperaturas.
temp. final – temp. inicial = (–7) – (+25)
 = (–7) + (–25)
 = –32
bajo cero
–32
4Ahora: = –8
Resolución:
Resolución:
• En el caso de Cicerón, calculamos el año en que murió.
Año en que murió = (–106) + (+63) = –43
a. C.
• Séneca nació 47 años después que murió Cicerón.
d. C. d. C.
Año en que murió = (+3) + (+61) = +64
a. C.
Año de nac. = (–43) + (+47) = +3
No olvidar que el año 
cero (0) no se cuenta.
d. C.
Rpta. Séneca murió en el año 64 d. C.
En las vidas de Cicerón y Séneca encontramos 
numerosos rasgos comunes. Los dos eran 
ciudadanos de Roma, cultos, buenos oradores 
y part´rcipes en política, lo que a ambos les 
costó la vida. Sin embargo, vivieron en épocas 
distintas. Cicerón nació en el año 106 a. C. y 
vivió 63 años. Séneca nació 47 años después 
de la muerte de Cicerón y vivió 61 años. 
Determina en qué año murió Séneca.
4
He comprado un camión congelador que 
al empezarlo a usar estaba a 25 °C y luego 
de 4 horas estaba a 7 °C bajo cero. Calcula 
cuántos grados bajó cada hora.
5
Rpta. La temperatura bajó 8 °C cada hora.
En problemas de 
edades que varien 
entre a. C. y d. C. no 
se considera el año 
0, debido a que este 
año no existe en el 
calendario gregoriano 
ni en el juliano.
a. C.
antes de Cristo
d. C.
despúes de Cristo
También, en la 
numeración de los 
pisos de un edificio no 
existe el piso cero (0).
Import a nt e¡
53MateMática Delta 1 - aritMética
Resolución:
La cafetería del colegio introdujo en su menú 
la venta de frutas y jugos naturales. Luego, 
se registraron las ganancias y pérdidas 
de los 5 primeros días: el día lunes perdió 
S/ 43, el martes ganó S/ 28, el miércoles ganó 
S/ 24, el jueves perdió S/ 37 y el viernes ganó 
S/ 12. Determina cuánto ganó o perdió dicha 
cafetería.
6
¿Cuántos años transcurren desde el año 234 a. C. hasta el año 1967 d. C.?7
Otra forma de llegar a la solución consiste en organizar los datos de las ganancias 
y pérdidas en un cuadro.
Para determinar el resultado, realizamos la operación:
El resultado será = ganancias + pérdidas
 = (+64) + (–80)
 = –16
S/ 28
S/ 24
S/ 12
S/ 80Total
Ganancia Pérdida
S/ 64
S/ 43
S/ 37
Fotografía de cafetería
Rpta. La cafetería perdió S/ 16.
Rpta. Transcurren 2200 años.
Resolución:
Calculamos la diferencia de años:
= (+1967) – (–234) – (1)
= +2200
d. C. a. C.
No hay 
año 0
Día:
Resultado:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
(–43) + (+28) + (+24) + (–37) + (+12)
 (–15) + (–13) + (+12)
 (–28) + (+12)
 –16
54
Calcula.
Resolución:
(–76)(+12) + (13)(–4) [8(–4)(–5)]
(–76)(+12) + (13)(–4) [8(–4)(–05)]
 –912 + (–52) [160] 
 –912 + (–8320)
 –9232
Rpta. Al calcular se obtiene –9232.
Rpta. Al resolver se obtiene –4.
9
Resolución:
(–3)2 – 55 ÷ 5 – 4 × (–6) ÷ (–12)
(–3)2 – 55 ÷ 5 – 4 × (–6) ÷ (–12)
 9 – 55 ÷ 5 – 4 × (–6) ÷ (–12)
 9 – 11 + 24 ÷ (–12)
 9 – 11 + (–2)
 –4
Resuelve.10
Entonces: 
(–a)2 = (–a) × (–a) = +a2
Recu e rda
a2 = a × a
Resolución:
El comedor «Sabores peruanos» abrió sus 
puertas incluyendo en su menú la venta de 
pasteles. Los encargados llevaron registros 
detallados de las ganancias y pérdidas 
obtenidos durante la primera semana de este 
lanzamiento. A continuación, describimos lo 
que ocurrió: el día lunes se perdió S/ 125, el 
martes, S/ 117; el miércoles se ganó S/ 35, 
el jueves se perdió S/ 59, el viernes se ganó 
S/ 21, el sábado, se ganó S/ 128 y el domingo, 
S/ 103. Determina el resultado obtenido en 
esta semana.
8
Organizaremos los datos de ganancias y pérdidas en un cuadro de doble entrada.
Dia Ganancia Pérdida
Lunes S/ 125
Martes S/ 117
Miércoles S/ 35
Jueves S/ 59
Viernes S/ 21
Sábado S/ 128
Domingo S/ 103
Total S/ 287 S/ 301
Resultado = (+287) + (–301)
 = –14
Rpta. En esta semana se perdió S/ 14.
55MateMática Delta 1 - aritMética
Efectúa.12
Resolución:
 [ 52 + (–3)3]3 – { –8 – 3 [ (–4)2 + 32 – (–5)1] ÷ 10}
[ 52 + (–3)3]3 – { –8 – 3 [ (–4)2 + 32 – (–5)1] ÷ 10}
[ 25 + (–27)]3 – { –8 –3 [ 5 + 5 ] ÷ 10}
 [ –2 ]3 – { –8 – 3 [10] ÷ 10}
 –8 – { –8 – 30 ÷ 10}
 –8 – { –8 – 3}
 –8 + 11
 +3
Karl F. Gauss
Matemático alemán del siglo XVIII, llamado el príncipe de la Matemática. Se 
considera uno de los tres grandes matemáticos de la historia, junto a Arquímedes 
y Newton.
A los 10 años de edad, su profesor de Matemática le pidió a él y a sus 
compañeros de la clase, que sumaran los primeros 100 números naturales.
La intención del profesor era descansar, manteniéndolos ocupados un buen tiempo.
Para sorpresa del profesor, Gauss hizo la suma en un par de minutos, dando 
como resultado 5050. 
Gauss hizo lo siguiente: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 y vio que todas las 
sumas daban 101 y que eran 50 pares de 101, por lo que hizo la multiplicación: 
(50) × (101) = 5050 y creó la siguiente fórmula: Sn =
 (a1 + an)n
 2
, que es una 
serie aritmética.
(–315) ÷ (+35) = –9
(+17) × (–9) = –153
(–84) ÷ (+12) = –7
(–19) + (+18) = –1
(–46) + (+57) = +11
(–5) + (+65) = +60
(–128) ÷ (+4) = –32(+252) ÷ (–21) = –12
(a) × (+35) = –315
(b) (+17) × (–9) = 
(c) (–84) ÷ = +12
(d) (–19) – (–18) = 
(e) (–46) – = –57
(f) + (–65) = –5
(g) (–128) ÷ = +4
(h) (–21) × = +252
Completa con números enteros el dato que falta en cada casillero.11
¿Sabías que...?
Operaciones para calcular el termino que falta.
Rpta. Al efectuar se obtiene +3.
56
1
Números enteros ( )
Adición y sustracción
O
pe
ra
ci
on
es
O
pe
ra
ci
on
es
G
rá
fic
am
en
te Multiplicación y división
Enteros negativos Enteros positivos
 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 +∞–∞
• (+7) + (+9) = +16 siempre se avanzó, por eso el resultado es positivo.
• (–8) + (–3) = –11 siempre se retrocedió, por eso el resultado es negativo.
• (+5) + (–7) = –2 el retroceso es mayor que el avance, el resultado es negativo.
• (–6) + (+10) = +4 el avance es mayor que el retroceso, el resultado es positivo.
(+) × (+) = (+) , (+) × (–) = (–)
(–) × (–) = (+) , (–) × (+) = (–)
(+) ÷ (+) = (+) , (+) ÷ (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) , (–) ÷ (+) = (–)
1 En la región Áncash, en las provincias de Yungay 
y Carhuaz se encuentra la cúspide del nevado 
Huascarán a 6768 metros sobre el nivel del mar. 
Un montañista que está a 3928 m s.n.m. decide 
subir, y asciende 645 metros, luego descansa 
unos 15 min y asciende 458 metros; sin embargo, 
debido a que hay peligro de una avalancha decide 
descender 273 m para refugiarse. Determina a 
qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra 
este montañista.
Resolución:
2 En la región Áncash, se encuentra la cúspide del 
nevado Huandoy a 6395 metros sobre el nivel 
del mar. Un montañista que está en la falda del 
nevado a 3850 m s.n.m. decide subir, y asciende 
510 metros, luego descansa unos 15 minutos y 
asciende 249 m; sin embargo debido a que hay 
peligro de una avalancha decide descender 286 m 
para refugiarse. Determina a qué distancia sobre 
el nivel del mar se encuentra este montañista.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Síntesis
Modela y resuelve 
57MateMática Delta 1 - aritMética
3 Jorge practica alpinismo. Desde la cima de un 
cañón descendió una distancia de 520 m, colocó 
un anclaje y descendió 126 m. Luego plantó una 
bandera en este lugar, descansó unos minutos 
y ascendió 249 m donde había dejado unas 
herramientas. Calcula a qué distancia de la cima 
del cañón se encuentra Jorge.
Resolución:
Rpta.
4 Desde la cima de la catarata Salto Ángel, en 
Venezuela, cuya altura es de 979 m, Jaime 
descendió una distancia de 375 m, colocó un 
anclaje y descendió 254 m, plantó una bandera 
en este lugar, descansó unos minutos y ascendió 
278 m donde había dejado algunas provisiones. 
Calcula a qué distancia de la cima del cañón se 
encuentra Jaime.
Resolución:
5 Un ingeniero ofrece a un obrero pagarle S/ 28 por 
cada día que trabaje, y descontarle S/ 17 por cada 
día que falte al trabajo. Si luego de 30 días este 
obrero trabajó durante 12 días, ¿cuánto dinero 
recibirá a fin de mes?
Resolución:
Rpta.
6 Un ingeniero ofrece a un obrero pagarle S/ 56 por 
cada día que trabaje, y descontarle S/ 13 por cada 
día que falte al trabajo. Si luego de 30 días, este 
obrero trabajó durante 23 días, ¿cuánto dinero 
recibirá como pago a fin de mes?
Resolución:
Rpta.
Rpta. 
58
7 En un examen de Matemáticas que consta 
de 20 preguntas, se asignan 6 puntos a las 
preguntas bien contestadas, 3 puntos en contra 
si contestó mal y 1 punto en contra por cada 
pregunta no contestada. Si un estudiante contestó 
15 preguntas, de las cuales acertó 6, halla cuál 
será su puntaje final.
Resolución:
Rpta.
8 En un juego de tiro al blanco con una escopeta 
de balines, se proporcionan 30 balines. Si se 
acierta se otorgan 7 puntos, si no acierta se quitan 
3 puntos y si no se dispara se descuenta un punto 
por cada balín no disparado. Si Miguel disparó 
21 balines, acertando 13, halla cuál será su 
puntaje final.
Resolución:
Rpta.
9 Luego de su captura en alta mar; el pescado se 
encuentra a 19 °C y en el lapso de dos horas es 
congelado, bajando su temperatura en 24 °C. 
Luego se baja la temperatura 15 °C más, y para 
su completa congelación se vuelve a descender 
la temperatura 5 °C. Para venderlo se eleva su 
temperatura hasta llegar a los 12 °C. Determina 
qué temperatura alcanza hasta su completa 
congelación, y halla también cuántos grados 
debe subir la temperatura para venderlo.
Resolución:
Rpta.
10 Al momento de su cosecha en el Atlántico, el 
salmón se encuentra a 15 °C y en el lapso de 
dos horas es congelado, bajando su temperatura 
en 19 °C. Luego de ello se baja la temperatura 
14 °C más, y para su completa congelación se 
vuelve a descender la temperatura en 7 °C. Para 
venderlo se eleva su temperatura hasta llegar a 
los 13 °C. Determina qué temperatura alcanza 
hasta su completa congelación, y calcula 
también cuántos grados centígrados debe subir 
la temperatura para venderlo.
Resolución:
Rpta.
59MateMática Delta 1 - aritMética
11 Un pescador se encuentra sumergido a 45 cm 
bajo el nivel del mar. Observa escondido entre las 
rocas un pequeño pulpo y para atraparlo decide 
descender el cuádruple de la profundidad anterior. 
¿Cuál será ahora la ubicación del pescador con 
respecto al nivel del mar?
Resolución:
Rpta. 
12 Un pescador se encuentra sumergido a 98 cm 
bajo el nivel del mar. Observa que camuflado entre 
la arena se encuentra un lenguado, y para estar 
a 47 cm del pez decide descender el triple de la 
profundidad anterior. ¿Cuál será ahora la ubicación 
del pescador con respecto al nivel del mar?
Resolución:
Rpta. 
13 Interpreta las siguientes frases como números 
enteros, halla su resultado y finalmente, da como 
respuesta la suma de estos resultados.
• Si me dan S/ 18 y me quitan S/ 35.
• Si me dan S/ 79 y luego me dan S/ 150.
• Si me quitan S/ 67 y me dan S/ 29.
• Si me quitan S/ 291 y luego me quitan S/ 87.
Resolución:
Rpta. 
14 Interpreta las siguientes frases como números 
enteros, halla su resultado y da como respuesta 
la suma de estos resultados.
• Si me quitan S/ 89 y me dan S/ 71.
• Si me dan S/ 126 y luego me quitan S/ 213.
• Si me quitan S/ 42 y me dan S/ 63.
• Si me quitan S/ 317 y luego me quitan S/ 109.
Resolución:
Rpta. 
60
17 En un examen de Matemática que consta 
de 20 preguntas, se asignan 8 puntos a las 
preguntas bien contestadas, 2 puntos en contra 
si contestó mal y 1 punto en contra por cada 
pregunta no contestada. Si un estudiante contestó 
17 preguntas, de las cuales acertó 11, calcula cuál 
será su puntaje final.
Resolución:
Rpta. 
18 En un examen de Matemática que consta de 
40 preguntas, se asignan 6 puntos a las preguntas 
bien contestadas, 2 puntos en contra si contestó 
mal y 1 punto en contra por cada pregunta 
no contestada. Si un estudiante contestó 28 
preguntas, de las cuales acertó 19 y para aprobar 
se requiere superar la tercera parte del puntaje 
máximo, calcula si califica y con cuánto.
Resolución:
Rpta. 
15 En un supermercado, escuché cuando uno de los 
reponedores decía a su compañero:
� «La temperatura ambiente es de 16 °C, pero 
en el estante de alimentos congelados la 
temperatura es de 28 °C bajo cero».
� «Además, –replicó– la semana pasada, luego 
de un corte de energía eléctrica, la temperatura 
en alimentos congelados subió 37 °C y la 
temperatura ambiente fue de 21 °C».
Calcula la diferencia de temperaturas en ambos 
casos (de menor a mayor).
Resolución:
Rpta. 
16 En un supermercado, escuché cuando uno de los 
reponedores decía a su compañero:
� «La temperatura ambiente es de 23 °C, pero 
en el estante de pescados congelados la 
temperatura es de 25 °C bajo cero».
� «Además, –añadió– la semana pasada, luego 
de un corte de energía eléctrica, la temperatura 
en alimentos congelados subió 26 °C y la 
temperatura ambiente fue de 19 °C».
Calcula la diferencia de temperaturas en ambos 
casos (de menor a mayor).
Resolución:
Rpta. 
61MateMática Delta 1 - aritMética
19 Un día de invierno amanecióa 2 °C bajo cero. 
Al mediodía la temperatura había subido 
8 °C y hasta las cinco de la tarde subió 
3 °C más que la vez anterior. Desde las cinco hasta 
la medianoche bajó 5 °C, y de la medianoche al 
alba bajó 6 °C más que la vez anterior. Determina 
a qué temperatura amaneció el segundo día.
Resolución:
Rpta. 
20 Un día de invierno amaneció a 4 °C bajo cero. Al 
mediodía la temperatura había subido 7 °C y hasta 
las cinco de la tarde subió 5 °C más que la vez 
anterior. Desde las cinco hasta la medianoche bajó 
8 °C, y de la medianoche al alba bajó 6 °C más 
que la vez anterior. Determina a qué temperatura 
amaneció el segundo día.
Resolución:
Rpta. 
21 Un buzo que hace trabajos en una obra submarina 
se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre 
el nivel del mar y realiza los desplazamientos 
siguientes:
(a) Baja 20 metros para dejar material.
(b) Baja 12 metros adicionales para hacer una 
soldadura.
(c) Sube 8 metros para reparar una tubería.
(d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma. 
Calcula cuántos metros ha subido en su último 
desplazamiento hasta la plataforma.
Resolución:
Rpta. 
22 Un buzo que hace trabajos en una obra submarina 
se encuentra en la plataforma base a 7 m sobre 
el nivel del mar. Y realiza los desplazamientos 
siguientes:
(a) Baja 21 metros para dejar material.
(b) Baja 10 metros adicionales para hacer una 
soldadura.
(c) Sube 9 metros para reparar una tubería.
(d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma. 
Calcula cuántos metros ha subido en su último 
desplazamiento hasta la plataforma.
Resolución:
Rpta. 
62
 Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y 
se casó en el año 14 después de Cristo. ¿A qué 
edad se casó?
 (Recordar que el año cero no se cuenta)
1
 Hace una hora el termómetro marcaba –2 °C y 
ahora marca 2 °C. La temperatura, ¿ha aumentado 
o ha disminuido?¿Cuánto ha variado?
2
 Una persona nació en el año 2 antes de Cristo y 
se casó a los 25 años. ¿En qué año se casó?
3
 Elena tenía ayer en su cuenta bancaria S/ –234 y 
hoy tiene S/ 72. Desde ayer, ¿ha ingresado o ha 
gastado dinero? ¿Qué cantidad?
4
 En una industria de congelados, la temperatura 
en la nave de envasado es 12 °C y en el interior 
del almacén frigorífico, de 15 °C bajo cero. ¿Cuál 
es la diferencia de temperatura entre la nave y la 
cámara, respectivamente? 
5
6
 A 31 años B 29 años
 C 30 años D 28 años
 E 32 años
 A No cambió 0 °C B Disminuyó 4 °C
 C Aumentó 4 °C D Aumentó –4 °C
 E Aumentó 5 °C
 A Ingresó S/ 234 B Gastó S/ 234
 C Ingresó S/ 306 D Gastó S/ 306
 E Ingresó S/ 72
A 3 °C B –3 °C C 27 °C
D –27 °C E –15 °C
Un buzo que realizará trabajos en una obra 
submarina se encuentra en la plataforma base 
a 6 m sobre el nivel del mar y realizará los 
desplazamientos siguientes:
Finalmente, ¿a qué distancia de la plataforma se 
encuentra?
- Se coloca al nivel del mar.
- Baja 20 m para dejar material.
- Baja 12 m más para hacer una soldadura.
- Sube 8 m para reparar una tubería. 
A 24 m B 30 m C 36 m
D 34 m E 40 m
 A 25 d. C. B 26 d. C.
 C 24 d. C. D 22 d. C.
 E 23 d. C.
Practica y demuestra
Nivel I
63MateMática Delta 1 - aritMética
 Efectúa las siguientes operaciones y halla el valor 
de (B – D) – (A + C).
11
 Alejandro Magno, uno de los generales más grandes 
de la historia nació en el año 356 a. C. y murió en el 
año 323 a. C. Determina la edad en que murió.
7
 A 32 años B 34 años
 C 31 años D 35 años
 E 33 años
 A Ganancia de S/ 10 030
 B Pérdida de S/ 4605
 C Ganancia de S/ 4605
 D Pérdida de S/ 4385
 E Ganancia de S/ 4385
 El empresario de un parque acuático hizo un 
resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo 
del año.
10
5 meses : Pérdida de S/ 2475.
3 meses : Ganancia de S/ 8230.
1 mes : Ganancia de S/ 1800.
3 meses : Pérdida de S/ 3170.
Determina el balance final del año.
 Julio César nació en el año 100 antes de Cristo 
y murió en el 44 antes de Cristo. Augusto nació 
en el año 63 antes de Cristo y murió en el año 
19 después de Cristo. Trajano nació 116 años 
después de Augusto y murió en el año 138 después 
de Cristo.
8
– ¿Cuál de los tres emperadores nació antes?
– ¿En qué año nació Trajano?
– ¿Cuál de los tres emperadores vivió más años? 
 A Trajano, 53 d. C., Augusto
 B Julio César, 54 d. C., Augusto
 C Augusto, 53 d. C., Julio César
 D Julio César, 54 d. C., Trajano
 E Augusto, 54 d. C., Trajano
 Si un comerciante vende cada calculadora a 
S/ 11, gana S/ 75; pero si decide vender cada 
calculadora a S/ 6, pierde S/ 50. ¿Cuántas 
calculadoras tiene para vender?
9
A 18 B 24 C 20
D 23 E 25
25 × 9 
A 99 B 97 C –9
D –97 E –104
A = 93 + 3 + [96 – (24 + 2 – 200 + 25) + 12 × 4] – 7 × 13
B = 83 – {43 – [(20 – 15 + 5) – (3 × 2) + 8] + 13}
C = ((3 + 3 × 5) + 9 + 2)(3 + 42 + 5 × 3 + 54 – 5)
D = 102 – 8 × [5 + (9 × 5 – 5) + 8] + 40 + 
 Determina.12
a) 13 ∙ (–2) =
b) (–12) : (–4) = 
c) (+10) : (–2) = 
d) –15 ∙ (–2) ∙ (+3) = 
e) (–3) ∙ (+7) ∙ (–4) ∙ (–2) = 
 
 
Nivel II
64
 En el año 31 después de Cristo, una persona 
cumplió 34 años, ¿en qué año tuvo 46 años?
14
 El saldo de la cuenta de ahorros de Elena 
actualmente es de S/ 154. Si le cobran una factura 
de S/ 313, ¿cuánto será su nuevo saldo?
16
 El termómetro marca ahora 7 °C después de haber 
subido 15 °C. ¿Cuál era la temperatura inicial?
17
 Expresa con números enteros las siguientes 
cantidades: 
18
 Resuelve.13
a) (+6) – (+7) + (–7) – (–6) – (+2) = 
b) (+4) – (+3) + (–2) – (–1) + (+5) = 
c) (+2) ∙ (–7 + 3) – 5 ∙ (8 – 6) = 
d) 14 : 7 – 24 : 3 + 6 : 2 = 
e) 3 – 2 ∙ (7 – 4) – 3 ∙ (6 – 9) = 
A 24 d. C. B 35 d. C. C 43 d. C.
D 44 d. C. E 46 d. C.
 En un frigorífico la temperatura del congelador es 
de –15 °C y la de la nevera es de 6 °C, mientras 
que la del exterior es de 21 °C. Encuentra la 
diferencia entre:
15
a) El exterior y el congelador.
b) El exterior y la nevera.
c) El congelador y la nevera. 
 A S/ +467 B S/ –467
 C S/ +159 D S/ –159
 E S/ +313
– Temperatura en cerro de Pasco 2°C bajo cero.
– Nació en el año 120 a. C.
– El avión volaba a una altura de 1700 metros. 
 A +2; –120; +1700
 B –2; +120; +1700
 C –2; –120; –1700
 D –2; –120; +1700
 E +3; +120; +1700
A 8 °C B 7 °C C –9 °C
D –8 °C E –7 °C
65MateMática Delta 1 - aritMética
 El termostato de la nevera marca cinco grados 
sobre cero y el del congelador veinte grados bajo 
cero. Expresa estas temperaturas con números 
enteros.
22
 Determina si las expresiones son verdaderas o 
falsas.
23
 Martha visita un gran rascacielos. Sube al 
ascensor y desde el cuarto sótano sube 17 pisos. 
Después sube otros 8 y por último vuelve a subir 
7 pisos más. ¿En qué piso ha parado el ascensor 
esta última vez?
24
 Juan recibe el ingreso de su primera nómina por 
un valor de S/ 1000. Para celebrarlo invita a cenar 
a toda su familia, gastándose S/ 150. ¿Cómo se 
reflejan estos movimientos en su cuenta?
20
 Expresa con números enteros las temperaturas 
que ha marcado el termómetro en una semana de 
invierno.
21
 Adela está en el sótano tres y sube cuatro plantas 
hasta su casa. Luego sube dos plantas más para 
visitar a una vecina y por último baja tres plantas 
para coger el coche. ¿Dónde se encuentra el 
coche?
19
 A Planta base B Sótano 1
 C Sótano 2 D Planta 1
 E Planta 2
 A –1000; –150 B +1000; –150
 C +1000; +150 D –1000; +150
 E +850
- Lunes : 2 ºC bajo cero
- Martes : cero grados centígrados
- Miércoles : 1 ºC
- Jueves : 2 ºC
- Viernes : 4 ºC bajo cero
 A –2; 0; –1; + 2; –4 
 B –2; 0; +1; –2; –4
 C +2; 0; –1; +2; +4
 D –2; 0; –1; +2; +4
 E –2; 0; +1; +2; –4
- Si he estado en el sótano 2 y he subido 
4 plantas, estoy en la segunda planta.
- Si tomo el ascensor en el sótano 4 y subo 
3 plantas, estaré en el primer sótano.
 A Planta 28 B Piso 27
 C Piso 29 D Planta 29
 E Piso 26
 A +5 ºC; +20 ºC B +5 ºC; –20 ºC
 C –5 ºC; +20 ºCD –5 ºC; –20 ºC
 E +5 ºC; –15 ºC
A VF B VV C FV
D FF E No se sabe
Nivel III
5k – 12
4k – 12
66
66
Tema
Conjunto vacío
A = ∅
Conjunto unitario
B = {0}
Aunque el elemento 
sea 0 (cero) se 
cuenta como un 
elemento.
∴ B ≠ ∅
0
A
B
Import a nt e
Los términos 
punto, línea recta y 
plano son términos 
no definidos, en 
igual situación 
se encuentra el 
término conjunto. 
A todos estos se 
les llama primitivos, 
los cuales se usan 
como axiomas para 
construir la teoría 
matemática.
¿Sa bía s qu e.. .?
Conjunto
La palabra conjunto se emplea para 
indicar una colección, agrupación o 
reunión de objetos reales o abstractos 
que están bien definidos; estos objetos 
son llamados elementos del conjunto.
Notación
Para simbolizar un conjunto, primero le 
asignamos un nombre usando una letra 
mayúscula y luego las llaves para agrupar 
a sus elementos. Sus elementos, si son 
letras, deben ser minúsculas separadas 
por comas y si son números, deben estar 
separados por punto y coma.
Ejemplos:
• A = {2; 4; 6; 8; 10}
 A es el conjunto de los números pares 
que están entre 1 y 11.
• B = {a, e, i, o, u}
 B es el conjunto formado por las 
vocales de la palabra eucalipto.
Ejemplos:
Determinación de un conjunto
Todo conjunto se puede determinar de 
una o hasta dos formas, siendo estas: por 
extensión o por comprensión.
Por extensión
Se determina de esta manera cuando sus 
elementos son escritos uno a uno dentro 
de los signos de colección.
• A = {3; 5; 7; 9; 11}
• B = {2; 3; 4; 5; 6; ...}
• C = {l, a, p, i, c, e, r, o}
Por comprensión
Se determina así, cuando al inicio de las 
llaves se escribe una expresión algebraica 
con una o más variables seguido de las 
condiciones que permiten obtener los 
valores que toma la variable. La expresión 
algebraica define la característica común 
que tienen los elementos del conjunto.
Ejemplo:
• B = { (x2 + 1) / x ∈ , –3 < x < 4 }
expresión
algebraica
condiciones que cumple 
la variable x
Conjuntos numéricos
• Naturales = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
• Enteros = {... –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}
Cardinal de un conjunto
El cardinal de un conjunto se refiere al 
número de elementos que tiene el conjunto 
que se está analizando.
Al número de elementos que tiene el 
conjunto A, se le simboliza como:
# A o también n(A).
Ejemplos:
• A = {2; 6; 8; 11; 14}
 tiene # A = 5 o n(A) = 5
• B = {3; 6; 3; 3} → B = {3; 6}
 tiene # B = 2 o n(B) = 2
• C = { }
 tiene # C = 0 o n(C) = 0
Relación de pertenencia
La relación de pertenencia se establece 
de elementos a conjunto, exclusivamente 
en ese orden. Esta relación determina si 
un objeto en particular forma parte o no 
del conjunto que se está analizando.
x ∈ A se lee: x es un elemento que 
pertenece al conjunto A.
y ∉ A se lee: y es un elemento que no 
pertenece al conjunto A.
Teoría de conjuntos
4
A B
Relaciones
Relaciones elemento – conjunto
67
67MateMática Delta 1 - aritMética 67
Ejemplo:
Sea A = {5; 4; 6; 3; 1} podemos afirmar lo 
siguiente:
• 6 ∈ A
• 5 ∈ A
• 2 ∉ A
• 1 ∈ A
• {6} ∉ A
Relaciones conjunto – conjunto
Relación de inclusión
Cuando todos los elementos de un 
conjunto A, también forman parte de otro 
conjunto B, entonces afirmamos que el 
conjunto A está incluido en el conjunto B.
A ⊂ B
Se lee:
El conjunto A está incluido en el conjunto 
B.
También: A es subconjunto de B.
También: B contiene al conjunto A.
Ejemplo 1:
Sean los conjuntos:
A = {2; 3; 6; 8; 9}
B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Se afirma que A ⊂ B, puesto que todos los 
elementos de A son también elementos 
de B.
Sea
A = {2; {5}; 3}
entonces
2 ∈ A es verdadero
{5} ∈ A es verdadero
3 ∈ A es verdadero;
pero {5} es un 
conjunto, entonces 
¿cómo queda 
el hecho que la 
pertenencia es una 
relación de elementos 
a conjuntos?
Sucede, pues, 
que {5} tiene un 
comportamiento 
dual, es un conjunto 
unitario y a la vez es 
elemento de A.
Recu e rda
Graficando los conjuntos con el diagrama 
de Venn - Euler, tendremos:
A
• 1
• 4
• 5
• 7
• 10
B
• 2
• 3• 6
• 8
• 9
Polígonos 
regulares
Polígonos
Ejemplos:
Sea el conjunto A = {8; 5; 4} obtengamos 
todos los conjuntos que están incluidos en 
A; es decir, los subconjuntos de A.
1.° Del conjunto A, separamos sus 
elementos de 1 en 1, formando 
conjuntos unitarios.
 {8}, {5}, {4} están incluidos en A.
2.° Del conjunto A, agrupamos los 
elementos de 2 en 2, formando 
conjuntos binarios.
 {8; 5}, {8; 4}, {5; 4} están incluidos en A.
3.° Ahora agrupamos de 3 en 3, 
formando conjuntos ternarios.
 {8; 5; 4}; está incluido en A.
Para este conjunto de 3 elementos aquí 
terminó el proceso. Solo faltaría agregar 
el conjunto vacío (Ø), el cual está incluido 
en cualquier conjunto.
Finalmente, los subconjuntos que tiene
A = {8; 5; 4} son:
Ø, {8}, {5}, {4}, {8; 5}, {8; 4}, {5; 4}, {8; 5; 4}
8 subconjuntos
En la relación de 
inclusión, el conjunto 
vacío (Ø) está 
incluido en cualquier 
conjunto. Es decir; 
 A, Ø ⊂ A
Import a nt e
68
 Relación entre un conjunto A y un 
conjunto potencia
 Para todo conjunto A, su conjunto 
potencia se simboliza con P(A) o 
también como 2A.
 El conjunto potencia de A es también 
otro conjunto cuyos elementos son 
todos los subconjuntos que tiene A. 
Es decir:
P(A) = {B / B ⊂ A}
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {6; 10; 14}, 
determinamos P(A) y #P(A).
1.° Para determinar P(A), citemos 
los subconjuntos que tiene A.
2.° #P(A) = 2#A, sabiendo que #A = 3
 #P(A) = 23 
 #P(A) = 8
8 subconjuntos que tiene A
8 elementos que tiene P(A)
Ø, {6}, {10}, {14}, {6; 10},
{6; 14}, {10; 14}, {6; 10; 14}
 Para calcular el número de elementos 
que tiene el conjunto P(A) se utiliza la 
relación:
# P(A) = 2#A 
 Relación de igualdad
 Un conjunto A es igual que otro 
conjunto B, si y solo si A está incluido 
en B y también B está incluido en A. 
Es decir:
 A = B si y solo si (A ⊂ B y B ⊂ A)
Sean:
A = {1; 3; 7; 5}
B = {(2x + 1) / x ∈ , x < 4}
Si determinamos por extensión 
el conjunto B, veremos que sus 
elementos son los mismos que tiene 
el conjunto A, por ello A = B.
Ejemplo:
Conjuntos especiales
Conjunto unitario
Es aquel conjunto que tiene un solo 
elemento.
Ejemplos:
• A = {3}
• B = {5; 5; 5; 5} ⇒ B = {5}
• C = {x / x ∈ , 2 < x < 4} 
 ⇒ C = {3}
Conjunto vacío
Es aquel conjunto que no tiene elementos 
y se simboliza como { } o también 
como Ø.
Ejemplos:
• A = {x2 / x ∈ , 1 < x < 2} 
• B = {x / x es un número negativo mayor 
que 3} = Ø
• C = {x3 / x ∈ , 3 < x < 4} 
 ⇒ C = Ø
Conjunto universal
Es un conjunto que se toma como referencia 
para analizar a otros conjuntos que están 
incluidos en él. Al conjunto universal lo 
simbolizamos como .
Ejemplos:
Sean:
A = {7; 11; 15; 19}
B = {2; 4; 6; 8; 11}
El conjunto universal para ellos debe ser 
uno que incluya a estos dos, tal como:
 = {0; 1; 2; 3; ...; 20}
Recu e rda
El conjunto potencia 
de A, también es 
llamado conjunto 
de partes y está 
formado por todos los 
subconjuntos de A.
Se denomina 
subconjunto propio 
del conjunto 
A, a aquellos 
subconjuntos que son 
partes propias de A; 
es decir, todos los 
que están incluidos 
en A, diferentes de A.
A = {5; 7}
Los subconjuntos de 
A son , {5}, {7}, A.
P(A) = { ; {5}; {7}; A}
# P(A) = 22 = 4
Los subconjuntos 
propios de A son:
, {5}, {7}.
69MateMática Delta 1 - aritMética
El conjunto {0} es un 
conjunto unitario.
{{1; 2; 3}} es también 
un conjunto unitario.
El conjunto vacío 
es también llamado 
conjunto nulo.
El conjunto vacío se 
denota por el símbolo 
Ø derivado de las 
lenguas danesa y 
noruega.
La elección de un 
conjunto universal 
se hace por 
conveniencia.
Recu e rda
Operaciones entre conjuntos
Cuatro son las operaciones que se pueden 
realizar entre los conjuntos. El resultado 
obtenido luego de realizar cualquiera 
de estas operaciones es también otro 
conjunto. Generalmente, para tener un 
mejor panorama sobre las operaciones 
realizadas entre los conjuntos, se 
recomienda usar los diagramas de Venn 
- Euler.
En este capítulo centraremos nuestroesfuerzo en desarrollar tres de estas 
cuatro operaciones.
Intersección
La intersección entre dos conjuntos A y 
B está formada por los elementos que 
tienen en común, es decir, elementos 
que pertenecen al conjunto A y al mismo 
tiempo también pertenecen al conjunto B.
• Se simboliza como : A ∩ B
• La cual se lee como : conjunto A 
intersecado con el conjunto B.
• Se define como:
 A ∩ B = {x / x ∈ A y x ∈ B}
 A = { , , , }
 B = { , , , }
A ∩ B
• Graficando se tiene:
La región sombreada corresponde 
a la operación 
A ∩ B
A B
Unión
La unión de dos conjuntos A y B está 
formada por los elementos del conjunto A 
junto a todos los elementos del conjunto B.
• Se simboliza: A ∪ B
• Se lee: el conjunto A está unido 
 con el conjunto B.
• Se define como:
 A ∪ B = {x / x ∈ A y/o x ∈ B}
La región sombreada 
corresponde a la operación
• Graficando se tiene:
 A = { , , , }
 B = { , , , }
A ∪ B
A ∪ B
A B
Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos A y B (en 
ese orden) está formada por los elementos 
que forman parte de A, pero que no 
pertenecen al conjunto B.
• Se simboliza: A – B
• Se lee: el conjunto A menos el conjunto B.
70
A B
70
Sean los conjuntos A 
y B, entonces:
• A ∩ B = B ∩ A 
• A ∪ B = B ∪ A
• A – B B – A
Pero, si el conjunto
B = Ø, entonces:
• A ∩ Ø = Ø
• A ∪ Ø = A
• A – Ø = A
• Ø – A = Ø 
¿Sa bía s qu e.. .?
Algunas operaciones 
que se pueden 
realizar entre dos 
conjuntos son:
– Unión
– Intersección
– Diferencia
– Producto cartesiano
Dos conjuntos A y B 
son disjuntos, si la 
intersección entre 
ellos es vacía.
Es decir:
A y B son disjuntos, si 
A B = Ø
Not a
 A = { , , , }
 B = { , , , }
• Se define como:
 A – B = {x / x ∈ A, pero x ∉ B}
A – B B – A
La región sombreada 
corresponde a la operación
• Se grafica como:
A – B
Nota 2
Una diferencia importante es la que se 
obtiene al restar el conjunto A del conjunto 
universal. Esta diferencia « – A» se 
denomina complemento del conjunto A.
• El complemento del conjunto A se 
simboliza como: A#, A' o también como 
AC.
• Se define como: AC = – A
• Se grafica como:
Notas acerca de la diferencia entre 
dos conjuntos
Nota 1
Así como hemos definido la diferencia 
A – B, también podemos definir B – A el 
cual expresaremos como:
B – A = {x / x ∈ B, pero x ∉ A}
Su gráfico es:
A B
La región sombreada corresponde al 
complemento de A. 
A
AC
Nota 3
El conjunto (A – B) ∪ (B – A) = A ∆ B es 
conocido como la diferencia simétrica.
Siendo su gráfico:
La región sombreada corresponde a 
A B
 A = { , , , }
 B = { , , , } 
A ∆ B
A ∆ B
71MateMática Delta 1 - aritMética 71
Nota 4
Dos conjuntos A y B son complementarios 
cuando uno de ellos es el complemento 
del otro y viceversa.
A y B son complementarios si y solo si 
A = BC o B = AC cumpliéndose que:
• A ∪ B = 
• A ∩ B = Ø
Nota 5
Identifiquemos algunas regiones, 
la operación correspondiente y sus 
elementos en:
• A = {m, x, a, y}
• Solo A = {m}
• A y B = A ∩ B = {y, a}
• Solo A y B = {y}
• B o C = B ∪ C = {y, n, a, z, x, p}
• A y B y C = A ∩ B ∩ C = {a}
A B
C
• m • n
• p
• y
• a
• x • z
• Elementos que tienen solo una 
característica = {m, n, p}
• Elementos que tienen solo dos 
características = {x, y, z}
• Elementos que tienen las tres 
características = {a}
• Además:
AcU A
# (A ∩ B) = 7
6 7 8
BA
A ∩ B 
tiene 7 elementos
Obse rva ción
Ejemplo:
En una feria gastronómica, existen 
3 platos favoritos que desean ser 
probados por 65 personas. Algunas 
prueban arroz con mariscos, 31 prueban 
tacacho con cecina, y 36, olluquito con 
charqui. 26 prueban dos de los 3 platos, 
6 de los 3 platos; 13 arroz con mariscos 
y tacacho; y 16 tacacho con cecina y 
olluquito con charqui. 
¿Cuántas personas prueban solo un 
plato? 
 
¿Cuántos prueban arroz con mariscos? 
 
¿Cuántos prueban solo tacacho con 
cecina? 
 
¿Cuántos prueban arroz con mariscos y 
olluquito con charqui? 
 
¿Cuántos prueban solo arroz con 
mariscos y tacacho con cecina? 
 
14 + 8 + 11 = 33 personas
14 + 7 + 6 + 9 = 36 personas
8 personas
9 + 6 = 15 personas
 7 personas
Completando convenientemente
Arroz con 
mariscos
(36)
Tacacho con 
cecina (31)
Olluquito con charqui
(36)
14 8
11
9
10
7
6
U = 65
72
Cuadro de doble entrada
Es un diagrama que permite visualizar en forma rápida datos que se cruzan. Estos datos 
se organizan en dos ejes, uno vertical y otro horizontal.
El cuadro de doble entrada es una matriz que define un conjunto por filas y otro, por 
columnas. La intersección de una columna y una fila determina con precisión el atributo o 
cualidad que cumplen los elementos.
Estos cuadros permiten registrar información de un texto de manera tal que podamos 
comparar conjuntos de elementos, ya sea por sus semejanzas o por sus diferencias. 
Su objetivo es agrupar conceptos por temas, ordenándolos y agrupándolos para lograr 
claridad en el aprendizaje.
Ejemplo:
Dos conjuntos A y B 
son complementarios 
si:
AC = B y BC = A,
razón por la cual
A ∪ B = 
A ∩ B = Ø
Primos No primos
pares 2
3; 5; 7; 11; 13; 
17; 19; 23; ...
1; 9; 15; 21; 25; 27; 
33; 35; ...
4; 6; 8; 10; 12; 14; ...
no pares
El diagrama de Carroll es un diagrama que utiliza los cuadros de doble entrada para 
agrupar conjuntos que son complementarios. Los elementos (que pueden ser números) 
se categorizan como x (teniendo una cualidad x) o no x (no teniendo este atributo).
Son llamados así en alusión a Lewis Carroll, el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, 
el famoso autor de Alicia en el país de las maravillas quien también era matemático.
Ejemplo:
Como observamos, el conjunto de las personas que cantan y los que no cantan son 
complementarios, del mismo modo el conjunto de los hombres y de las mujeres también 
son complementarios.
Hombres Mujeres Total
cantan 23
37
60
57
33
90
80
70
150
no cantan
Total
¡No o lv id e s 
qu e.. .!
Nota
La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles determina competir en una carrera contra una tortuga. Ya que 
corre más rápido que ella, decide darle una gran ventaja inicial.
Al darse la salida, Aquiles recorre, en poco tiempo, el espacio que los 
separaba inicialmente, pero al llegar allá, la tortuga ya no está porque ha 
avanzado un pequeño trecho. Sin desanimarse sigue corriendo pero al 
llegar de nuevo donde estaba la tortuga esta ha avanzado un poco más. 
De este modo, Aquiles no ganará la carrera ya que la tortuga estará 
siempre por delante de él.
Número primo es 
aquel que solo es 
divisible por sí mismo 
y por la unidad.
Recu e rda
73MateMática Delta 1 - aritMética
Sean los conjuntos A, B y C tales que:
A = {2x / x ∈ , x < 5}
B = {(x + 3) / x ∈ , –3 ≤ x < 6}
C = {(x2 + 1) / x ∈ , –3 < x ≤ 2}
Determina la relación de inclusión que existe entre estos conjuntos.
Resolución:
1.° Determinamos los conjuntos A, B y C por extensión.
A = {2x}
A = {0; 2; 4; 6; 8}
x 0 1 2 3 4
0 2 4 6 82x
C = {x2 + 1}
C = {1; 2; 5}
x –2 –1 0 1 2
5 2 1 2 5x2 + 1
B = {x + 3}
B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8x + 3
2
Sea el conjunto A, determinado de la forma que se presenta; calcula la suma de 
los elementos que tiene, si:
A = {(x2 + 3) / x ∈ , 2 < x < 7}
Resolución:
1.° La expresión algebraica (x2 + 3) es la característica común que tienen todos los 
elementos del conjunto A. Por eso escribiremos:
 A = {x2 + 3}
2.° Ahora, utilizamos las condiciones: x ∈ , 2 < x < 7; esto quiere decir que:
 x = 3; 4; 5; 6
3.° Uno a uno los valores que toma la variable «x» serán reemplazados en la 
expresión (x2 + 3) y así obtener los elementos del conjunto A. Por ejemplo, si 
x = 3, reemplazando (32 + 3) = 12 tendremos que un elemento del conjunto A 
es 12.
 Resumiendo tenemos:
Sumando los elementos del conjunto 
A obtendremos:
12 + 19 + 28 + 39 = 98
Rpta. La suma de los elementos del conjunto A es 98.
A = {x2 + 3}
A = {12; 19; 28; 39}x = 3 4 5 6
12 19 28 39x2 + 3 =
1
Calcular los elementos 
de algunos conjuntos 
determinados 
por comprensión, 
implica hallar el 
valor numérico de la 
expresión algebraica 
que caracteriza a los 
elementos.
{(x2 + 3) / x ∈ , 2 < x < 7}
x = 3, entonces
32 + 3 = 12
x = 4, entonces
42 + 3 = 19
x = 5, entonces
52 + 3 = 28
x = 6, entonces
62 + 3 = 39
El conjunto es
{12; 19; 28; 39}
En matemática, el 
símbolo «/» se lee tal 
que.
Recu e rda
Ejercicios resueltos
74
El número cardinal 
indica la cantidad 
de elementos de un 
conjunto.
Se simboliza mediante:
A, n(A), Card (A) 
o #A.
Import a nt e
Los 200 estudiantes del primer grado rindieron exámenes de Matemática y 
Comunicación. Luego de las calificaciones se observó que 120 aprobaron 
Matemática, 130 aprobaron Comunicación, y los que desaprobaron ambos 
cursos son la tercera parte de los que aprobaron ambos cursos. Calcula cuántos 
estudiantes aprobaron solo Matemática.
Resolución:
Utilizamos el diagrama de Venn - Euler para visualizar y registrar los datos.
1.° Identificamos los conjuntos a graficar, dándoles un nombre.
 M será el conjunto de los estudiantes que aprobaron Matemática.
 C será el conjunto de los estudiantes que aprobaron Comunicación.
2.° Graficamos, a medida que vamos registrando los datos y llenando los sectores 
que genera la construcción.
3
2.° Por definición de inclusión, si todos los elementos de un conjunto forman parte 
de otro, entonces entre estos dos conjuntos hay relación de inclusión.
 Se concluye que: A ⊂ B y C ⊂ B
Para el conjunto A = {(3 – x) / x ∈ , –4 < x < 3}, calcula cuántos subconjuntos 
tiene A.
Resolución:
1.° Calculamos los elementos que tiene A.
2.° Como #A = 6, entonces #P(A) = 26
 #P(A) = 64
Rpta. El conjunto A tiene 64 subconjuntos.
Rpta. A ⊂ B y C ⊂ B.
A = {3 – x}
B = {6; 5; 4; 3; 2; 1}
x –3 –2 –1 0 1 2
6 5 4 3 2 13 – x 
4
• # = 200
• #M = 120
• #C = 130
• Desaprobaron M y C : x
• Aprobaron M y C : 3x
Ahora, utilizamos # = 200, esto es:
Rpta. 45 estudiantes aprobaron solo Matemática.
Aprueban solo Matemática = 120 – 3x
 = 120 – 3(25)
 = 45
M C
x
120 – 3x 130 – 3x3x
120 + 130 – 3x + 3x – 3x + x = 200
 250 – 2x = 200
 50 = 2x (transponiendo términos)
 25 = x (dividiendo entre 2 a cada lado)
75MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta. El valor de a2 + b2 es 106.
Finalmente: a2 + b2 = 92 + 52
 = 81 + 25
 = 106
Resolución:
• Dado que A = {2 × a – 5; 13} es unitario ⇒ A = {13; 13}
 Entonces: 2 × a – 5 = 13, siendo a = 9
• También B = {6 – 4 × b; –14} es unitario ⇒ B = {–14; –14}
 Entonces: 6 – 4 × b = –14, siendo b = 5
Si los conjuntos A y B son unitarios, calcula el valor de (a2 + b2) sabiendo que:
A = {2a – 5; 13}
B = {6 – 4b; –14}
5
Rpta. Del gráfico final observamos que 18 son mujeres casadas y 7 son hombres 
solteros.
Hombres Mujeres Total
Casados 12 30 – 12
15
30
52 – 30
52
Solteros
Total
Hombres Mujeres Total
Casados 12
7
22 – 15
12 + 7 18 + 15
19
18
15
33
30
22
52
Solteros
Total
Gráfico inicial Gráfico final
2.° Graficamos y registramos los datos.
6 En una reunión donde asisten 52 personas entre hombres y mujeres, se sabe que: 
30 personas son casadas, 15 mujeres son solteras y 12 hombres son casados. 
¿Cuántas mujeres son casadas?, ¿cuántos hombres son solteros?
Resolución:
1.° Identificamos los conjuntos complementarios:
 H conjunto de los hombres.
 M conjunto de las mujeres.
 C conjunto de las personas casadas.
 S conjunto de las personas solteras.
Son complementarios
Son complementarios
76
• Sumando los elementos del conjunto A tendremos: (–57) + (–2) + 3 + (–42) = –98
• Evaluamos el conjunto S.
• Ahora, determinamos los elementos de A.
5x + 12
x = –4 5(–4) + 12 = –8
x = –3 5(–3) + 12 = –3
x = –2 5(–2) + 12 = 2
x = –1 5(–1) + 12 = 7
S = {–8; –3; 2; 7}
7 – x2
x = –8 7 – (–8)2 = –57
x = –3 7 – (–3)2 = –2
x = 2 7 – (2)2 = 3
x = 7 7 – (7)2 = –42
A = {–57; –2; 3; –42}
Observa la condición de la variable en el conjunto A: «x ∈ S», esto quiere decir que 
los valores de x son los elementos del conjunto S. Por lo tanto, debemos determinar 
los elementos del conjunto S.
x ∈ S
S = {–8; –3; 2; 7}
Resolución:
Resolución:
Determina la suma de los elementos del conjunto A, sabiendo que:
S = {(5x + 12) / x ∈ ∧ –4 ≤ x < 0}
A = {(7 – x2) / x ∈ S}
Si el conjunto A es unitario, calcula el valor de b3 – a2, sabiendo que:
A = {7a – 3; 32; 9b + 5}.
7
8
Rpta. La suma de los elementos del conjunto A es –98.
Rpta. El valor de b3 – a2 es 2.
Dado que A es unitario, debe tener un solo elemento, por lo tanto:
Ahora, calculamos b3 – a2 = 33 – 52 = 2
7a – 3 = 32 = 9b + 5 ⇒ 7a – 3 = 32 ⇒ a = 5
9b + 5 = 32 ⇒ b = 3
77MateMática Delta 1 - aritMética
Resolución:
Un club deportivo ofrece clases de natación, 
karate y otras disciplinas como talleres 
de verano. Al final de las inscripciones se 
observó que 32 personas se inscribieron 
en natación; los que se inscribieron solo en 
karate son el triple de los que se inscribieron 
solo en natación, y 21 se inscribieron en otras 
disciplinas. Calcula cuántos se inscribieron 
en ambas disciplinas, si el total de inscritos 
para el taller de verano es de 95.
9
Resolución:
Una clínica atiende solo a cuyes y hámsteres. De los hámsteres internados, 80 % actúan 
como hámsteres y 20 % actúan como cuyes; de los cuyes internados, 80 % actúan como 
cuyes y 20 % actúan como hámsteres. Se observó que 30 % de todos los animales 
internados en esa clínica actúan como hámsteres. Si hay 30 hámsteres internados, halla 
el número de cuyes internados.
10
Rpta. 18 personas se inscribieron en ambas disciplinas.
Rpta. El número de cuyes internados es 150.
1.° Los conjuntos que participan son:
 • N: inscritos en natación.
 • K: inscritos en karate.
2.° Sabemos que # = 95
 ⇒ x + 32 – x + 3x + 21 = 95
 3x + 53 = 95
 x = 14
3.° Se inscribieron en N y K: 32 – 14 = 18
# N = 32
# = 95
N
x 3x32 – x
21
K
Los conjuntos complementarios son:
• Conjunto de cuyes y hámsteres.
• Conjunto de animales que actúan como cuyes y los que actúan como hámsteres.
1.° Preparamos un cuadro de doble entrada con los conjuntos complementarios.
Cuyes Hámsteres Total
actúan como cuyes 80 % (x) 20 % (30)
actúan como 
hámsteres 20 % (x) 80 % (30)
Total x 30 x + 30
2.° El 30 % de los animales internados actúan como hámsteres:
 30 % (x + 30) = 20 % (x) + 80 % (30) 
 3(x + 30) = 2x + 8(30) ⇒ x = 150
78
Resolución:
En un colegio, cierta cantidad de estudiantes han 
rendido tres exámenes; de ellos 30 aprobaron el 
examen de Matemática, 45 aprobaron el examen 
de Comunicación, 41 aprobaron el examen 
de Historia, 5 aprobaron los tres exámenes, 
10 aprobaron el examen de Matemática y 
Comunicación pero no el de Historia, 15 no 
aprobaron ni Matemática ni Comunicación pero 
sí Historia, y 3 no aprobaron examen alguno. 
Si el número de estudiantes que aprobaron 
solo Matemática e Historia es el doble de los 
que aprobaron solo Comunicación e Historia, 
¿cuántos estudiantes aprobaron un solo examen?
11
1.° Los conjuntos que participan son:
 • «M»: aprobaron Matemática.
 • «C»: aprobaron Comunicación.
 • «H»: aprobaron Historia.
2.° Sabemos que 
 # H = 41 ⇒ 2x + 5 + x + 15 = 41
 x = 7
3.° Ahora los que aprobaron un solo examen son:
 a + b + 15 = 1 + 23 + 15 = 39
 # M = 30 ⇒ a + 10 + 5 + 2x = 30
 14
 a = 1
 # C = 45 ⇒ 10 + b + 5 + x = 45
 7
 b = 23
• # M = 30
• # C = 45
• # H = 41
M C
H
a b
15
10
5
2x x
• # (M ∩ C ∩ H) = 5
• # (M y C pero no H) = 10
• # (ni M ni C pero si H) = 15
• # (solo M y H) = 2 # (solo C y H)
x
Rpta. 39 estudiantes aprobaron un solo examen.
3
79MateMática Delta 1 - aritMética
2 Si los conjuntosA y B son iguales, calcula el valor 
de a3 + b2 sabiendo que: 
A = {7a + 6; 2} , B = {26 – 3b; 41}.
Resolución:
1 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de a2 + b3 sabiendo que: 
A = {12a – 7; –2} 
B = {28 – 5b; 53}.
Resolución:
Rpta.Rpta.
Conjuntos La palabra «conjunto» indica una colección de objetos reales o 
abstractos que están bien definidos y que se llaman elementos.
Determinación Relación de pertenencia
Relaciones
Conjunto - Conjunto
Conjunto potencia
Conjuntos especiales
Operaciones entre conjuntos
Cardinal
Por extensión 
Cuando sus elementos están 
escritos uno a uno.
Ejemplo: 
B = {2; 3; 4; 5; 6; ...}
Por comprensión 
Cuando se define la o las 
características que poseen los 
elementos del conjunto.
Ejemplo: 
T = {2x – 1 / x ∈ ; 5 < x < 9}
Número de elementos del 
conjunto. 
Ejemplo: Sea M = {8; 6; 8; 8}
# M = n(M) = 2
Entre un elemento y 
un conjunto.
• Unitario
• Vacío
• Universal
Unión
A B
A – B
A B
A B
Intersección
Diferencia
Diferencia 
simétrica
Complemento
Inclusión
Ejemplo:
A = {2; 3; 6; 8; 9}
B = {3; 6; 8}
Entonces: B ⊂ A
Conjuntos iguales
A = {5; 8; 3}
B = {8; 5; 3}
Entonces A = B
Formado por todos los 
subconjuntos.
Ejemplo: A = {2; 3}
P(A) = {∅; {2}; {3}; {2; 3}}
n[P(A)] = 2n = 22 = 4
A B
B
B
B
A
A
A
A
Síntesis
Modela y resuelve 
80
43 Para el conjunto B, halla la suma de los elementos 
que son impares, sabiendo que:
B = {(3x + 1) / x ∈ , 1 < x ≤ 6}.
Resolución:
Para el conjunto A, halla la suma de sus elementos, 
sabiendo que:
A = {(5x – 3) / x ∈ , –4 < x ≤ 2}.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
5 6Para el conjunto C, halla la suma de sus 
elementos, sabiendo que:
C = {(3x2 + 5) / x ∈ ∧ –3 < 4x + 7 < 17}.
Resolución:
Para el conjunto C, halla la suma de sus elementos, 
sabiendo que:
C = {(5x2 – 3) / x ∈ ∧ –3 ≤ 3x – 5 ≤ 7}.
Resolución:
81MateMática Delta 1 - aritMética
7 8Determina la suma de los elementos del conjunto 
A, sabiendo que:
M = {(3x2 + 4) / x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3}
A = {(x2 – 1) / x ∈ M}
Resolución:
Determina la suma de los elementos del conjunto 
B, sabiendo que:
G = {(x2 – 3) / x ∈ ∧ –3 ≤ x < 2}
B = {(x2 – 3) / x ∈ G}
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
9 10Sean A y B conjuntos unitarios, tales que:
A = {a + b; 12}
B = {3a – 2b; 11}
Calcula el valor de a + b2.
Resolución:
Sean A y B conjuntos unitarios, tales que:
A = {a – b; 11}
B = {2a + 3b; 57}
Calcula el valor de a – b2.
Resolución:
82
11 12Sea M un conjunto unitario, tal que:
M = {8a – 9; 3a + 2b; 47}; además,
T = {(b – a); (3a – b); 5; 6}
Halla la suma de los elementos del conjunto T.
Resolución:
Sea R un conjunto unitario, tal que:
R = {4a – 1; 3b – 2; 7}; además,
S = {(b + a); ab; 4a – b; 5; 6}
Halla la suma de los elementos del conjunto S.
Resolución:
1413 En un avión viaja cierta cantidad de personas de 
las cuales se sabe que los que toman limonada y 
los que toman gaseosa son el doble y séxtuple de 
los que no toman estas bebidas, respectivamente. 
Si 23 personas toman ambas bebidas, ¿cuántas 
personas solo toman limonada, si viajan 
148 personas?
Resolución:
En un avión viaja cierta cantidad de personas 
de las cuales se sabe que los que beben licor 
y los que fuman son el triple y quíntuplo de los 
que no tienen estos vicios, respectivamente. 
Si 18 personas fuman y beben licor, ¿cuántas 
personas no fuman ni beben licor, si viajan 
126 personas?
Resolución:
2318
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
83MateMática Delta 1 - aritMética
15 16
17 18
De un grupo de 84 personas; a 53 les gusta el 
helado de chocolate y a 47 les gusta el helado de 
vainilla. Si los que gustan de los dos sabores es 
el triple de los que no prefieren alguno de estos 
sabores, halla a cuántas personas les gusta 
helado de un solo sabor.
Resolución:
De un grupo de 179 personas; a 58 les gusta pan 
con mantequilla y a 63 les gusta pan con queso. 
Si los que gustan del pan de los dos sabores 
es la tercera parte de los que no prefieren pan 
con alguno de estos productos, halla a cuántas 
personas les gusta solo pan con queso.
Resolución:
De cierta cantidad de personas, 96 hablan inglés 
y 118 hablan francés. Si los que hablan solo inglés 
son los 4/5 de los que hablan solo francés y, los 
que no hablan estos idiomas son 24 menos de 
los que hablan solo inglés, determina cuántas 
personas son en total.
Resolución:
De cierta cantidad de personas, 76 hablan chino 
y 93 hablan inglés. Si los que hablan solo chino 
son los 3/4 de los que hablan solo inglés y, los que 
no hablan estos idiomas son 15 menos de los que 
hablan solo chino, determina cuántas personas 
son en total.
Resolución:
3x x
96 – 4x 76 – 3x
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
84
19 20En un instituto superior están matriculados 
154 estudiantes. Como parte de la formación, 
los estudiantes pueden elegir hasta tres talleres 
extracurriculares. El taller de canto y baile tiene 
19 estudiantes, el de baile y teatro tiene 15 y 
los de canto y teatro tienen 23 estudiantes. Los 
que eligieron solo baile son el doble de los que 
eligieron solo canto, mientras que los que eligieron 
solo teatro son el triple de los que eligieron solo 
baile. Si 12 estudiantes están inscritos en los tres 
talleres y 13 no eligieron participar de estos tres 
talleres, ¿cuántos estudiantes eligieron el taller de 
teatro?
Resolución:
En un colegio emblemático están matriculados 
297 estudiantes. Como parte de la formación, 
los estudiantes pueden elegir hasta tres talleres 
extracurriculares. El taller de danza y baile tiene 
23 estudiantes, el de baile y teatro tiene 18 y 
los de danza y teatro tienen 27 estudiantes. Los 
estudiantes que eligieron solo baile son el triple 
de los que eligieron solo danza, mientras que los 
que eligieron solo teatro son el cuádruple de los 
que eligieron solo baile. Si 13 estudiantes están 
inscritos en los tres talleres, y 15 no eligieron 
alguno de estos tres talleres, ¿cuántos estudiantes 
eligieron el taller de danza?
Resolución:
7
19 – 12
23 – 12 15 – 12
1211 3
10
23 – 13
27 – 13 18 – 13
1314 5
Rpta.Rpta.
85MateMática Delta 1 - aritMética
12x
 Calcula la suma de los elementos del conjunto R, 
sabiendo que:
 Encuentra la suma de los elementos del conjunto 
A, sabiendo que:
R = {(4x2 + 3) / x , –5 < x < 4}.
A = {7b – 4a; 37}
B = {6a + 5b; 53}
A = {a3 – b ; 3b + a2 – 4 ; a2 + 35}
B = {c + 2a ; a + b}
A = {a3 + b ; 24}
B = {3a + b ; 134}
A = {(x – x3) / x ; –5 < x < 3}.
 Si los conjuntos A y B son unitarios, determina el 
valor de (b2 – a2) sabiendo que:
 Si los conjuntos A y B son unitarios, halla el valor 
de (b2 – a × c) sabiendo que:
 Si los conjuntos A y B son iguales, encuentra 
(a2 + b2) sabiendo que:
1
2
4
3
5
 Se hizo una encuesta a 75 personas sobre 
preferencias respecto a dos revistas A y B. Se 
observa que los que leen las dos revistas son 
el doble de los que leen solo A, el triple de los 
que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen 
ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas 
leen la revista A? 
6
A 133 B 29 C –36
D 205 E –52
A –56 B 106 C 56
D 45 E 119
A 54 B 30 C 45
D 36 E 48
A 85 B 117 C 56
D 40 E 96
A 195 B 135 C 143
D 120 E 157
A 90 B 91 C 87
D 84 E 81
Practica y demuestra
Nivel I
86
20%
33 – x
 Carlos sigue una dieta rigurosa, debe almorzar 
pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo del 
día, durante los meses de marzo y abril. Si en su 
almuerzo durante 33 días hubo pollo y el número 
de días que almorzó solo pescado es el cuádruple 
de los días que almorzó solo pollo, halla el número 
de días que almorzó pollo y pescado.
8
 De los residentes de un edificio se ha observado 
que 34 de ellos trabajan y 56 son mujeres. De las 
mujeres: 12 estudian pero no trabajan, y el número 
de las que estudian y trabajan son la tercera parte 
de las que solo trabajan pero es la mitad del 
número de hombres que trabajan y estudian. De 
los varones, 9, o bien trabajan o bien estudian y 
21 no trabajan ni estudian.¿Cuántas mujeres no 
estudian ni trabajan?
 De 60 personas se sabe que: 6 hombres 
tienen 20 años; 18 hombres no tienen 21 años; 
22 hombres no tienen 20 años; tantas mujeres 
tienen 20 años como hombres tienen 21 años. 
¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?
9
10
 Calcula la suma de los elementos del conjunto A, 
sabiendo que:
 A = {(3x2 + 4) / x , –4 < x < 5}
11
 Determina la suma de los elementos del conjunto 
B, sabiendo que:
 B = {(x3 – 2) / x ; –3 ≤ x < 4}
12
A 106 B 94 C 103
D 110 E 58
A +14 B –14 C +15
D –15 E –45
A 28 B 26 C 25
D 24 E 23
A 18 B 20 C 28
D 26 E 24
A 18 B 20 C 22
D 24 E 28
 En una ciudad el 60 % de los habitantes comen 
pescado, el 50 % comen carne, el 40 % de los 
que comen carne también comen pescado. ¿Qué 
porcentaje de los habitantes no comen pescado ni 
carne? 
7
A 15 % B 23 % C 20 %
D 10 % E 30 %
Nivel II
87MateMática Delta 1 - aritMética
 Encuentra la suma de los elementos del conjunto 
P, sabiendo que:
 P = {(7x – 3) / x ∈ , –4 < x < 5}.
 Halla la suma de los elementos del conjunto Q, 
sabiendo que:
 Q = {(x2 – x) / x ∈ ; –5 < x < 4}.
 Calcula la suma de los elementos del conjunto R, 
sabiendo que:
 R = {(9x – x2) / x ∈ ; –3 < x < 5}.
13
14
15
A 4 B 5 C 1
D 3 E 7
A 12 B 16 C 20
D 24 E 40
A 60 B 28 C 92
D 50 E 36
 Si los conjuntos A y B son unitarios, determina el 
valor de (a2 + b), sabiendo que:
 A = {4a – b ; 24}
 B = {3b + a ; 19}
Si los conjuntos A y B son unitarios, halla la suma 
de los elementos del conjunto C, sabiendo que:
A = {b + 36; a2 + 5c; 7b + 6}
B = {b2 – a; 19}
C = {a – b; a × b; c + b; a – c – b}
17
16
A 23 B 57 C 53
D 31 E 41
A 44 B 31 C 37
D 46 E 42
 Si los conjuntos A y B son iguales, encuentra 
el valor de (a3 + b2), sabiendo que:
A = {b – 5a ; 31}
B = {5b – 4a ; 23}
18
A –55 B +43 C +73
D –13 E –48
1
2
1 2
88
 En un grupo de 127 estudiantes, 68 no llevan el 
curso de Análisis matemático I y 73 no siguen el 
curso de Geometría descriptiva. Si el número de 
alumnos que no siguen Geometría descriptiva 
ni Análisis matemático I es el doble de los que 
llevan ambos cursos, ¿cuántos alumnos llevan 
exactamente uno de tales cursos?
19
 Sobre una población de 113 personas se determinó 
que los que van solamente al cine son el doble de 
los que van únicamente al teatro y los que van a 
ambos lugares son la sexta parte de los que van a 
un solo lugar. Si ocho personas no van al cine ni al 
teatro, ¿cuántas personas van al teatro?
20
 Una institución educativa necesita contratar a 
66 profesores para enseñar Física y/o Matemática. 
Se espera que los que realicen funciones tanto de 
profesor de Física como de profesor de Matemática 
sean el doble de los que enseñen solo Física pero 
el triple de los que enseñen solo Matemática. 
¿Cuántos profesores enseñan solo Física? 
21
 A una prueba de ingreso a la universidad se 
presentaron 104 postulantes, observándose que: 
los que aprobaron solo Física es el doble de los 
que aprobaron solo Matemática aumentado en 8, 
y los que aprobaron ambos cursos es la mitad de 
los que aprobaron un solo curso. Si 68 postulantes 
aprobaron Física, ¿cuántos no aprobaron ninguno 
de los exámenes mencionados? 
22
 En una encuesta realizada a 190 personas sobre la 
preferencia de leer las revistas A y B, el resultado 
fue el siguiente: el número de personas que les 
gusta A y B es 1/4 de los hombres que solo le gusta 
A y la mitad de las mujeres que solo les gusta A. El 
número de hombres que solo les gusta B es 2/3 
del número de mujeres que solo les gusta B. Los 
que leen A son 105, los que leen B son 70. Halla el 
número de personas que no leen ni A ni B.
23
 Se encuestó a 143 padres de alumnos sobre 
los deportes que practicaban, obteniéndose los 
siguientes resultados: los que practican fútbol y 
natación son la sexta parte de los que practican 
natación, pero la tercera parte de los que no 
practican estos deportes. Si los que practican solo 
fútbol son el quíntuple de los que practican ambos 
deportes aumentado en 17, ¿cuántos padres no 
practican natación?
24
A 45 B 90 C 60
D 105 E 75
A 83 B 85 C 89
D 99 E 113
A 30 B 32 C 36
D 38 E 40
A 62 B 69 C 72
D 83 E 89
A 12 B 15 C 18
D 24 E 30
A 18 B 24 C 22
D 20 E 28
x
3x + 4
x
6x
x
x
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
89MateMática Delta 1 - aritMética
5 Después de subir 6 pisos el ascensor de un 
edificio llega al piso 5. ¿De qué planta ha salido?
4 Halla el valor de M, sabiendo que:
M = I + T – O
Además:
I = 3 – 1 + 5 + 6 – 9 – 7 + 10 
T = –5 – 6 + 9 + 2 – 11 + 3 – 5 
O = (–8) – (–4) + (–6) – (+2) – ( –9) 
Se escucha la conversación entre dos ciudadanos 
romanos:
—Dionisio y Virgilio fueron grandes oradores 
y formaron su propia escuela; sin embargo, 
vivieron en épocas diferentes y ambos murieron 
por la espada de sus detractores.
—Lo sé. Dionisio nació en el año 112 a. C. y vivió 
74 años.
—Tienes razón, pero Virgilio nació 49 años 
después de la muerte de Dionisio y vivió 53 años. 
Determina en qué año murió Virgilio.
1
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
A B
DC
He comprado un refrigerador que al empezarlo 
a usar estaba a 19 °C y luego de 3 horas estaba 
a 8 °C bajo cero. Calcula cuántos grados bajó 
cada hora.
2
C D
¿Cuántos años pasan desde el año 36 a. C. 
hasta el año 36 d. C.?
3
A
C
B
D
A B
DC
Completa con números enteros lo que falta en 
cada casillero.
6
(a) (–8) × (+35) =
(b) (+15) × = –180
(c) (–196) ÷ = +7
(d) (–86) – (–39) =
(e) + (–35) = –57
(f) (+15) – = –32
(g) ÷ (–2) = +86
(h) (–16) × = +176
BA
 
Piso 2 Piso 1
61 d.C.
–6 °C
37
Sótano 1 Sótano 2
63 d.C.
–8 °C
72
64 d.C.
–9 °C
–72
A
C D
B–3
–13 –20
7
62 a.C.
–7 °C
71
90
Determina la suma de los elementos del conjunto 
M, sabiendo que:
En un avión hay 92 personas, de las cuales 
beben el triple de los que fuman y beben, 20 solo 
fuman, los que no tienen estos vicios son 7 más 
de los que solo beben. ¿Cuántas personas hay 
que ni fuman ni beben?
De un grupo de estudiantes que piensan 
presentarse al examen de admisión de una 
universidad se sabe que 1
3
 se presentará a 
Medicina, 7
12
 se presentará a Psicología y 1
8
 
se presentará a ambas carreras. Si el resto, 
que son 15 estudiantes, aún no decide a qué 
carrera presentarse, calcula el número total de 
estudiantes que se presentarán al examen de 
admisión.
En una peña criolla trabajan 62 artistas. De 
estos, 13 solo cantan, los que cantan y bailan 
son el triple de los que solo bailan. Si los que 
no cantan ni bailan son el doble de los que solo 
bailan disminuido en 5, calcula el número de 
artistas que no cantan ni bailan.
Calcula la suma de los elementos del conjunto D, 
sabiendo que:
Halla la suma de los elementos del conjunto N, 
sabiendo que:
7 10
11
12
9
8
A
C
B
D
A
A
A
C
C
C
B
B
B
D
D
D A
C
B
D
A
C
B
D
M = {(8x – 5) / x ; –6 < x < 4}
D = {(x2 + x) / x ; –4 < x < 4}
N = {(x2 – 8x) / x ; –4 < x < 4}
 
 
 
+183
–34
20 15
84
30
–117
–54
28 13
63
33
–103
+28
26 12
90
36
+117
–62
18 14
72
32
Tema
91MateMática Delta 1 - aritMética 91
Los números fraccionarios surgen por la necesidad de expresar una división de los 
números enteros no exacta.
Veamos en el caso de dividir 4 quesos.
• Si los 4 quesos se dividían entre 1 persona, se tenía gráficamente lo siguiente. 
Ejemplos:
La fracción o número quebrado
Desde el tiempo de los egipcios, incluso en las notaciones árabes, la fracción se ha 
usado como un problema de reparto. Este reparto entonces se hacía sobre cosas 
concretas, aún hoy se usa la fracción como originalmente se había concebido. El 
nombre de fracción se lo debemos a Juan de Luna, que tradujo al latín, en el siglo XII, 
el libro de Aritmética de Al-Juarizmi. Él empleó la palabra fractio para traducir la palabra 
árabe «al-Kasr», que significa quebrar, romper.Ejemplos:
Número fraccionario
En Matemática, un número fraccionario es una división indicada de un número entero 
entre otro número entero, siempre y cuando esta división no resulte exacta y el 
denominador sea diferente de cero.
1 uno un cuarto
cinco cuartos
1
5
; 2
9
; 25
8
; 60
9
20
4
; 15
5
; 40
10
 son 
ejemplos de 
números que no 
son considerados 
fracciones debido que 
al dividir los términos 
se obtienen números 
enteros como 5; 3 
y 4.
6
1 ; 
4
1 ; 
20
1 tampoco 
son fracciones.
Recu e rda
Fracciones
5
1
4
5
4
 1 =
 2 =
 4 =
Simbólicamente: 4 1 = 4 Es un número entero.
Lo que le toca a cada parte
indica las partes en que se divide o reparte
• Si los 4 quesos se dividían entre 2 personas, se tenía gráficamente lo siguiente:
• Si los 4 quesos se dividían entre 4 personas, se tenía gráficamente lo siguiente:
Simbólicamente: 4 2 = 2 Es un número entero.
Simbólicamente: 4 4 = 1 Es un número entero.
Cuando la división o reparto no tenía como resultado un número entero, dio lugar a la 
aparición del número fraccionario. En el ejemplo de repartir los 4 quesos se presentaban 
dos casos:
3
4
; 15
9
; –28
13
; 15
–4
92
El sufijo -avos es 
usado muchas veces 
de modo equivocado. 
Por ejemplo, en una 
competencia, cuando 
un competidor llega 
en el puesto n.o 12, 
suele decirse 
erróneamente 
que este llegó en 
el doceavo lugar, 
cuando lo correcto 
es decir que llegó 
en el lugar décimo 
segundo.
¿Sa bía s qu e.. .?
1. Cuando la cantidad a repartir era menor que las partes en que se repartía. Así 
teníamos en el ejemplo de repartir los 4 quesos entre 8 personas. Se presentaban las 
siguientes situaciones.
 a) Que cada queso se parta en 2 partes iguales, entonces se podía repartir 
gráficamente.
 b) Que cada queso se parta en 4 partes iguales para poder repartir.
 Gráficamente:
 c) Que cada queso se parta en 8 partes iguales, para así poder repartir.
 Así aparece la expresión cuartos y la división se expresaría simbólicamente de 
esta manera.
 El 2 indica las partes que se toman o que le corresponde a cada persona.
 El 4 indica las partes en que se ha dividido cada unidad.
Así aparece simbólicamente la expresión «mitad» o «un medio» que había de 
expresarse simbólicamente así:
Así aparece la expresión «octavos». Esta división daría como resultado la siguiente 
expresión simbólica.
Gráficamente:
Toda división también se puede expresar o escribir con una rayita, colocando el 
dividendo arriba, el divisor abajo y el cociente es el resultado. En los ejemplos de 
divisiones dados en a), b) y c), podemos expresar así:
 8 =
 8 =
 8 =
Lo que le toca a cada persona o 
parte
Indica las partes en que se divide o reparte
 Indica las partes que se toma
 Que se lee «dos cuartos»
 Indica las partes en que se divide cada unidad
 Que se lee «cuatro octavos»
cantidad a repartir
4 8 =
4 8 =
4 8 =
1
2
4
8
2
4
8
=
= = =
= =
Cocientes
Resultados de la 
división. Cocientes
Se lee: «cuatro octavos»
Se lee: 
«cuatro entre ocho»
Dividendo
Dividendo
Divisor
Divisor
Simbólicamente:
4
8
1
2
2
4
4
8
El 4 del resultado indica las partes que le corresponde a cada una de las 8 personas.
El 8 indica las partes en que se ha dividido la unidad.
93MateMática Delta 1 - aritMética
LecturaDenominador Ejemplos
medios 5/2 cinco medios
8/3 ocho tercios
3/4 tres cuartos
7/5 siete quintos
1/6 un sexto
2/7 dos séptimos
15/8 quince octavos
8/9 ocho novenos
9/10 nueve décimos
10/11 diez onceavos
tercios
cuartos
quintos
sextos
séptimos
octavos
novenos
décimos
Mayor de 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
se agrega al número la 
terminación avos.
2. Cuando la cantidad a repartir era mayor que las partes en que se reparten. 
En el ejemplo de los 4 quesos, si se reparte o divide entre 3, pueden presentarse las 
siguientes divisiones o repartos:
A cada persona le correspondía un queso y un tercio del cuarto queso.
Simbólicamente:
Asi aparecen los llamados números mixtos, como resultado o cociente de una 
división cuando el dividendo es mayor que el divisor y están formados por una parte 
entera más una fracción.
En toda fracción, el resultado de una división tiene dos términos: numerador y 
denominador.
En la división efectuada de los 4 quesos, tenemos:
Clasificación de las fracciones
Por lo expuesto hasta aquí y de acuerdo a la comparación de sus términos (numerador 
y denominador), las fracciones se pueden clasificar en fracciones propias y fracciones 
impropias.
Fracción propia
Cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción se denomina propia.
Ejemplos:
2
5
; 7
9
; 15
20
; 24
35
1
2
 1
4 
1
8 Fracción impropia
Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se denomina impropia.
Ejemplos:
20
7
; 12
5
; 16
3
; 35
25
11
8 
3
2 
 3 = =
= 1 + = 1
=
Se lee «uno y un tercio»43
1
3
1
3
3 3
= = =
Cocientes
Dividendo Numerador
DenominadorDivisor
4
8
1
2
2
4
4
8
 Que los 4 quesos se repartan entre 3 personas. 
 Tendrían gráficamente:
94
Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador por 
el mismo número entero positivo. Solo se podrán simplificar fracciones cuando el 
numerador y denominador sean divisibles por el mismo número entero positivo. 
Cuando se simplifique una fracción, se recomienda llegar hasta aquella fracción 
que no se pueda simplificar más; es decir, obtener la fracción irreductible.
Amplificar la fracción 2
3
.
Donde:
Ejemplos:
Fracción 
inicial por 2 por 3 por 4 por 5 por k, k ∈ +
2
3
4
6
6
9
8
12
10
15
2k
3k
• 2
3
; 4
6
; 6
9
; 8
12
; 10
15
; ...; 2k
3k
 son fracciones equivalentes.
• 2k
3k
 representa de forma general a cualquiera de las fracciones equivalentes a 2
3
. 
En general, toda fracción propia o impropia se simboliza así:
Complemento de una fracción
Toda fracción propia tiene su complemento. El complemento de una fracción propia 
es lo que le falta a esta para ser igual a la unidad.
Ejemplos:
Es propia si N < D
Es impropia si N > D
Donde:
N es el numerador
D es el denominador
f es la fracción
N
Df =
• 5
8
 , su complemento es 3
8
 , porque 5
8
 + 3
8
 = 8
8
 = 1
• 6
11
, su complemento es 5
11
 , porque 6
11
 + 5
11
 = 11
11
 = 1
Amplificación y simplificación de fracciones
Amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y su denominador por el 
mismo número entero positivo mayor que la unidad. Cada vez que amplifiquemos 
cierta fracción, se obtendrá una fracción equivalente a la inicial; es decir, de 
términos proporcionales a los iniciales.
20 7
 6 2
 2 
 20 7
 6
 2 
 12 5
 2
 5 
 16 3
 1
 4 
 35 8
 3
20
7 =
6
72
12 5
 2 2
12
5 =
2
52
16 3
 1 5
16
3 =
1
35
35 8
 3 4
Toda fracción 
impropia es 
transformable a 
número mixto, el 
número mixto no es 
una fracción.
¡No o lv id e s qu e.. .!
entonces:
o
o
o
o
entonces:
entonces:
entonces:
35
8 =
3
84
Amplificación
• Doce entre cinco
• Veinte entre siete
• Dieciséis entre tres
• Treinta y cinco entre 
 ocho
Las fracciones impropias generan los números mixtos, llamados así porque 
tienen una parte entera y otra parte una fracción propia.
Ejemplos:
20
7
12
5
16
3
35
8
6
7
2
5
1
3
3
8
= 2 = 2 = 5 = 4; ; ;
95MateMática Delta 1 - aritMética
¡No o lv id e s 
qu e.. .!
Las fracciones 
decimales
Son aquellas que tienen 
como denominador a 
una potencia de 10.
Ejemplos:
4
10 ;
21
1000 ;
13
100
Las fracciones 
ordinarias
Son aquellas 
en las cuales su 
denominador no es 
una potencia de 10. 
Ejemplos:
6
200 ;
5
36 ;
130
450
Reduce la siguiente fracción: 60
150
.
Donde:
Ejemplo:
• 60
150
; 30
75
; 20
50
; 12
30
; 10
25
; 2
5
 son fracciones equivalentes.
Algunos conjuntos (no vacíos, ni unitarios) de fracciones no equivalentes, se pueden 
clasificar en homogéneas o heterogéneas, teniendo en cuenta el denominador que 
presenten.Fracción 
inicial
entre 2 entre 3 entre 5 entre 6
Simplificación
entre 30
60
150
30
75
20
50
12
30
10
25
2
5
 Fracciones homogéneas
 Son aquellas fracciones cuyos denominadores son iguales.
 Fracciones heterogéneas
 Son aquellas fracciones cuyos denominadores son diferentes.
Ejemplo:
Ejemplo:
2
15
; 4
15
; 7
15
; 22
15
; 14
15
2
9
; 3
8
; 10
15
; 5
12
1.° Amplifica las fracciones hasta conseguir un común denominador.
2.° Este común denominador se puede obtener calculando el mínimo común múltiplo de 
los denominadores.
 MCM(4; 6; 8; 12) = 24
3.° Ahora, amplifica cada fracción para conseguir denominadores igual a 24.
Ejemplo:
Homogeneiza las siguientes fracciones: 1
4
; 5
6
; 3
8
 y 5
12
.
Homogeneización de fracciones
Cualquier conjunto no unitario de fracciones heterogéneas pueden ser convertidos a 
fracciones homogéneas, utilizando la amplificación de fracciones.
Homogeneizar fracciones de forma rápida, permite determinar cuándo una fracción es 
mayor o menor que otra; también permite sumar o restar fracciones de modo inmediato.
1
4
5
6
3
8
5
12
6
24
20
24
9
24
10
24= = = =
× 6 × 4 × 3 × 2
Si se quiere 
representar de forma 
general una fracción 
equivalente a otra, 
se recomienda que 
esta otra fracción 
se encuentre 
completamente 
simplificada.
60
150
 luego de 
simplificar se tiene 
2
5 , entonces la 
fracción general 
equivalente a 60
150
 
es 2k
5k
, siendo k 
un número entero 
positivo.
Not a
Las fracciones homogeneizadas son:
6
24
; 20
24
; 9
24
; 10
24
; respectivamente.
96
Ejemplos:
3
19
 < 8
19
 y 13
36
 > 11
36
Es menor aquella que tiene menor numerador.
Relación de orden con fracciones
1.° Cuando las fracciones son homogéneas.
Ejemplo:
2.° Cuando las fracciones son heterogéneas.
Compara: 2
3
; 7
8
 ; 5
6
Homogeneiza las fracciones:
Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores: MCM(3; 8; 6) = 24
Se homogeneiza: 2
3
 = 16
24
 ; 7
8
 = 21
24
 ; 5
6
 = 20
24
Se compara las nuevas fracciones: 16
24
 < 20
24
 < 21
24
 2
3
 < 5
6
 < 7
8
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción
Recordemos que si dividimos un queso entre 8 personas, se obtiene el siguiente gráfico. 
Luego, observando el gráfico se puede verificar:
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
 + 1
8
 = 2
8
2
8
 + 3
8
 = 5
8
2
8
 + 5
8
 = 2 + 5
8
 = 7
8
7
8
 – 3
8
 = 7 – 3
8
 = 4
8
7
8
 – 2
8
 – 1
8
 = 7 – 2 –1
8
 = 4
8
6
8
 – 5
8
 + 1
8
 = 6 – 5 + 1
8
 = 2
8
Para sumar o restar fracciones heterogéneas se recomienda homogeneizar las 
fracciones; luego, en el resultado tendremos como numerador a la suma y/o resta de 
los nuevos numeradores y como denominador aquel que hace que todas las fracciones 
sean homogéneas.
Una forma alternativa 
para homogeneizar 
dos fracciones es 
usando la regla del 
aspa.
Para homogeneizar 
a
b y 
c
d 
Realizamos lo siguiente:
1.o Para calcular 
los nuevos 
numeradores, 
multiplicamos cada 
numerador con 
el denominador 
opuesto.
 a × d y b × c
2.o Para calcular 
los nuevos 
denominadores, 
multiplicamos los 
denominadores. 
 b × d
 Ejemplo para 
homogeneizar
 3
14
 y 5
22
 
 Multiplicamos: 
Recu e rda
 3 × 22
14 × 22 y
 5 × 14
22 × 14
Las fracciones 
homogéneas son:
66
308 y
70
308
Entonces:
97MateMática Delta 1 - aritMética
Ejemplos:
• Efectúa: 5
6
 + 1
8
 + 3
4
 – 7
12
 
• Resuelve: 2 18 + 3 
3
5 + 6 
7
20 – 7 
9
10 + 
3
4
Se homogeneizan las fracciones, donde el común denominador es 
MCM(6; 8; 4; 12) = 24
Cuando hay números mixtos, se recomienda operar con las partes enteras y 
luego con las fracciones, en el ejercicio propuesto tenemos:
(2 + 3 + 6 – 7) + 1
8
 + 3
5
 + 7
20
 – 9
10
 + 3
4
 4 + 5
40
 + 24
40
 + 14
40
 – 36
40
 + 30
40
 4 + 37
40
 4 3740
Ahora se tiene: 20
24
 + 3
24
 + 18
24
 – 14
24
 = 20 + 3 + 18 – 14
24
= 27
24
 = 9
8
1
8
= 1
Ejemplo:
Efectúa: 25
8
 × 12
35
 × 9
21
 × 21
5
 × 2 13 
Multiplicación
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y luego los denominadores. 
En el resultado, cada producto conservará el lugar de donde proceden. De haber 
números mixtos, es necesario que estos sean convertidos a fracción. Se recomienda 
que antes de multiplicar los numeradores y luego los denominadores se simplifique un 
factor del numerador con otro factor del denominador.
Fracción de fracción
Es otra forma de decir o anunciar la multiplicación de dos o más fracciones.
Ejemplos:
• Los 2
3
 de los 3
5
 de una herencia H, equivale a: 2
3
 × 3
5
 × H
• Los 3
8
 de los 2
5
 de un terreno T, equivale a: 3
8
 × 2
5
 × T
25 × 12 × 9 × 21
8 × 35 × 21 × 5
 × 7
3
 = = 92 = 4 
1
2 
5 × 3 × 9 × 7
2 × 7 × 5 × 3
Hay un número mixto, lo convertimos a fracción. Dejaremos las multiplicaciones 
indicadas para iniciar la simplificación.
Ejemplo:
3 – 49 = 
3 × 9 – 4
9 
 = 
23
9 = 2 
5
9
Not a
5 3
2 7
1 1 1 1
1 1 11
a + 
b
c = a 
b
c ,
siempre que 
b
c sea 
una fracción propia.
Ejemplo:
5 + 38 = 5 
3
8
a + 
b
c = 
a × c + b
c
Ejemplo:
3 + 
4
9 = 
3 × 9 + 4
9 
 = 319 = 3 
4
9
a – bc = 
a × c – b
c
98
Inverso multiplicativo de una fracción
Si se tiene una fracción tal como N
D
, entonces su inverso multiplicativo se escribe 
como D
N
. En general, todo número real, a excepción del 0, tiene inverso multiplicativo.
División
Recuerda que la división es la operación inversa de la multiplicación; de modo 
que dividir dos fracciones consiste en multiplicar el dividendo por el inverso 
multiplicativo del divisor.
Ejemplos:
Ejemplos:
• 3
8
 su inverso es 8
3
• 2
5
 su inverso es 5
2
• 6 su inverso es 1
6
• 2
5
 ÷ 8
15
 se escribe como 2
5
 × 15
8
 = 30
40
 = 3
4
 
• 16
9
 ÷ 24 se escribe como 16
9
 × 1
24
 = 2 × 1
9 × 3
= 2
27
 
• 3/4
6/11
 se escribe como 3
4
 × 11
6
 = 11
8
 (simplifiquemos antes de multiplicar)
• 3 35 ÷ 2 
2
7 se escribe como 
18
5
 × 7
16
 = 63
40
 = 1 2340
• 1 su inverso es 1
• 1
3
 su inverso es 3
• 2 14 = 
9
4
 su inverso es 4
9
Para resolver operaciones combinadas con fracciones, se utilizan las mismas 
reglas que los números enteros. Es decir:
1.° Opera dentro de los símbolos de colección.
2.° Resuelve las potencias y radicaciones.
3.° Resuelve la multiplicación y división.
4.° Por último, efectúa la adición y sustracción.
Ejemplo 1
Efectúa: 
A = 3
7
 + 3
14
 ÷ 16
21
 × 3
8
 = 6
14
 + 3
14
 ÷ 2
7
 = 9
14
 × 7
2
 = 9
4
 = 2 14
El inverso 
multiplicativo de a es 
1
a , siempre que a 0.
El inverso 
multiplicativo de la 
fracción ab es 
b
a .
Recu e rda
99MateMática Delta 1 - aritMética
El Ojo de Horus… Una mirada a las fracciones
El antiguo Egipto encarna una de las civilizaciones más importantes de la historia de 
la humanidad. Los egipcios tenían conocimientos matemáticos considerablemente 
avanzados, entre los cuales se encuentra su dominio y fascinación por los números 
fraccionarios.
Una de las primeras representaciones de las fracciones provino de un jeroglífico de 
gran significado místico: EL OJO DE HORUS.
HORUS era un dios representado como mitad hombre y mitad halcón. Según la 
leyenda el padre de Horus fue asesinado por su hermano Seth; Horus decidió 
vengar la muerte de su padre y durante una batalla particularmente feroz, Seth le 
arrancó un ojo a Horus, lo despedazó y lo esparció por todo Egipto, pero los dioses 
se apiadaron de él, recogieron cada trozo y rearmaron su ojo.
Cada parte del ojo representa una fracción diferente y cada parte es la mitad de 
la fracción anterior; aunque el ojo original representaba el total, al ojo restituido le 
faltaba parte.
Aunque los egipcios se detuvieron sobre esta fracción, implícita en el gráfico 
anterior, existe la posibilidad de agregar más fracciones partiendo la suma por la 
mitad, acercándose cada vez más a uno sin alcanzarlojamás.
Es así como esta leyenda se convierte en el primer indicio de algo llamado Serie 
Geométrica.
Dividimos 
9
4
También:
Import a nt e
9 4
1 2
9
4
9
4
=
=
2 + 14
2 + 14
9
4 = 2 
1
4
9
4 = 2 
1
4
2 
9 4
1
 Resuelve: 
 B = 
3
4
4 –
2 +
3 –
5 + 9 3
5
Para resolver este tipo de operación, se procede 
desde la parte inferior, respetando el signo de división, 
la raya «_».
1.° 4 – 3
4
 = 13
4
 
 5 ÷ 13
4
 = 5 × 4
13
 = 20
13
2.° 2 + 20
13
 = 46
13
 
 3 ÷ 46
13
 = 3 × 13
46
 = 39
46
 
3.° 3 – 39
46
 = 99
46
 
 9 ÷ 99
46
 = 9 × 46
99
 = 46
11
4.° 5 + 46
11
 = 5 + 4 211 = 9 
2
11
 B = 9 211
Nota
Ejemplo 2
100
Miguel y su esposa Isabel fueron al mercado y compraron lo siguiente: 3 14 kg de 
carne, 5 38 kg de frutas, 6 
1
2 kg de arroz y 4 
2
5 kg de huevos. Para regresar a casa, 
cada uno debe llevar igual peso en kilogramos. Calcula cuántos kilogramos deberá 
llevar Isabel.
Resolución:
1.° Calculamos el peso total que se va a llevar.
3 14 + 5 
3
8 + 6 
1
2 + 4 
2
5
(3 + 5 + 6 + 4) + 1
4
 + 3
8
 + 1
2
 + 2
5
 18 + 10
40
 + 15
40
 + 20
40
 + 16
40
 18 + 61
40
 18 + 1 2140
 19 2140
3
2.° Repartimos el peso entre las 
dos personas por igual
19 
21
40 ÷ 2 
781
40 × 
1
2 = 
781
80
781
80
= 9 
61
80 kg
Rpta. Cada uno llevará 9 6180 kg
Rpta. Ordenando de menor a mayor, seria: 5
9
 < 7
12
 < 3
4
 < 5
6
 .
En las siguientes fracciones: 5
9
; 7
12
; 5
6
; 3
4
, ordénalas de menor a mayor.
Resolución:
Homogeneizamos las fracciones para poder compararlas.
1.° Calcula el MCM(9; 12; 6; 4) = 36
2.° Las fracciones homogeneizadas son:
 5
9
 = 20
36
 ; 7
12
 = 21
36
 ; 5
6
 = 30
36
 ; 3
4
 = 27
36
3.° Comparando tendremos que: 20
36
 < 21
36
 < 27
36
 < 30
36
2
¿Cuántos cuartos tiene 13 panes?
Rpta. En 13 panes hay 52 cuartos.
Resolución:
1.° Identificamos la unidad entera en que se va a dividir «un pan», el cual lo 
dividiremos en cuartos (4 partes iguales).
2.° 1 pan = 4
4
, entonces en 13 panes hay 13 × 4
4
 = 52
4
1
Obse rva
Dividimos 6140
61 40
21 1
61
40 = 1 +
21
40
Dividimos 
781
80
781 80
 61 
= 9 +
61
80
781
80
= 9 6180
Convierte una 
fracción impropia a 
número mixto.
Ejemplo 1: 6140
Ejemplo 2: 78180
Ejercicios resueltos
9
101MateMática Delta 1 - aritMética
Adición y sustracción
Pasos:
1.° Homogeneiza las fracciones.
2.° Resuelve.
Ejemplo: 5
6
 – 3
4
 + 1
8
MCM(6; 4; 8) = 24
5
6
 = 20
24
 ; 3
4
 = 18
24
 ; 1
8
 = 3
24
 
Entonces:
20
24
 – 18
24
 + 3
24
 = 5
24
 
Multiplicación
Ejemplo: 
12
28
 × 21
20
 = 12 × 21
28 × 20
 = 9
20
 
División
Equivale a multiplicar el 
dividendo por el inverso del 
divisor.
Ejemplo:
2
5
 8
15
 = 2
5
 × 15
8
 = 3
4
21 Determina cuántas fracciones propias, cuyo 
denominador es 24, se pueden obtener y que 
sean mayores a 3
8
.
Resolución:
Determina cuántas fracciones propias, cuyo 
denominador es 28, se pueden obtener y que 
sean mayores a 3
5
.
Resolución:
Observa que está dividido 
en 7 partes iguales de las 
cuales se han pintado 4. 
Entonces, dicho gráfico 
se puede expresar a 
través de la fracción: 
 4
7
 
donde:
- 4 es el numerador 
 (n.° de partes 
escogidas)
- 7 es el denominador 
 (n.° total de partes)
F. propias: 2
7
; 15
40
; 7
8
F. impropias: 11
6
; 35
21
; 45
7
F. homogéneas: 2
15
; 6
15
; 11
15
F. heterogéneas: 1
14
; 2
19
; 5
20
Ejemplo:
El complemento de 3
8
 es 5
8
 
porque: 3
8
 + 5
8
 = 1
Por amplificación
Por simplificación
Rpta.Rpta.
 
Fracción Clasificación
Complemento de una fracción
Fracciones equivalentes
Operaciones
Se tiene el gráfico:
1
1
3
4
Síntesis
Modela y resuelve 
9
20
3 3
4 5
102
3 Calcula una fracción equivalente a 21
28
 que cumpla 
que al multiplicar sus términos se obtenga 192.
Resolución:
Rpta.
4 Calcula una fracción equivalente a 20
35
 que cumpla 
que al multiplicar sus términos se obtenga 1372.
Resolución:
Rpta.
5 6Encuentra cuántas fracciones impropias e 
irreductibles se pueden obtener, si las fracciones 
buscadas son menores que 3
2
 y tienen como 
numerador a 21.
Resolución:
Encuentra cuántas fracciones impropias e 
irreductibles se pueden obtener, si las fracciones 
buscadas son menores que 5
3
 y tienen como 
numerador a 18.
Resolución:
Rpta. Rpta.
103MateMática Delta 1 - aritMética
87 Por el cumpleaños de su hijo, Rolando compró 
chicha morada y consiguió 7 botellas de 1 
1
2 litros, 
15 botellas de 34 de litro y 9 botellas de 1 
1
4 litros. 
Si debe separar 6 litros para los adultos y el resto 
servirlo en envases descartables de 910 litros, 
¿cuántos de estos envases deberá comprar?
Resolución:
Por el cumpleaños de su hijo, Ricardo compró 
gaseosa y consiguió 15 botellas de 1 
1
2 litros, 
9 botellas de 34 de litro y 7 botellas de 3
1
4 litros. 
Si debe separar 8 litros para los adultos y el resto 
servirlo en envases descartables de 25 litros, 
¿cuántos de estos envases deberá comprar?
Resolución:
Rpta.Rpta.
9 10En un instituto hay cierta cantidad de alumnos. 
Si los 25 de ellos han participado en el concurso 
de fotografía y 13 del resto en el de dibujo, ¿qué 
fracción de los alumnos no han participado en 
ninguno de los dos concursos?
Resolución:
En un instituto hay cierta cantidad de alumnos. Si 
los 37 de ellos han participado hasta el final en la 
asamblea y 23 del resto se retiró temprano, ¿qué 
fracción de los alumnos no han participado en la 
asamblea?
Resolución:
Rpta. Rpta.
104
11 De un recipiente que está lleno de agua se extraen 
los 
4
7 de los 
7
9 de su capacidad. Si la diferencia 
entre lo que está quedando y lo que se ha extraído 
es de 7 litros, determina cuántos litros de agua se 
ha extraído.
Resolución:
Rpta.
12 De un recipiente que está lleno de agua se extraen 
los 
3
8 de los 
5
9 de su capacidad. Si la diferencia 
entre lo que está quedando y lo que se ha extraído 
es de 28 litros, determina cuántos litros de agua 
se ha extraído.
Resolución:
Rpta.
13 14Juan compró ayer un panetón y comió los 
5
12 .
Hoy ha comido 
1
4 del sobrante. Si la diferencia 
entre lo que comió ayer y lo que ha comido hoy 
es de 260 gramos, calcula el peso de un panetón 
entero.
Resolución:
Gonzalo compró ayer una torta y comió los 
3
8 . Hoy 
ha comido 
1
4 del sobrante. Si la diferencia entre 
lo que comió ayer y lo que ha comido hoy es de 
210 gramos, calcula el peso de una torta entera.
Resolución:
Rpta. Rpta.
105MateMática Delta 1 - aritMética
 Calcula el numerador de una fracción equivalente 
a 3
5
, sabiendo que la diferencia de los cuadrados 
de sus términos es 1024.
1
 Encuentra una fracción equivalente a 126
336
, tal que 
la suma de sus términos esté comprendida entre 
199 y 219. Dar como respuesta la diferencia de 
sus términos.
2
 Halla la suma de los numeradores de aquellas 
fracciones de la forma n
24
, la cual es una fracción 
propia e irreductible mayor que 3
7 
 .
3
A 16 B 24 C 32
D 56 E 42
A 97 B 76 C 95
D 100 E 90
A 60 B 72 C 70
D 66 E 83
 En un instituto hay 690 alumnos. Si dos quintas 
partes de ellos han participado en el concurso 
de fotografía y un tercio del resto en el de dibujo, 
¿cuántos alumnos no han participado en ninguno 
de los dos concursos?
4
 A un congreso de Medicina han acudido 125 
pediatras, 100 dermatólogos, 200 neurólogos 
y m cirujanos. Si los cirujanos y dermatólogos 
representan los siete veinteavos del total de 
asistentes al congreso, ¿qué fracción del total 
representan los cirujanos?
5
Un libro tiene cierta cantidad de páginas. El primer 
día leemos 1
4
; el segundo, 2
5
 y el tercero, 4
7
 del 
resto de hojas. Si aún quedan 12 páginas por leer, 
¿cuántas páginas leímos el tercer día? 
6
A 7
24
 B 3
20
 C 5
24
D 9
20
 E 7
20
A 12 B 14 C 16
D 18 E 20
A 284 B 272C 276
D 268 E 288
Nivel I
Practica y demuestra
106
Para unir dos pueblos se construyó una carretera. 
Los 2
5
 lo hizo el contratista A; el resto se hizo con 
otros dos contratistas, de los cuales uno hizo los 
5
9
 y el otro, los 24 km restantes. Encuentra qué 
distancia separa los dos pueblos.
7
 Un agricultor tiene un campo de cultivo. Ha 
sembrado un tercio con papas, dos quintos con 
trigo, y el resto de lechugas. Si la diferencia 
entre lo sembrado de lechugas y trigo es de 
 50 m2, ¿cuántos metros cuadrados ha dedicado 
para sembrar las lechugas?
8
A 99 km B 96 km C 94 km
D 90 km E 87 km
A 92 m2 B 96 m2 C 88 m2
D 84 m2 E 100 m2
 En el estante del supermercado hay 4 litros de 
zumo de naranja, 12, de melocotón, 9, de piña 
y n litros de zumo de manzana. Si la naranja y 
manzana representan los tres décimos del total, 
determina qué fracción del total representa el 
zumo de manzana.
9
A 1
3
 B 2
5
 C 1
6
D 3
8
 E 1
4
 Un comerciante vendió por la mañana las 3
4
 partes 
de la naranja que tenía. Por la tarde, vendió los 4
5
 
de los que le quedaban. Si al terminar el día aún le 
quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilogramos 
de naranjas tenía al iniciar el día?
 Lucía ha conseguido ahorrar cierta cantidad de 
soles para celebrar su cumpleaños. Primero, se 
gasta un tercio del dinero en invitar a sus amigos un 
helado. Luego, dos sétimos de lo que le quedan en 
una nueva funda para su móvil, y antes de volver a 
casa se toma un refresco y una hamburguesa que 
le cuestan S/ 5. Si se quedó con S/ 15, ¿cuánto 
gastó en la funda para su móvil?
10
11
A 1800 B 1840 C 1900
D 1980 E 2000
A S/ 6 B S/ 8 C S/ 10
D S/ 12 E S/ 14
 Calcula la suma de cifras del denominador de una 
fracción equivalente a 3
13
 tal que al sumar el doble 
del denominador con el triple del numerador 
resulte 595.
12
A 4 B 7 C 9
D 5 E 8
Nivel II
107MateMática Delta 1 - aritMética
 Determina la diferencia entre los términos de 
una fracción equivalente a 192
336
, sabiendo que la 
diferencia de los cuadrados de sus términos es 
1617.
14
 Si a los dos términos de una fracción irreductible, 
se le suma el triple del denominador y al resultado 
se le resta la fracción original, resulta la misma 
fracción. ¿Cuánto suman los cuadrados de los 
términos de la fracción original?
15
A 18 B 35 C 21
D 28 E 36
A 53 B 51 C 74
D 58 E 52
 De una piscina se sacan 40 litros de agua. Si había 
los 2
3
 del total y quedan 3
5
 del mismo, encuentra 
cuántos litros de agua se necesitan para terminar 
de llenar la piscina.
13
A 200 L B 280 L C 320 L
D 300 L E 240 L
 María compró un pastel y lo repartió por igual entre 
sus cuatro hijos. Ana y Benito comieron lo que les 
correspondió. Carlos comió la mitad de sus partes 
y Diana se comió la quinta parte del suyo. ¿Qué 
parte del pastel está sobrando?
16
A 7
40
 B 9
40
 C 13
40
D 17
40
 E 3
40
 De un cilindro lleno de agua, se extrae la quinta 
parte. Halla qué fracción del resto se debe sacar 
para que quede solo 6
10
 de su capacidad inicial.
18
 Si los 4
7
 de los alumnos de un salón de clase no 
exceden los doce años de edad y 15 alumnos son 
mayores de doce años. Calcula cuántos alumnos 
tiene el salón.
17
A 40 B 35 C 45
D 50 E 30
A 1
2
 B 1
3
 C 1
4
D 1
5
 E 2
5
 
a
a
1
2
1 2
108
 Los 2
3
 de los docentes de una institución son 
mujeres, 14 de los varones son solteros, mientras 
que los 3
5
 de los docentes varones son casados. 
Determina el total de docentes.
19
A 105 B 110 C 115
D 120 E 125
 Se vende 1
3
 de un lote de vasos. Si se quiebran 
30 y quedan todavía 5
8
 del lote, se desea saber de 
cuántos vasos constaba el lote.
 Se vendió los 2
7
 de una tela y los 3
8
 del resto. Si 
el precio de la fracción de la tela que queda sin 
vender es de S/ 35, calcula el precio de la tela.
20
21
A S/ 84,2 B S/ 78,4 C S/ 64,4
D S/ 58,8 E S/ 75,2
A 620 B 650 C 720
D 600 E 670
A un alambre de 445 m, se le dio tres cortes de 
manera que la longitud de cada trozo resultante es 
igual al inmediato anterior aumentado en su mitad. 
Determina cuál es la longitud del menor trozo.
 En una reunión los 2
3
 de los asistentes son mujeres 
y 3
7
 de los varones son casados, en tanto que los 
otros 12 son solteros. Halla cuál fue el número de 
personas que asistieron a la reunión.
22
23
 Un quinto de la población de cierto pueblo vive 
del cultivo de flores. 1
4
 del resto vive del cultivo de 
árboles frutales y los restantes, 2100 habitantes, 
cultivan algodón. ¿Cuántos habitantes hay en 
total?
24
A 42 m B 44 m C 74 m
D 56 m E 52 m
A 69 B 57 C 45
D 72 E 63
 A 3000 B 3500
 C 4400 D 4700
 E 5000
Nivel III
Tema
109MateMática Delta 1 - aritMética
Los puntos 
suspensivos (...), 
en matemáticas se 
usan en reemplazo 
de un número finito o 
infinito de términos. 
Cuando los términos 
omitidos son de 
orden finito, los 
puntos suspensivos 
van entre punto y 
comas. Pero si los 
términos omitidos 
son infinitos se 
escribe al final puntos 
suspensivos:
– Los primeros 
diez números 
naturales son 
0; 1; 2; ...; 9.
– Los números 
naturales son 
 0; 1; 2; ... 
¿Sa bía s qu e.. .?
La parte decimal se escribe siempre al lado derecho de la coma, y en la recta numérica 
se encuentra entre el 0 y el 1; mientras que la parte entera se escribe a la izquierda 
de la coma decimal. En caso de que el número decimal no posea una parte entera, se 
escribirá un 0 a la izquierda de la coma decimal.
Ejemplos:
Ejemplos:
¿Qué son números decimales?
Los números decimales son valores que denotan los números racionales que no son 
enteros y también todos los números irracionales. Estos números, que son racionales, 
a diferencia de los números fraccionarios no se escriben como una división indicada de 
dos números enteros, sino como el cociente que resulta de tal división.
Se denominan números decimales debido a que el sistema en el que estamos trabajando 
es el decimal, que tiene como base al 10. Esta es la razón por la que habíamos dividido el 
pastel en 10 partes iguales, donde cada parte representa 1/10 y el número decimal es 0,1.
Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene 
una parte decimal y otra parte no decimal o entera. La parte decimal y la parte entera 
están separadas por una coma, y son una manera particular de escribir a las fracciones.
1 7 , 6 5 3
1 3 , 4 8
Parte
decimal
Coma
decimal
Parte
entera
• 7,654
• 0,28
• 910 = 0,9 Dividiendo
• 245 = 4,8 Dividiendo
• 2011 = 1,8181... Dividiendo
Obtención de los números decimales a partir de fracciones
Para la obtención de los números decimales que generan las fracciones, se procede a 
calcular el cociente luego de dividir sus términos.
 90 10
-90 0,9
 0
 24 5
-20 4,8
 40
 -40
 0
 20 11
‒ 11 1,8181...
 90
 ‒ 88
 20
 ‒ 11
 90
 ‒ 88
 20
 ‒ 11
 
 1,8181...
 20 11
 ‒ 11
 90
 ‒ 88
 20
 ‒ 11
 90
 ‒ 88
 20
 –11
 
También: 
También: 
También: 
 0,9
 90 10
‒90
 - -
 4,8
 24 5
‒20
 40
 ‒40
 0
Números decimales
6

110
• 256 = 4,1666... Dividiendo 25 6‒ 24 4,166...
 10
 - ‒ 6
 40
 ‒ 36
 40
 ‒ 36
 4
 
Lectura de los números decimales
Fracción decimal
Una fracción decimal es aquella cuyo denominador es 10 o alguna otra potencia positiva 
de 10. Estas fracciones decimales poseen características especiales y hacen que su 
lectura como fracción (en cierta parte) sea la misma para leer su equivalente como 
número decimal.
Para leer un número decimal primero leemos la parte entera y después la parte decimal; 
en la parte decimal, la posición de la última cifra decimal completará la lectura del número.
Veamos ahora una forma práctica para leer númerosdecimales ubicándolos 
en el tablero de valor posicional.
Lectura como fracción Lectura como decimal
Ejemplos:
Ejemplos:
• 110 = 0,1 Un décimo Un décimo
• 2410 = 2,4 24 décimos 2 enteros y 4 décimos
• 478100 = 4,78 478 centésimos 4 enteros y 78 centésimos
• 1531000 = 0,153 153 milésimos 153 milésimos
• 12,634 Se lee como: 12 enteros y 634 milésimos.
• 12,63 Se lee como: 12 enteros y 63 centésimos.
• 12,6 Se lee como: 12 enteros y 6 décimos.
milésimos
centésimos
centésimos
décimos
décimos
décimos
Ce
nt
en
as
De
ce
na
s
Un
id
ad
es
dé
cim
os
ce
nt
és
im
os
m
ilé
sim
os
di
ez
m
ilé
sim
os
cie
nm
ilé
sim
os
m
illo
né
sim
os
8 7 6 3 4 0 6 7 2,
El número decimal 
0,24 se puede leer 
como: 
– 0 enteros y 24 
centésimos o 
simplemente 24 
centésimos.
– El número 
decimal 0,002 
se puede leer 
como: 0 enteros 
y 2 milésimos 
o simplemente 
2 milésimos.
Recu e rda
También: 4,166...
 25 6
‒ 24
 10
 ‒ 6
 40
 ‒ 36
 40
 ‒ 36
 
Se lee: 876 enteros y 340672 millonésimos.
111MateMática Delta 1 - aritMética
Estos números tienen la particularidad de que su representación decimal no es única. 
Así por ejemplo, el número decimal 0,2 se puede representar mediante el número 
decimal periódico 0,1999... Otra forma de escribirlo se consigue agregando ceros 
en la parte decimal y a continuación de la última cifra significativa; por ejemplo, el 
número decimal 0,2 se puede escribir como 0,20 o como 0,200 o como 0,2000 y así 
sucesivamente.
Clasificación de los números decimales
A partir de la definición y la forma cómo se denotan, se presenta la siguiente clasificación.
Número decimal exacto
Son aquellos números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras, 
denominándose por ello número decimal exacto. Estos números provienen de aquellas 
fracciones irreductibles cuyo denominador es una potencia de 2 y/o de 5.
Número decimal inexacto periódico
Son aquellos números decimales en cuya parte decimal tiene un número infinito de 
cifras que se repiten siguiendo un patrón, llamado periodo.
Decimal periódico puro
Son aquellos números decimales donde el grupo de cifras decimales que se van a 
repetir comienza inmediatamente después de la coma decimal. Estos números 
decimales provienen de aquellas fracciones irreductibles en cuyo denominador no 
tiene factor que sea una potencia de 2 y/o de 5.
Para indicar que la parte periódica se va a repetir como un patrón, se escribe sobre el 
periodo un circunflejo o a veces una barra horizontal — .
Ejemplos:
• 3
5
 = 0,6 Comprobando
• 458 = 5,625 Comprobando
• 720 = 0,35 Comprobando
, denominador = 51 (potencia de 5) 30 5
‒ 30 0,6
 0
 70 20
‒60 0,35
 100
‒100
 0
 45 8
‒ 40 5,625
 50
 ‒ 48
 20
 ‒16
 40
 ‒40
 0
, denominador = 22 × 5 (potencia de 2 y 5)
, denominador = 23 (potencia de 2)
Número
• Entero
• Decimal
• Exacto
• Inexacto
• Periódico puro
• Periódico mixto
Los números 
decimales inexactos 
no periódicos son 
llamados números 
irracionales y 
provienen en su 
mayoría de las raíces 
inexactas tales como: 
¿Sa bía s qu e.. .?
2 ; 3 ; 5
3
; 9
4
; etc.
Otros números 
irracionales 
provienen de 
los números 
trascendentes como 
 y e.
 = 3,14159...
e = 2,71828...
112
Ejemplos:
• 7
3
 = 2,3 Comprobando
• 533 = 0,15 Comprobando
• 1637 = 0,432 Comprobando
• 712 = 0,58
3 
 Comprobando:
 50 33
‒33 0,1515... = 0,15
 170
‒165
 50
 ‒33
 170
 ‒165
 5
 
 70 12
‒60 0,5833...
 100
 ‒96
 40
 ‒36
 40
 ‒36
 4
 
 160 37
‒148 0,432432... = 0,432
 120
 ‒111
 90
 ‒74
 160
 ‒148
 12
 
 7 3
‒60 2,333... = 2,3
 10
 ‒9
 10
 ‒9
 1
 
 2,333...
 7 3
‒6
 10
 ‒9
 10
 ‒9
 1
 
Decimal periódico mixto
Son aquellos números decimales cuya parte decimal inicia con una parte no periódica, 
seguida de la parte periódica.
Estos números decimales provienen de aquellas fracciones irreductibles en cuyo 
denominador aparecen factores que son potencias de 2 y/o de 5 acompañados de 
otras potencias.
Ejemplos:
• 1588 = 0,17045 
 Comprobando:
= 0,583 
 150 88
 ‒88 0,1704545...
 620
 ‒616
 400
 ‒352
 480
 ‒440
 400
 ‒352
 48
 
= 0,17045
También:
También: 0,1515...
 50 33
‒33
 170
‒165
 50
 ‒33
 170
 ‒165
 5
 
 (pi) es la relación 
entre la longitud de 
una circunferencia 
y su diámetro, en 
geometría euclidiana. 
Es un número 
irracional y una 
de las constantes 
matemáticas más 
importantes. 
Recu e rda
113MateMática Delta 1 - aritMética
124 – 1
99 =
123
99
 aún 
no es la fracción 
generatriz de 1,24 
pues falta simplificar, 
así 
41
33 será la 
fracción generatriz 
de 1,24 .
Import a nt e
24
100 aún no es la 
fracción generatriz de 
0,24 pues debemos 
simplificar, así 
6
25
 
será la fracción 
generatriz de 0,24.
Import a nt e
Ejemplos:
Fracción generatriz
Una fracción generatriz es aquella fracción irreductible que origina el número decimal 
correspondiente. Existen los siguientes casos:
De decimal exacto a fracción
Si el número decimal es exacto, entonces la fracción tiene como numerador al número 
dado sin la coma decimal, y por denominador a la unidad seguida de tantos ceros como 
cifras decimales tenga.
De decimal periódico puro a fracción
Si el número decimal es periódico puro, entonces la fracción tiene como numerador al 
número dado sin la coma decimal menos la parte entera; y tiene como denominador un 
número formado por cifras nueve, tantos nueves como cifras tenga el periodo.
• 0,24 = 24100 • 3,245 = 
3245
1000 • 12,04 = 
1204
100
= 62671000
1 6,267
milésimos
Ejemplos:
• 1,24 = 124 – 199 = 
123
99
 = 41
33
• 0,064 = 0064 – 0999 = 
64
999
• 2354,6 = 23546 – 23549 = 
21192
9
 = 7064
3
= 384 – 399
1 3,84
2 cifras 2 nueves
= 381
99
De decimal periódico mixto a fracción
Si el número decimal es periódico mixto, la fracción tiene como numerador al número 
dado sin la coma decimal menos la parte entera seguida de las cifras decimales no 
periódicas, y tiene como denominador un número formado por tantas cifras nueve como 
cifras tenga el periodo multiplicado por una potencia de 10 con tantos ceros como cifras 
tenga la parte decimal no periódica.
Ejemplos:
• 1,136 = 1136 – 1139 × 100 = 
1023
900
• 0,1769 = 01769 – 01799 × 100 = 
1752
9900
• 2,2341= 22341 – 22999 × 10 = 
22319
9990
= 502472 – 502499 × 1000 = 
497448
99000
5,02472
2 cifras 2 nueves
milésimos
3 cifras
114
En caso que debamos sumar o restar con números decimales periódicos, algunos 
recomiendan convertir a fracción generatriz.
Ejemplo:
• 0,24 + 0,37 – 0,168 = 2499 + 
34
90 – 
168
1000
 = 2400099000 + 
37400
99000 – 
16632
99000
 = 4476899000
Operaciones con números decimales
Adición y sustracción
Para sumar o restar números decimales exactos, escribimos los números uno debajo del 
otro, haciendo coincidir la coma decimal sobre la misma columna. A continuación, en la 
parte decimal se deben igualar la cantidad de cifras decimales completando con ceros.
Ejemplos:
• 3,48 + 5,209 + 24,03291
→ Completa con ceros
→ Completa con ceros
 3 , 4 8 0 0 0
 5 , 2 0 9 0 0
2 4 , 0 3 2 9 1
3 2 , 7 2 1 9 1
• 3,26 – 2,5682
→ Completa 
con ceros
 3 , 2 6 0 0
 2 , 5 6 8 2
 0 , 6 9 1 8
Como verás, no es tan sencillo realizar operaciones con fracciones que provienen de 
los números decimales periódicos, así que desarrollaremos una forma práctica para 
llegar al mismo resultado. Para esto se deben realizar los siguientes pasos:
1.° Si hay decimales periódicos identifica el que tenga mayor cantidad de cifras en el 
periodo, luego escribe este periodo unas tres veces (más veces mejor).
2.° Los otros números decimales se debenadaptar al anterior completando con ceros 
o repitiendo el periodo, según sea el caso, hasta que todos tengan «igual» cantidad 
de cifras decimales.
3.° Luego de sumar o restar, en el resultado elimina la «última» cifra decimal y en su 
reemplazo escribe los tres puntos sucesivos (elimina las dos últimas cifras, es mejor). 
De este modo sabremos qué número decimal periódico se obtuvo como resultado.
Ejemplo:
• 0,24 + 0,37 – 0,168
identificamos el periodo.
➞ El que más cifras tiene es 0,24
➞ Se escribió el periodo 24 cuatro veces
➞ Se repite el periodo 7
0 , 6 2 0 2 0 . . .
0 , 6 20
→ eliminamos esta cifra y reemplazamos por puntos suspensivos.
0 , 2 4 2 4 2 4 2 4
0 , 3 7 7 7 7 7 7 7
0 , 6 2 0 2 0 2 0 1
1023
900
 aún no es la 
fracción generatriz 
de 1,136 pues 
falta simplificar, así 
341
300
 es la fracción 
generatriz, de 1,136.
Import a nt e
= 0,45220
115MateMática Delta 1 - aritMética
Ejemplos:
• Multiplica 3,27 × 2,453 se tienen en total 5 cifras decimales.
 Multiplica obviando la coma decimal.
 327 × 2453 = 802131
 Ahora, escribimos la coma decimal separando 5 cifras, desde la derecha.
 8,02131
Multiplicación
Para multiplicar dos números decimales exactos, se resuelve la operación sin tomar 
en cuenta la coma decimal. Luego, en el resultado, de derecha a izquierda, separamos 
tantas cifras decimales como se tengan entre los dos factores.
5 cifras
• Multiplica 0,024 × 3,61 × 2,5 se tienen en total 6 cifras decimales.
 Multiplicamos obviando la coma decimal.
 24 × 361 × 25 = 216600
6 cifras
 Ahora, escribimos la coma decimal separando 6 cifras, obteniendo
 0,216600 = 0,2166
• Multiplica 0,003 × 0,08 se tienen 5 cifras decimales.
 Multiplicamos obviando la coma decimal.
 3 × 8 = 24
 Ahora, escribimos la coma decimal, solo hay 2 cifras, entonces agregamos 3 ceros 
a la izquierda y un cero adicional para la parte entera. Obteniendo:
 0,00024
Para multiplicar cuando hay números decimales periódicos, es necesario convertir a 
fracción y proceder como una multiplicación de fracciones.
5 cifras
Ejemplo:
• 0,24 × 0,7 × 1,03 = 24100 × 
7
9 × 
93
90 (simplificamos)
 = 625 × 
7
9 × 
31
30 = 
217
1125 = 0,1928
División
Dado que existen varios casos y varias técnicas para esta operación con decimales, 
utilizaremos una que sea general y aborde todos los casos. Esta técnica es sencilla, 
pues requiere convertir cada número decimal a fracción y darle el mismo tratamiento 
que vimos con las fracciones.
0 , 4 5 2 2 0 2 0 2 0 . . .
Entonces: 0, 24 + 0, 37 – 0,168 = 0, 45220 
elimina la última cifra y reemplaza por puntos suspensivos.
0 , 6 2 0 2 0 2 0 2 0
0 , 1 6 8 0 0 0 0 0 0
0 , 4 5 2 2 0 2 0 2 0 Norbert Wiener
En cierta ocasión, 
cuando los Wiener se 
mudaban, su esposa 
le avisó con varios 
días de anticipación 
y la víspera se lo 
recordó nuevamente. 
Es más, el día de la 
mudanza le anotó 
en un papel la nueva 
dirección de su hogar.
Durante el día, Wiener 
usó el papel para 
responder la consulta 
de un alumno; al salir 
hizo lo de siempre, 
ir a su casa antigua, 
encontrando la casa 
vacía.
Entonces preguntó, 
a una niña que lo 
miraba.
– Niña, ¿podría 
decirme dónde se ha 
ido la famila que vivía 
en esta casa?
– No te preocupes 
papá; mamá supuso 
que perderías la 
nota y me envió a 
buscarte. 
¿Sa bía s qu e.. .?
En las expresiones 
numéricas escritas, 
la normativa 
internacional 
establece el uso de 
la coma para separar 
la parte entera de la 
parte decimal.
Not a
→ Se escribe el periodo 20 cuatro veces
→ Se completa con ceros antes de restar
1
5
116
• Dividir 2,5 ÷ 3,45 = 239 ÷ 
345
100
 = 239 × 
100
345 =
 = 2027
 = 0,740
Ejemplos:
• Dividir 3,24 ÷ 0,8 = 324100 ÷ 
8
10
 = 324100 × 
10
8
 = 8120
 = 4,05
Ejemplos:
Casos especiales de multiplicación y división con potencias de 10
Multiplicar un número decimal por una potencia de 10, da como resultado el mismo 
número decimal con la particularidad de que la coma decimal se traslada a la derecha 
tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10.
Ejemplos:
Ejemplos:
Para el caso de la división el traslado de la coma decimal es hacia la izquierda.
Aproximación con decimales
Aproximar decimales es determinar un número cercano al valor real. La aproximación 
se puede realizar de tres formas: por truncamiento, por redondeo y por estimación.
Por truncamiento
Para truncar un número decimal hasta un orden determinado, simplemente se eliminan 
las cifras que están a su derecha.
• 6,367 × 100 = 636,7
• 0,0075 × 1000 = 7,5
• 0,00024 × 10 = 0,0024
• 5,382 × 100 = 538,28
• 526,3 ÷ 100 = 5,263
• 0,026 ÷ 1000 = 0,000026
• 24 ÷ 1000 = 0,024 (Se cuenta 3 cifras hacia la izquierda)
• 5,376 ÷ 10 = 0,5376
• 2,4689 truncar hasta los centésimos, es: 2,46
• 0,2672 truncar hasta los décimos, es: 0,2
• 3,897 truncar hasta los centésimos, es: 3,89
1
15 3
20
1 × 100
9 × 15
117MateMática Delta 1 - aritMética
Por redondeo
Redondear un número consiste en reducir las cifras que tiene usando ciertas reglas establecidas. 
El resultado no es el mismo, pero más fácil de usar.
La regla establecida es:
1.° Se decide el orden de la cifra hasta la cual se quiere redondear.
2.° A la cifra que ocupa el orden seleccionado, se aumenta en 1 si la cifra siguiente 
es mayor o igual que 5. Se mantiene igual, si la siguiente cifra es menor que 5.
Ejemplos:
• 2,36105 Al redondear hasta los décimos se obtiene: 2,4.
• A un estadio asistieron 4496 hombres y 3665 mujeres. Estimar el número de personas 
asistentes.
– Estimando por la izquierda (por defecto), habría 4400 hombres y 3600 mujeres, 
aproximadamente 8000 personas. Para saber la suma exacta se le agrega 96 + 
65 = 161. La suma exacta es 8161.
– Estimando por la derecha, habría 4500 hombres y 3700 mujeres, aproximadamente 
8200 personas. Para saber la suma exacta se le resta los excesos 4 y 35. Entonces, 
la suma exacta es 8200 – 39 = 8161.
– Combinando la estimación, tendremos 4500 hombres y 3600 mujeres, aproximadamente 
8100 personas. En este caso, a la suma obtenida se le quita 4 y se le aumenta 65. 
Entonces, la suma exacta es 8100 – 4 + 65 = 8161.
• Tatiana tiene $ 50 y quiere comprar unos discos que cuestan $ 11,45 cada uno. Calcula cuántos 
discos puede comprar.
– Conviene estimar por la derecha para asegurarnos que se tiene el dinero 
suficiente, de modo que cada disco tendría un valor de $ 12, así podría 
comprar unos 4 discos.
• Rodrigo firmó cheques por $ 642,80; $ 958,23 y $ 474,85. Estima el total de los tres 
cheques.
– Una estimación razonable sería: $ 600 + $ 1000 + $ 500, es decir, $ 2100
– Una suma exacta sería redondeando (642 + 958 + 474) + (0,80 + 0,23 + 0,85)
 = 2074 + 1,88 = 2075,88
• 0,8536 Al redondear hasta los centésimos se obtiene: 0,85.
• 1,29835 Al redondear hasta los diezmilésimos se obtiene: 1,2984.
centésimos
décimos
diezmilésimos
Por estimación
Estimar un número consiste en reemplazarlo por otro de valor cercano, utilizando nuestra 
intuición matemática. La estimación se puede realizar por la izquierda (por defecto), por la 
derecha (por exceso) o combinando ambos, para ello eliminamos cifras y reemplazamos estos 
por ceros. La estimación debe permitir hacer la operación más sencilla y calcular mentalmente 
un resultado razonable.
6 es mayor que 5
3 es menor que 5
5 es igual a 5
118
Una señora compra 6 latas de conserva de frutas a S/ 5,45 cada una; 8 latas de 
leche a S/ 3,40 cada una y 13 paquetes de galletas a S/ 2,15 el paquete. Si paga 
con un billete de S/ 100, calcula cuánto es su vuelto.
1.° Calculamos todos los gastos realizados:
Gastos = 6 × 5,45 + 8 × 3,40 + 13 × 2,15
 = 32,70 + 27,20 + 27,95
 = S/ 87,85
2.° Luego de pagar con S/ 100, calculamos su vuelto:
Rpta. Su vuelto es de S/ 12,15.
Resolución:
1 0 0 , 0 0
 8 7 , 8 5
 1 2 , 1 5
2
El pasillo de mi colegio mide 15,405 m. Si he recorrido 8,75 m, halla cuántos pasos 
tendré que dar para recorrer los metrosque me faltan, si en cada paso avanzo 
0,605 m.
1.° Calculamos la distancia que falta recorrer:
2.° Calculamos el número de pasos que se debe realizar para este recorrido.
m es lo que falta recorrer del pasillo.
6,655 m ÷ 0,605 m / paso = 66551000 ÷ 
605
1000
 = 66551000 × 
1000
605
 = 11 pasos
Rpta. Se deben realizar 11 pasos.
Resolución:
1 5 , 4 0 5
 8 , 7 5 0
 6 , 6 5 5
3
De un rollo de alambre de 20 m se cortaron: 1,75 m; 4,5 m y 6 m. Calcula cuántos 
metros quedan.
Resolución:
1.° Calculamos cuántos metros se 
han cortado en total:
1 , 7 5
4 , 5 0
6 , 0 0
1 2 , 2 5
1
2.° Determinamos los metros 
de alambre sobrante:
Rpta. Quedan 7,75 m de alambre.
2 0 , 0 0
1 2 , 2 5
 7 , 7 5
Ejercicios resueltos
119MateMática Delta 1 - aritMética
 
Julia ha cortado una cinta verde de 4,35 m en 
5 trozos iguales y otra azul de 5,58 m en 6 trozos 
iguales. ¿Qué trozos son más grandes, los de la 
cinta verde o los de la azul?
Resolución:
1 Eduardo ha cortado un rollo de cable de corriente 
de 5,29 metros en 8 trozos iguales, y otro cable 
para internet de 7,24 m en 11 trozos iguales. ¿Qué 
trozos son más grandes, los de cable de corriente 
o los de internet?
Resolución:
2
Rpta. Rpta. 
 
Definición Comparación DivisiónAdición y sustracción Multiplicación
Números decimales
Presenta una 
parte entera 
y otra parte 
decimal, 
separadas por 
una coma.
Ejemplo:
 12 , 58
Parte 
entera
Parte 
decimal
Se ordenan 
las cantidades 
manteniendo 
las comas en 
una columna. 
Sus decimales 
se completan 
con ceros y se 
procede como en 
los .
12,58 + 1,3 + 3,598
 12,580
 1,300
 + 3,598
 17,478
12,58 1,3
 12,58
 1,3
 3774
+ 1258
 16,354
3 
decimales
→ 3 decimales
Se compara la 
parte entera. 
Si estas 
son iguales, 
entonces, se 
compara la 
parte decimal.
Ejemplo:
 12,58 > 12,37
>
=
Síntesis
Modela y resuelve 
2,48 0,008 =
248
100
8
1000
248 1000
100 8
= 310
120
3 4Eva sigue un régimen alimenticio, por lo cual su 
almuerzo no puede pasar de 600 calorías. Ayer 
almorzó 125 g de pan, 140 g de espárragos y 
45 g de queso. Si 1 g de pan aporta 3,3 calorías; 
1 g de espárrago tiene 0,32 calorías y 1 g de 
queso proporciona 1,2 calorías, ¿respetó Eva 
su régimen alimenticio?
Resolución:
Marielena sigue una dieta especial, por lo cual 
no puede pasar de 2500 calorías en el almuerzo. 
Ayer almorzó 128 g de cereal, 160 g de zanahorias 
y 180 g de pescado. Si 1 g de cereal aporta 
3,8 calorías; 1 g de zanahorias da 3,32 calorías 
y 1 g de pescado proporciona 8,52 calorías. 
¿respetó Marielena su dieta especial?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
5 6Una camioneta lleva 4 fardos de tela. El primer 
fardo pesa 72,675 kg; el segundo, 8 kg menos 
que el primer fardo; el tercero, 6,104 kg más que 
los dos anteriores juntos, y el cuarto fardo pesa 
tanto como los tres anteriores. Determina el peso 
total de los 4 fardos.
Resolución:
Una camioneta lleva 4 pacas* de forraje para 
alimentar caballos. La primera paca pesa 
89,482 kg, la segunda, 18 kg más que la primera 
paca; la tercera, 28,96 kg menos que las dos 
anteriores juntas, y la cuarta paca pesa tanto 
como las tres anteriores juntas. Determina el 
peso total de las 4 pacas. 
(*) Paca: paquete de paja.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
121MateMática Delta 1 - aritMética
87 Sabiendo que 0,ab + 0,ba = 0,8, halla el mayor 
valor que tiene a × b.
Resolución:
Sabiendo que 0,ab + 0,ba = 1,2, halla el mayor 
valor que tiene a2 + b.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
9 10Sabiendo que a,0b = 416 – 
7
9 , encuentra el valor 
de a2 + b2.
Resolución:
Sabiendo que a,bc = 389 + 
4
15 , encuentra el valor 
de (a2 + b2 + c2).
Resolución:
Rpta. Rpta. 
122
11 12Un comerciante compró cierta cantidad de 
jarrones a S/ 7,25 la unidad. Sabiendo que en el 
transporte se le han roto tres jarrones y al vender 
los que aún tiene planea ganar aproximadamente 
S/ 100; además, vendió cada jarrón a S/ 12,75, 
determina cuántos jarrones compró.
Resolución:
Un comerciante compró cierta cantidad de jarrones 
a S/ 8,35 la unidad. Sabiendo que en el transporte 
se le han roto dos jarrones y al vender los que aún 
tiene planea ganar aproximadamente S/ 200. Si 
vendió cada jarrón a S/ 14,75, determina cuántos 
jarrones compró.
Resolución:
 
Rpta. Rpta.
13 14Un rollo de tela tiene una longitud de 30 m; para 
confeccionar un vestido se necesita 2,8 m. Si la 
tela costó S/ 10,7 el metro, halla el costo de cada 
vestido que se puede confeccionar.
Resolución:
Un rollo de tela tiene una longitud de 35 m; para 
confeccionar un vestido se necesita 2,6 m. Si la 
tela costó S/ 12,4 el metro; halla el costo, en soles, 
de cada vestido que se puede confeccionar.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
123MateMática Delta 1 - aritMética
15 16
17 18
Un terreno rectangular mide 4,2 m de ancho por 
4,8 m de largo. Para comprarlo se pide una cuota 
inicial igual a la octava parte del valor del terreno. 
Encuentra el valor de la cuota inicial, si el terreno 
se vende a S/ 100 el metro cuadrado.
Resolución:
Un terreno rectangular mide 8,2 m de ancho por 
2,4 m de largo. Para comprarlo se pide una cuota 
inicial igual a la octava parte del valor del terreno. 
Encuentra el valor de la cuota inicial, si el terreno 
se vende a S/ 100 el metro cuadrado.
Resolución:
Antonio compró una finca por S/ 4000 y la 
dividió en siete parcelas iguales. Si vendió 3 de 
las parcelas a S/ 910,5 cada una, y el resto a 
S/ 420,6 cada una, calcula cuánto ganó en 
promedio por cada parcela.
Resolución:
Bernardo compró una finca por S/ 4000 y la 
dividió en trece parcelas iguales. Si vendió 6 de 
las parcelas a S/ 367,4 cada una, y el resto a
S/ 389,6 cada una, calcula cuánto ganó en 
promedio por cada parcela.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
124
19 20Un coche consume 35 litros de gasolina 
recorriendo 538 km. Si el litro de gasolina cuesta 
S/ 2,59, determina cuánto gasta en gasolina por 
cada kilómetro.
Resolución:
Un coche consume 50,5 litros de GNV recorriendo 
450 km. Si el litro de GNV cuesta S/ 1,14, determina 
cuánto gasta en GNV por cada kilómetro.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
21 22El saldo bancario de la tienda de Tania fue de 
S/ 1856,12 el uno de marzo. Durante marzo, Tania 
depositó S/ 1742,18 que recibió de la venta de 
bienes, S/ 9271,94 pagados por clientes en sus 
cuentas y S/ 28,37 por reembolso de impuestos. 
Ella pagó S/ 7195,14 por mercadería, S/ 511,09 
por salarios y S/ 1291,03 por otros conceptos. 
Calcula su saldo al final de marzo.
Resolución:
El saldo bancario de la tienda de Araceli fue de 
S/ 2656,48 el uno de marzo. Durante marzo, 
Araceli depositó S/ 1824,36 que recibió de la venta 
de bienes, S/ 8973,32 pagados por clientes en sus 
cuentas y S/ 136,49 por reembolso de impuestos. 
Ella pagó S/ 7845,61 por mercadería, S/ 647,29 
por salarios y S/ 1346,83 por otros conceptos. 
Calcula su saldo al final de marzo.
Resolución:
Rpta. Rpta.
125MateMática Delta 1 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
 Paola ha comprado 500 g de chorizo a S/ 23,45 el 
kilogramo, y 1,5 kilogramos de queso a S/ 19,25 
el kilogramo. Si ha pagado con un billete de S/ 100, 
¿cuánto recibió de vuelto?
1
 A S/ 14,60 B S/ 40,60
 C S/ 48,70 D S/ 51,30
 E S/ 59,40
 A S/ 142,50 B S/ 152,50 
 C S/ 112,50 D S/ 187,50 
 E S/ 120,50 
 El perímetro de un cuadrado mide 24,8 cm. 
¿Cuánto mide su área?
2
 Un pastelero vendió en un día 7 docenas y 
media de pasteles de crema a S/ 0,75 cada uno, 
y 5 docenas de pasteles de chocolate a S/ 1,25 
cada uno. ¿Cuánto dinero recaudó ese día por la 
venta? 
3
 A 99,2 cm2 B 38,44 cm2 
 C 49,60 cm2 D 74,40 cm2
 E 37,20 cm2
 Jeremías está afiliado a una compañía telefónica 
que le cobra la llamada a S/ 0,03 el minuto; si 
realiza una llamada con otra operadora, le cuesta 
S/ 0,045 por minuto. ¿Cuánto ahorraríaal mes si 
hablara 12,1 horas eligiendo la mejor oferta? 
4
 Según la academia nacional de ciencias de 
EE. UU., un niño o niña de 9 a 13 años deberá 
consumir diariamente como mínimo 2,1 L de agua 
potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos 
espaciados equitativamente a lo largo del día. 
¿Cuál es la cantidad mínima de agua que debe 
contener cada vaso?
5
 En la siguiente tabla presentamos la cantidad en 
miligramos (mg) de fósforo presentes en un 
gramo (g) de algunos tipos de carnes de consumo 
habitual:
6
Si una persona come 150 g de cada una de las 
carnes mencionadas en la tabla y 250 g de seso de 
vacuno, ¿qué cantidad de fósforo está ingiriendo?
 A 1992 mg B 800 mg
 C 1120 mg D 958 mg
 E 1274,5 mg
Carnes Fósforo(mg por g de parte comestible)
seso de vacuno 2,11
chuleta de cerdo 0,87
lomo fino 0,95
sancochado 1,05
 A 0,280 L B 0,270 L
 C 0,265 L D 0,285 L
 E 0,290 L
A S/ 21,78 B S/ 32,67 C S/ 9,75
D S/ 15,82 E S/ 10,89
126126
 A S/ 13,455 B S/ 12,855
 C S/ 23,555 D S/ 25,555
 E S/ 14,535
 En un supermercado es posible encontrar los 
siguientes precios por kilogramo de cada producto: 
duraznos (S/ 6,40), manzanas (S/ 4,50), tomates 
(S/ 7,50), queso (S/ 13,90), papas (S/ 3,00), pan 
(S/ 6,00), entre otros.
 Si Anastasia compra 3,6 kg de manzanas, 500 g 
de tomates, 1,8 kg de duraznos, 6,25 kg de papas, 
750 g de queso y 2,3 kg de pan ¿cuánto será su 
vuelto si paga con dos billetes de S/ 50?
8
 Un vehículo de transporte de turistas tiene una 
tara (masa sin carga) de 1030,25 kg. La masa 
máxima autorizada para este tipo de vehículo es de 
 1695 kg. Una mañana suben a él cinco pasajeros. 
La masa corporal de dos de ellos es de 71,3 kg y 
la de los otros tres es de 78,5 kg. 
 La masa corporal del chofer es de 67,5 kg. Una 
vez que los pasajeros están dentro del vehículo, 
¿cuál es la masa máxima que puede cargar como 
equipaje?
9
 A 219,15 kg B 293,85 kg
 C 308,25 kg D 272,25 kg
 E 310,45 kg
 Halla (a × b + c × d + e2), sabiendo que: 
 a,bcde = 
13
9 + 
7
40 
10 Juan compró 13 bolsas y media de harina. Si cada 
bolsa contiene 0,75 kg, ¿cuánta harina compró?
7
 A 9,750 kg B 9,900 kg 
 C 100,500 kg D 10,125 kg
 E 10,350 kg
 A 54,825 km B 83,100 km
 C 91,375 km D 73,100 km
 E 109,65 km 
 Una carretera de 127,925 km se ha ido entregando 
en tramos iguales. Si se entregaron un total de 
7 tramos, ¿cuál era el largo construido en la 
carretera tras la entrega del cuarto tramo?
12
A 56 B 48 C 39
D 31 E 52
 A S/ 13,62 B S/ 12,25
 C S/ 12,20 D S/ 13,09
 E S/ 10,85
 Supongamos que se va a preparar un asado 
en tu casa. Tu mamá te pide que vayas a 
comprar el carbón. Al llegar al supermercado, 
encuentras dos tipos de bolsas selladas; unas 
con 2,5 kg a S/ 1,87 por kilogramo y otras con 
4,3 kg a S/ 1,75 por kilogramo. ¿Cuánto dinero 
tendrías que gastar si llevas una bolsa de cada 
tipo? 
11
Nivel II
127MateMática Delta 1 - aritMética 127
 A 4,67 m B 5,28 m
 C 4,26 m D 5,76 m
 E 4,86 m
 En la plaza de armas de un pueblo hay muchos 
árboles. Uno de ellos crece 20,75 cm al año. 
¿Cuánto medirá al cabo de 8 años si inicialmente 
medía 2,6 m?
13
 A 48 g B 480 g
 C 420 g D 50 g
 E 0,48 g
 De una bolsa de arroz de 2,5 kg sacamos 1,06 kg. 
Si lo que queda en la bolsa lo repartimos en tres 
bolsas, ¿qué masa, en gramos, tendrá cada una?
17
 A 1109,250 m B 1140,063 m
 C 1232,500 m D 1602,250 m
 E 708,688 m
 Magaly ha dado 13 vueltas a una plaza trotando. 
Cuando llevaba la cuarta parte de la décima vuelta 
se detuvo a tomar agua. Si en cada vuelta recorrió 
123,25 m, ¿qué distancia llevaba trotando cuando 
se detuvo?
15
 A un supermercado llegan cajas de conservas con 
24 latas cada caja. Si la masa de cada caja con 
conserva es de 12,720 kg, ¿cuál es la masa, en 
gramos, de cada lata con conserva?
16
 Para realizar la instalación eléctrica en una casa 
se necesitan 78,6 m de cable. Si el cable se vende 
en rollos de 50 m a S/ 0,73 el metro y también en 
rollos de cuatro metros y medio que cuesta S/ 3,60, 
y no se venden trozos de menor o mayor longitud. 
Determina cuál será el costo de la compra de cable 
para la instalación.
14
 Un edificio de 8 pisos tiene una altura de 29,52 m. 
Encuentra la altura aproximada del cuarto piso si el 
primero tiene 3,96 m de altura y los otros 7 tienen 
cada uno la misma altura.
18
A 520 g B 525 g C 540 g
D 510 g E 530 g
A S/ 76,24 B S/ 60,13 C S/ 73,70
D S/ 62,88 E S/ 61,70
A 3,72 m B 3,81 m C 3,45 m
D 3,65 m E 3,37 m
128128
 Una vendedora compra 53 manzanas a S/ 0,38 
cada una. Si se le malogran nueve manzanas y 
vende las restantes a S/ 0,62 cada una, ¿cuánto 
será su ganancia?
19
 Roberto compró trece cuadernos y, ocho y media 
docena de lápices. Si cada cuaderno costó 
 S/ 6,70 y en total gastó S/ 136,60, ¿cuánto costó 
cada lápiz? 
20
 A S/ 210,30 B S/ 223,30 
 C S/ 203,30 D S/ 218,30
 E S/ 276,10
 Un carpintero gastó S/ 245,60 en comprar madera, 
pegamento, clavos; y en otros materiales S/ 147,80. 
Construyó ocho sillas y dos mesas; cada silla la 
vendió en S/ 56,50 y cada mesa en S/ 145,70. Si 
el gasto en mano de obra se estima que representa 
la mitad de los materiales, calcula de cuánto fue su 
ganancia.
21
 Un hombre adulto camina a razón de 5,7 km/h. Si ha 
caminado durantre 35 minutos, encuentra cuántos 
pasos ha realizado aproximadamente, sabiendo que 
el paso de un adulto varón equivale a 0,85 m.
24
A S/ 8,60 B S/ 11,20 C S/ 5,94
D S/ 6,86 E S/ 7,14
A S/ 1,78 B S/ 0,82 C S/ 0,88
D S/ 0,70 E S/ 0,49
 A S/ 2125,68 B S/ 2054,44 
 C S/ 2083,56 D S/ 2014,65
 E S/ 2108,86
 Carolina tiene la tercera parte de lo que tiene 
Jesús; y Jesús 3,25 veces lo que tiene Dora. Si 
Dora tiene S/ 474,1; ¿cuánto tienen entre Carolina 
y Jesús juntos?
22
 Halla (a2 + b2 + c + d + e2 + f), sabiendo que
 a,bcdef = 
17
8 + 
13
22 .
23
A 156 B 138 C 164
D 126 E 140
A 2889 B 2896 C 3299
D 3912 E 3966
 
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
129MateMática Delta 1 - aritMética
5 Halla la suma de los denominadores de aquellas 
fracciones de la forma 28
n
, la cual es una fracción 
impropia e irreductible menor que 7
2
 .
4 Un recipiente contiene inicialmente cierta 
cantidad de agua. Si se consume los 38 del 
contenido y luego los 23 de lo que aún queda y por 
último de lo que está sobrando se derrama los 35. 
¿Cuántos litros de agua contenía inicialmente el 
recipiente, si sobran 4 litros?
Calcula el numerador de una fracción equivalente 
a 3
5
, sabiendo que la diferencia de los cuadrados 
de sus términos es 1024.
1
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Determina la suma de los divisores del numerador 
de aquella fracción propia cuyos términos se 
diferencian en 10 y el producto de sus términos 
resulta 375.
2
Los 3
5
 de los miembros de un club son mujeres. Si 
4
7
 de los hombres son casados y hay 18 hombres 
solteros, encuentra la diferencia entre la cantidad 
de hombres y mujeres. 
3 Descubre la suma de los denominadores de 
dos fracciones irreductibles que tengan por 
numerador a 3 y por denominadores dos 
números que se diferencian en 2, tales que entre 
ellas se encuentre la fracción 5
16
.
6
18A
24
20B
21DC
24A
18
21B
28DC
16A
32
24B
56DC
48 LA
56 LC
52 L 
60 LD
B
147A
150
159B
144DC
20A
19
16B
18DC
130
Ángela va al mercado a comprar 3 kilogramos 
de carne de ternera a S/ 11,75 el kilogramo, y 
2 kilogramos de merluza a S/ 13,20 el kilogramo. 
Si paga con un billete de S/ 100, ¿cuánto recibe 
de vuelto?
7 Una mujer adulta camina a razón de 4,8 km/h.Si 
ha caminado durante 35 minutos, calcula cuántos 
pasos ha realizado, sabiendo que el paso de una 
mujer adulta equivale a 0,72 m.
10
Una pequeña industria del sector químico 
dedicado al rubro de fertilizantes agrícolas fabrica 
diariamente 540 kgde amoniaco y 460 kg de 
úrea. El precio de venta por tonelada de producto 
en mercados internacionales es de S/ 30 para 
el amoniaco, y S/ 20 para la úrea. ¿A cuánto 
asciende el dinero recaudado por las ventas de 
la producción semanal de ambos productos, si lo 
producido es vendido íntegramente?
11
El automóvil de Marcos consume 6,7 L de gasolina 
cada día laboral (lunes a viernes), mientras que 
en el resto de días de la semana consume 17,4 L 
diariamente. Si el litro de gasolina cuesta S/ 6,8 
¿cuánto dinero aproximadamente gasta Marcos 
en gasolina en una semana?
12
Pedro necesita comprar lentes ópticos para su 
hijo. El día de la compra le dicen que el valor 
de los lentes es de 85,32 dólares y cada dólar 
equivale a S/ 3,25. ¿Cuánto es lo que debe pagar 
Pedro en soles?
9
Se quiere embotellar 20,25 litros de zumo de uva 
en botellas de 0,75 litros de cada una. ¿Cuántas 
botellas se necesitarán?
8
S/ 276,25A
S/ 255,96C
S/ 277,23B
S/ 277,29D
24A
28C
27B
22D
S/ 51,551A
S/ 58,75C
S/ 25,15B
S/ 38,35D
3899A
3889C
3989B
3998D
S/ 177,8A
S/ 187,8C
S/ 175,4B
S/ 180,6D
S/ 321,27A
S/ 348,67C
S/ 464,44B
S/ 425,83D
Tema
131MateMática Delta 1 - aritMética
Divisibilidad
•	 abc	es	divisible	por	5	se	escribirá	como
							A =	n	×	k	∈ , entonces	diremos	que:
Ejemplos:
Ejemplos:
Una	forma	de	comprobar	la	divisibilidad	es	recurriendo	a	la	división	euclidiana,	la	cual	indica:
Si	r	=	0,	tendremos	que	A	=	n	×	k,	de	allí	que	n	>	0.
Definición
Se	dice	que	un	número	entero	A	es	divisible	por	un	entero	positivo	n,	si	el	primer	número	
resulta	de	multiplicar	el	segundo	por	un	entero	k;	es	decir:
si	A	∈ ,	n	∈ +	y	∃ k∈ tales	que:
Notación
Divisores y múltiplos de un número
Un	 número	 entero	 positivo	 es	 divisor	 de	 otro	 entero,	 si	 cumple	 la	 definición	 de	 la	
divisibilidad.
•	 A	es	divisible	por	n
•	 n	es	divisor	de	A
•	 A	es	múltiplo	de	n
•	 45	es	divisible	por	9,	porque	45	=	9(5)
•	 –84	es	divisible	por	7,	porque	–84	=	7(–12)
Ejemplos:
•	 24	=	1(24)	=	2(12)	=	3(8)	=	4(6)	=	6(4)	=	8(3)	=	12(2)	=	24(1)
	 Entonces	los	divisores	de	24	son:	{1;	2;	3;	4;	6;	8;	12;	24}
•	 –18	=	1(–18)	=	2(–9)	=	3(–6)	=	6(–3)	=	9(–2)	=	18(–1)
	 Entonces	los	divisores	de	–18	son:	{1;	2;	3;	6;	9;	18}
Los	múltiplos	de	un	entero	n	son	aquellos	que	provienen	de	multiplicar	n	por	cualquier	
otro	entero.
Ejemplos:
•	 Los	múltiplos	de	12	son:		 {...;	–24;	–12;	0;	12;	24;	...}
•	 Los	múltiplos	de	–8	son:		 {...;	–16;	–8;	0;	8;	16;	...}
cumpliéndose									A	=	n	×	k	+	r									y									n	>	r		≥	0		A 		n		r 			k
A	 	n	
A	=	n	×	k 	
91	 	7	
91	=	7	×	(13	)	 	
abc	=	5
abc	=	5	×	(k)
El	símbolo	n	se	
utiliza	para	expresar	
una	relación	de	
divisibilidad	mas	
no	para	realizar	
operaciones.
El	símbolo	 	es	
utilizado	en	la	teoría	
de	la	divisibilidad	
para	expresar	la	
equivalencia	entre		
dos	expresiones.	
¿Sa bía s qu e.. .?
Si	A	no	es	divisible	
por	n,	escribiremos:
A	 	n
Recu e rda
7
A	es	divisible	por	n	se	denotará	como
•	 91	es	divisible	por	7	se	denotará	como
132
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
•		3756	 	2			porque	su	última	cifra	6	 	2
•		a5b0	 	2			porque	su	última	cifra	0	 	2
•		5475	 	3			porque	5	+	4	+	7	+	5	=	21	 	3
•		2454	 	3			porque	2	+	4	+	5	+	4	=	15	 	3
•		3728	 	4			porque	sus	dos	últimas	cifras	28	 	4
•		5n00	 	4			porque	sus	dos	últimas	cifras	00	 	4
Criterios de divisibilidad por ciertos números
Los	criterios	de	divisibilidad	son	reglas	prácticas	que	aplicadas	sobre	las	cifras	de	un	
número	entero,	permiten	saber	si	este	es	divisible	o	no	entre	otro	entero	positivo,	sin	
necesidad	de	efectuar	la	división	euclidiana.
Divisibilidad por 2
Un	número	entero	es	divisible	por	2,	cuando	su	última	cifra	es	0	o	un	múltiplo	de	2.
Divisibilidad por 3
Un	número	entero	es	divisible	por	3,	si	la	suma	de	cifras	del	número	es	múltiplo	de	3.
Divisibilidad por 4
Un	número	entero	es	divisible	por	4,	si	el	número	formado	por	sus	dos	últimas	cifras	(en	
el	mismo	orden	que	se	encuentran)	son	ceros	o	forman	un	múltiplo	de	4.
El	número	1	es	el	
único	número	que	
tiene	un	solo	divisor.
¿Sa bía s qu e.. .?
El	0	es	el	único	
número	que	es	
divisible	por	cualquier	
otro	número.
Divisibilidad por 5
Un	número	entero	es	divisible	por	5,	cuando	su	última	cifra	es	0	o	es	5.
Ejemplos:
Ejemplos:
•		2625	 	5			porque	la	última	cifra	es	5.
•		57a0	 	5			porque	la	última	cifra	es	0.
•		2000	 	8					porque	sus	tres	últimas	cifras	000	 	8
•		nn752	 	8			porque	sus	tres	últimas	cifras	752	 	8
Divisibilidad por 8
Un	número	entero	es	divisible	por	8,	si	el	número	formado	por	sus	tres	últimas	cifras	(en	
el	orden	que	se	encuentran)	son	ceros	o	forman	un	múltiplo	de	8.
Ejemplos:
•		7164	 	9			porque	7	+	1	+	6	+	4	=	18	 	9
•		8784	 	9			porque	8	+	7	+	8	+	4	=	27	 	9
Divisibilidad por 9
Un	número	entero	es	divisible	por	9,	si	la	suma	de	las	cifras	del	número	es	múltiplo	de	9.
Otro	criterio	que	se	
usa	para	determinar	la	
divisibilidad	por	8	es	el	
siguiente:
Al	sumar	la	cifra	de	
unidades	con	el	doble	
de	cifra	de	las	decenas	
con	el	cuádruple	de	la	
cifra	de	las	centenas,	
el	resultado	es	divisible	
por	8.
56456	 	8
porque	
6	+	2(5)	+	4(4)		=	32	 	8
Not a
133MateMática Delta 1 - aritMética
Ejemplos:
•		9273	 	11		porque	(9	+	7)	–	(2	+	3)	=	11	 	11	
•		4576	 	11		porque	(4	+	7)	–	(5	+	6)	=	0	 	11	
•		10	989	 	11		porque	(1	+	9	+	9)	–	(0	+	8)	=	11	 	11	
Divisibilidad por 11
Un	número	entero	es	divisible	por	11	cuando	la	diferencia	entre	la	suma	de	sus	cifras	
de	lugar	impar	con	la	suma	de	cifras	de	lugar	par	da	como	resultado	0	o	cualquier	otro	
múltiplo	de	11.
Ejemplos:
Divisibilidad por 7
Un	número	entero	es	divisible	por	7,	si	al	multiplicar	cada	una	de	sus	cifras	respectivas,	
de	derecha	a	izquierda,	por	los	números:	1;	3;	2;	–1;	–3;	–2;	1;	3;	2;	...	y	después	de	
efectuar	la	suma	de	estos	productos,	este	resulta	ser	0	o	cualquier	otro	múltiplo	de	7.
•	 4 5 7 4 5 	 	7	 porque	(–12	–	5	+	14	+	12	+	5)	=	14	 	7
•	 a b c a b c	 	7	 porque	(–	2a	–	3b	–	c	+	2a	+	3b	+	c)	=	0	 	7
–3	–1		2		3		1
–2	
																																																							
–3		–1			2				3				1
Ejemplos:
Divisibilidad por 25
Un	número	entero	es	divisible	por	25,	si	el	número	formado	por	sus	dos	últimas	cifras	
(en	el	orden	en	que	se	encuentran)	es	múltiplo	de	25.	Esto	quiere	decir	que	sus	dos	
últimas	cifras	pueden	ser	00;	25;	50	o	75.
•	 			5400	 	25	porque	sus	dos	últimas	cifras	00	 	25	
•	 			4025	 	25	porque	sus	dos	últimas	cifras	25	 	25	
•	 11	175	 	25	porque	sus	dos	últimas	cifras	75	 	25	
Otra	regla	para	el	7	es	
la	siguiente:
Al	separar	la	última	
cifra,	duplicarla	y	
restarla	del	número	
formado	por	las	cifras	
restantes,	la	diferencia	
es	un	número	divisible	
por	7.
¿3416	 	7?
Separamos	el	6,	lo	
duplicamos	(12),	ahora	
restamos.
341	–	12	=	329
Ahora	repetimos	con	
329:	
¿329	 	7?
Separamos	el	9,	lo	
duplicamos	(18),	ahora	
restamos	32	–	18	=	14	
y	14	 	7
Finalmente	3416	 	7
¿Sa bía s qu e.. .?
Pitágoras
Considerado	el	padre	de	la	matemática	griega,	fundador	de	la	escuela	pitagórica	
donde	se	hacían	cultos	religiosos	y	matemáticos.
En	 una	 ocasión,	 un	 discípulo	 de	 Pitágoras	 le	 consultó	 sobre	 la	 edad	 de	 su	
esposa	Teano.	
Él	contestó:	‒Teano	es	una	mujer	perfecta,	su	edad	es	un	número	perfecto.	
–¿Podría	darme	más	información?	‒pidió	el	joven.	
–La	 edad	 de	 Teano	 –dijo	 Pitágoras–	 es	 el	 número	 de	 sus	 extremidades,	
multiplicado	por	el	número	de	sus	admiradores,	que	es	un	número	primo.
¿Sabías que...?
134
Resolución:
Si	el	número	a4a3aaa	es	divisible	por	9,	calcula	el	valor	de	a.
Como	a4a3aaa	 	9	 entonces
a	+	4	+	a	+	3	+	a	+	a	+	a	 	9
5	×	a	+	7	 	9
5	×	(4)	+	7	 	9	(a	=	4	porque	5	×	4	+	7	=	27,	que	es	divisible	por	9)
∴	a	=	4
1
2
Resolución:
Sabiendo	que	7a4b4	es	divisible	por	8,	determina	los	valores	que	puede	tomar	b.	
Dar	como	respuesta	la	suma	de	dichos	valores.
Entonces,	b	es	2	y	6,	la	suma	de	sus	valores	es	2	+	6	=	8
Como	7a4b4	 	8							debe	cumplirse	que:
	 4b4	 	8	
	 424			 (b	=	2	y	424	es	divisible	por	8)464			 (b	=	6	y	464	es	divisible	por	8)
Resolución:
Si	el	número		a8a3aa	es	divisible	por	3,	halla	los	valores	que	puede	tomar	a.	Dar	
como	respuesta	la	suma	de	dichos	valores.
Descomponer	en	factores	primos	los	siguientes	números.
Ejemplo	a	descomponer	84
84	=	22	×	3	×	7
84	 2	 (mitad)
42	 2	 (mitad)
21	 3	 (tercia)
		9	 7	 (séptima)
		1
Entonces,	a	=	1;	4	y	7;	y	la	suma	de	dichos	valores	es	1	+	4	+	7	=	12
Como	a8a3aa	 	3								entonces
	 a	+	8	+	a	+	3	+	a	+	a	 	3	
	 		4	×	a	+	11	 	3	
	 					4(1)	+	11	=	15
	 					4(4)	+	11	=	27
	 					4(7)	+	11	=	39
	 84	 =	 22	× 3 × 7		
	 240	 =	 25	× 3 × 5		
	 588	 =	 22	× 3 × 72
	1300	 =	 22	× 52	× 13
3
4
Aplicando	la	regla	
alternativa	del	8.
4	+	2	×	b	+	4(4)	 	8
20	+	2	×	b	 	8
20	+	2(2)	 	8
20	+	2(6)	 	8
Entonces,	b	=	2;	6.
Not a
Ejercicios resueltos
Rpta. El	valor	de	a	es	4.
Rpta. La	suma	de	los	valores	de	b	es	8.
Rpta. La	suma	de	los	valores	de	a	es	12.
135MateMática Delta 1 - aritMética
1 2Si	el	número	a5aa8	es	divisible	por	7,	calcula	los	
valores	que	puede	tomar	a.	Da	como	respuesta	la	
suma	de	dichos	valores.
Resolución:
Divisibilidad
Por	2 Su	última	cifra	debe	ser	0	o	un	múltiplo	de	2.	Ejemplos:	5018;	3026;	13570
Por	4 Sus	dos	últimas	cifras	deben	ser	ceros	o	formar	un	número	múltiplo	de	4.Ejemplos:	7056;	9200
Por	8 Sus	tres	últimas	cifras	deben	ser	ceros	o	formar	un	número	múltiplo	de	8.	Ejemplos:	1160;	7000
Por	3 El	resultado	de	sumar	sus	cifras	debe	ser	un	múltiplo	de	3.	Ejemplos:		a)	1527	→	1	+	5	+	2	+	7	=	15																				b)	3261	→	3	+	2	+	6	+	1	=	12
Por	9 El	resultado	de	sumar	sus	cifras	debe	ser	un	múltiplo	de	9.	Ejemplos:		a)	7425	→	7	+	4	+	2	+	5	=	18																				b)	1998	→	1	+	9	+	9	+	8	=	27
Por	7
Se	multiplican	las	cifras	del	número	por	+1;	+3;	+2;	–1;	–3;	–2;	…	empezando	por	la	última	cifra,	se	
suman	los	resultados	y	debe	obtenerse	un	múltiplo	de	7.	
Ejemplo:	3626	=	6(+1)	+	2(+3)	+	6(+2)	+	3(–1)	=	6	+	6	+	12	–	3	=	21	=	7 	
Entonces,	3626	es	divisible	por	7.
Por	11
Las	cifras	del	número	se	multiplican	por	+1	y	–1,	alternadamente	y	empezando	por	la	última	cifra,	se	
suman	los	resultados	y	debe	obtenerse	un	múltiplo	de	11.
Ejemplo:	1969	=	9(+1)	+	6(–1)	+	9(+1)	+	1(–1)	=	9	–	6	+	9	–	1	=	11
Entonces,	1969	es	divisible	por	11.
Si	el	número	23a9a	es	divisible	por	7,	calcula	los	
valores	que	puede	tomar	a.	Da	como	respuesta	la	
suma	de	dichos	valores.
Resolución:
C
r
iT
E
r
iO
S
	D
E
	D
iv
iS
ib
iL
iD
A
D
Rpta. Rpta. 
S
e	
an
al
iz
an
	la
s	
úl
tim
as
	c
ifr
as
S
e	
su
m
an
	
su
s	
ci
fra
s
Síntesis
Modela y resuelve 
136
43 Si	el	número	bab5aa	es	divisible	por	72,	halla	el	
valor	de	(a2	+	b2).
Resolución:
Si	el	número	aba5bb2	es	divisible	por	72,	halla	el	
mayor	valor	de	a2	+	b2.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
65 Si	el		número		a8ba		es		divisible		por		25,	determina	
los	valores	correspondientes	de	a	×	b.	Da	como	
respuesta	la	suma	de	dichos	valores.
Resolución:
Si	 el	 número	aba	 es	 divisible	 por	 25,	 determina	
los	valores	correspondientes	de	a	+	b.	Da	como	
respuesta	la	suma	de	dichos	valores.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
137MateMática Delta 1 - aritMética
87 Encuentra	el	valor	de	b	+	a,	si		4ab58a	es	divisible	
por	56.
Resolución:
Sabiendo	que	a3b27a	es	divisible	por	56	y	b	≠	0;	
entonces	encuentra	el	valor	de	a2	+	b.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
109 Si		el		número		2aba9a		es	divisible	por	28,	calcula	
el	mayor	valor	de	a	×	b,	sabiendo	que	a	≠	b.
Resolución:
Si		el		número		3baa5a		es	divisible	por	28,	calcula
a	×	b,	sabiendo	además	que	a	≠	2	y	b	≠	0.
Resolución:
Rpta. Rpta.									
138
14 Si	 el	 número	 7abaaab	 es	 divisible	 por	 45,	
encuentra	los	valores	correspondientes	de	ab.	Da	
como	respuesta	la	suma	de	estos	valores.
Resolución:
Rpta. 
	
13 Si	el	número	3ba5b2	es	divisible	por	72,	determina	
el	mayor	valor	correspondiente	de	a	×	b.
Resolución:
Rpta.		
	
1211 Si	el	número	b92aba3a	es	divisible	por	88,	halla	
el	valor	de	a	×	b.
Resolución:
Si	 	el	 	número	b732baa5a	es	 	divisible	 	por	 	88,	
halla	el	valor	de	a	+	b2.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
139MateMática Delta 1 - aritMética
16
1817
Sabiendo	que	5aba12	es	divisible	por	72,	encuentra	
el	mayor	valor	correspondiente	de	a	×	b.
Resolución:
Si	el	número	a3b7aa	es	divisible	por	45,	calcula	el	
valor	de	a2	+	b2.	
Resolución:
Si	el	número	a1b2a5aa	es	divisible	por	72,	calcula	
el	valor	de	a2	+	b2.	
Resolución:
	
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
		
15 Si	el	número	5a9ab	es	divisible	por	45,	determina	
los	 valores	 correspondientes	 de	 ab.	 Da	 como	
respuesta	la	suma	de	estos	valores.
Resolución:
Rpta. 
140
19 20Halla	la	suma	de	valores	correspondientes	de	ab,	
sabiendo	que	el	número	aabbb 	es	divisible	por	36.
Resolución:
Halla	la	suma	de	los	valores	correspondientes	de	
a	×	b,	si	1bab25a	es	divisible	por	24.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
21 22Si	el		número		b7a42a	es	divisible	por	72,	determina	
el	valor	de	a	+	b2.	
Resolución:
Si	 el	 número	 ba7a4bb	 es	 divisible	 por	 45,	
determina	el	valor	de	a2	+	b.	
Resolución:
Rpta.		 Rpta.		
	 	
141MateMática Delta 1 - aritMética
4 Si	el	número	32a8a	es	divisible	por	7,	calcula	el	
valor	de	a.
1 Si	el	número	2aa5a6a	es	divisible	por	9,	calcula	
el	valor	de	a.
6 Si	 el	 número	a3a	es	divisible	 por	 5,	 también	 se	
sabe	que	6aba	es	divisible	por	9,	y	anbnanb	es	
divisible	por	8.	Determina	 los	valores	que	puede	
tomar	 n,	 da	 como	 respuesta	 la	 suma	 de	 dichos	
valores.
A 	 12	 B 	 18	 C 	 20
D 	 24	 E 	 30
A 	 15	 B 	 12	 C 	 13
D 	 14	 E 	 16
2 Si	7a4ba	es	divisible	por	8,	halla	cuántos	valores	
puede	tomar	b.
A 	 3	 B 	 5	 C 	 8
D 	 7	 E 	 6
3 Si	 el	 número	 a5ab33b	 es	 divisible	 por	 11,	
determina	el	valor	de	a.
A 	 8	 B 	 9	 C 	 7
D 	 6	 E 	 10
A 	 8	 B 	 7	 C 	 6
D 	 5	 E 	 4
5 Si	el	número	a5a7	es	divisible	por	11	y	5a3nn	es	
divisible	por	8,	encuentra	el	valor	de	a	×	n.
A 	 3	 B 	 7	 C 	 8
D 	 6	 E 	 5
Nivel I
Practica y demuestra
142
12 Si	el	número	a4a3aaa	es	divisible	por	9,	encuentra	
el	valor	de	a.
10 Si	el	número	b92aba3a	es	divisible	por	88,	calcula	
a	×	b.
11 Si	el	número	2aba9a	es	divisible	por	28,	halla	el	
menor	valor	de	a	×	b,	sabiendo	que	a	≠	b.
7 Si	el	número	a5a62aa 	es	divisible	por	3	y	5abab	es	
divisible	por	11,	halla	los	valores	correspondientes	
de	a	×	 b.	Da	 como	 respuesta	 la	 suma	de	estos	
valores.
8 Si	el	número	bab5aa	es	divisible	por	72,	encuentra		
el	valor	de	(a2	+	b2).
A 	 45	 B 	 50	 C 	 48
D 	 42	 E 	 41
9 	Si	el	número	5a9ab	es	divisible	por	45,	determina	
los	 valores	 correspondientes	 de	 ab	 y	 da	 como	
respuesta	la	suma	de	estos	valores.
A 	 40	 B 	 53	 C 	 73
D 	 41	 E 	 34
A 	 75	 B 	 80	 C 	 70
D 	 60	 E 	 65
A 	 12	 B 	 10	 C 	 12
D 	 14	 E 	 18
A 	 20	 B 	 28	 C 	 12
D 	 24	 E 	 36
A 	 3	 B 	 6	 C 	 5
D 	 4	 E 	 2
Nivel II
143MateMática Delta 1 - aritMética
13 Si	el	número	an4n2	es	divisible	por	8,	determina	
los	valores	que	puede	tomar	n.	Da	como	respuesta	
la	suma	de	estos	valores.
14 Calcula	para	qué	valores	de	a,	el	número	a5a12	
es	divisible	por	3.	Da	como	respuesta	la	suma	de	
dichos	valores.
16 Si	el	número	a207a8	es	divisible	por	11,	determina	
el	valor	de	a.
17 Si	el	número	23a9a	es	divisible	por	7,	encuentra	
los	valores	que	puede	tomar	a.	Da	como	respuesta	
la	suma	de	dichos	valores.
15 Si	 el	 número	 a8ba	 es	 divisible	 por	 25,	 halla	 la	
suma	de	todos	los	valores	posibles	de	a	×	b.
18 Si	el	número	4a3a	es	divisible	por	7	y	ab2ab5aa
es	divisible	por	9,	calcula	a	×	b.
A 	 9	 B 	 11	 C 	 12
D 	 10	 E 	 13
A 	 11	 B 	 12	 C 	 13
D 	 14	 E 	 15
A 	 40	 B 	 45	 C 	 35
D 	 55	 E 	 65
A 	 2	 B 	 3	 C 	 4
D 	 5	 E 	 6
A 	 12	 B 	 11	 C 	 10
D 	 9	 E 	 8
A 	 15	 B 	 17	 C 	 12
D 	 18	 E 	 24
144
Si	 el	 número	 b5baa6	 es	 divisible	 por	 36,	 halla	
los	valores	correspondientes	de	a	×	b.	Da	como	
respuesta	la	suma	de	estos	valores.
22
Si	el	número	bab3aa	es	divisible	por	24,	determina	
los	valores	correspondientes	de	a	×	b	y	da	como	
respuesta	la	suma	de	estos	valores.
23
Encuentrala	suma	de	los	valores	correspondientes	
de	a	×	b,	si	el	número	ab39a6	es	divisible	por	56.
24
Si	el	número	ab4aa	es	divisible	por	8;	ab2ba	es	
divisible	por	7	y	bacbc8	es	divisible	por	9,	encuentra	
los	valores	correspondientes	de	a	×	b	×	c.
20
Si	el	número	anb3a	es	divisible	por	4	y	ab7ba	es	
divisible	por	9,	calcula	los	valores	correspondientes	
de	a	×	 b.	Da	como	 respuesta	 la	 suma	de	estos	
valores.
21
Si	 el	 número	 5ca6a	 es	 divisible	 por	 8;	 anna	 es	
divisible	por	9	y	6cabcn	es	divisible	por	25,	halla	
los	valores	correspondientes	de	c	×	n.	Da	como	
respuesta	la	suma	de	estos	valores.
19
A 	 43	 B 	 54	 C 	 45
D 	 63	 E 	 58
A 	 192	 B 	 112	 C 	 120
D 	 126	 E 	 108
A 	 36	 B 	 42	 C 	 48
D 	 40	 E 	 46
A 	 116	 B 	 110	 C 	 108
D 	 100	 E 	 94
A 	 60	 B 	 68	 C 	 76
D 	 72	 E 	 80
A 	 76	 B 	 27	 C 	 73
D 	 52	 E 	 68
1
2
2
1
Nivel III
Tema
145MateMática Delta 1 - aritMética
Máximo común divisor 
y mínimo común múltiplo
A	=	n	×	K
Múltiplo
El	múltiplo	de	un	número	entero	n,	proviene	de	multiplicar	n	por	cualquier	otro	entero.
Ejemplos:
•		Determina	el	conjunto	de	los	múltiplos	de	36.
			Sus	múltiplos	son:	{...;	–108;	–72;	–36;	0;	36;	72;	108;	...}
•		Determina	el	conjunto	de	los	múltiplos	de	–14.
			Sus	múltiplos	son:	{...;	–28;	–14;	0;	14;	28;	...}
Según	lo	observado	podemos	inducir	que:
–		El	0	es	múltiplo	de	todos	los	números	enteros.
–		Los	múltiplos	de	un	número	pueden	ser	positivos	o	negativos.
–		El	conjunto	de	los	múltiplos	de	un	número	es	infinito.
Divisores y múltiplos de un número
Divisor
Un	número	entero	positivo	n	es	divisor	de	otro	entero	A,	si	cumple	 la	definición	de	 la	
divisibilidad.	Es	decir,	«A	resulta	de	multiplicar	n	por	un	entero	cualquiera	tal	como	K».
El	cual	se	lee:
•		A	es	divisible	por	n •		n	es	divisor	de	A
Ejemplos:
•		Determinemos	el	conjunto	de	los	divisores	de	36.
			Dado	que	36	=	1(36)	=	2(18)	=	3(12)	=	4(9)	=	6(6)
			Sus	divisores	son:	{1;	2;	3;	4;	6;	9;	12;	18;	36}
•		Determinemos	el	conjunto	de	los	divisores	de	200.
			Dado	que	200	=	1(200)	=	2(100)	=	4(50)	=	5(40)	=	8(25)	=	10(20)
			Sus	divisores	son:	{1;	2;	4;	5;	8;	10;	20;	25;	40;	50;	100;	200}
Según	lo	observado	se	puede	inducir	que:
–		Entre	los	divisores	de	un	número	entero	A,	siempre	encontraremos	la	unidad	1	y	el	
mismo	número	A.
–		Los	divisores	de	un	número	siempre	son	positivos.
–		El	conjunto	de	los	divisores	de	un	número	es	finito.
Ejemplos:
Máximo común divisor (mcd)
Dado	un	conjunto	de	dos	o	más	elementos	numéricos,	su	MCD	es	el	mayor	número	
entero	que	divide	exactamente	a	cada	uno	de	los	elementos	de	este	conjunto.
También	se	dice	que	el	MCD	de	dos	o	más	números	es	aquel	número	que	cumple	dos	
condiciones:
1.°	Es	un	divisor	común.
2.°	Es	el	mayor	de	estos	divisores	comunes.
•		Calcula	el	MCD	de	los	números	630;	990	y	1350
	 Usaremos	 la	 técnica	 de	 factorización,	 la	 cual	 consiste	 en	 factorizar	 los	 divisores	
comunes	que	tengan	hasta	agotarlos.
Un	número	mayor	
que	la	unidad	se	
llama	primo	si	tiene	
solamente	dos	
divisores.
Algunos	números	
primos	son:
2;	3;	5;	7;	11;	13;	...
Los	números	
primos	se	utilizan	
para	descomponer	
canónicamente	a	un	
número	compuesto.
Recu e rda
8
146
				•	 Calcula	el	MCD	de	183	;	242	y	842
	 Descomponemos	cada	número
	 18	=	2		×	32		 entonces	183	=	23	×	36
	 24	=	23	×	3		 entonces	242	=	26	×	32
	 84	=	22	×	3	×	7		 entonces	842	=	24	×	32	×	72
	 Luego:
 PROcESO
	 630		;		990		;		1350	 			10						(factorizamos	10)
	 		63		;				99		;			135	 					9						(factorizamos			9)
	 				7		;				11		;					15	 			No	hay	más	divisores	comunes
	 	 	 	 			Luego	MCD	(630;	990;	1350)	=	10	×	9
	 	 	 	 	MCD	(630;	990;	1350)	=	90
	 23	×	36			;		26	×	32			;			24	×	32	×	72							23						(factorizamos	23)
	 	1	×	 36			;		23	×	32 		;			2		×	32	×	72								32						(factorizamos	32)
	 					 		34			;		23	×	1				;			2	×	1		× 72						No	hay	más	factores	comunes
	 	 Luego	MCD	(183;	242;	842)	=	23	×	32
	 	 		 MCD	(182;	242;	842)	=	8	×	9	=	72
				•	 Determina	el	MCD	de	18	y	25.
	 18;	25					No	tienen	divisores	comunes
	 	 										excepto	la	unidad.
	 En	este	caso	vemos	que	uno	de	los	
números	es	divisor	del	otro,	entonces	
el	MCD	es	el	menor	de	ellos.
				•	 Halla	el	MCD	de	24	y	6
	 24	;		6					6	 					(factorizamos	6)
	 		4	;		1					
	 		PeSi
	 En	 este	 caso	 su	MCD	 (18;	 25)	 =	 1	
y	 se	 dice	 que	 estos	 números	 son	
primos entre sí	(PESi).
Si	A	y	b	son	PESi,	entonces	MCD(A;	b)	=	1
Mínimo común múltiplo (MCM)
Dado	un	conjunto	con	dos	o	más	elementos	numéricos,	su	MCM	es	aquel	número	entero	
positivo	que	contiene	exactamente	a	cada	uno	de	los	elementos	de	este	conjunto.
También	se	dice	que	el	MCM	de	dos	o	más	números	es	aquel	número	que	cumple	dos	
condiciones:
1.°	 Es	un	múltiplo	común
2.°	 Es	el	menor	múltiplo	común	positivo
Calcula	el	MCM	de	360;	540	y	630
Usaremos	la	técnica	de	la	factorización	total,	la	cual	consiste	en	factorizar	los	divisores	
comunes	 que	 tengan	 y	 luego	 los	 divisores	 no	 comunes	 hasta	 que	 los	 números	 se	
reduzcan	a	la	unidad.	
Ejemplos:
Descomponer	
canónicamente	un	
número	compuesto,	
consiste	en	expresar	
dicho	número	como	el	
producto	de	factores 
primos	o	potencias	
de	estos.
24	=	23	×	3
200	=	23	×	52
360	=	23	×	32	×	51
Import a nt e
MCD(24;	6)	=	6
147MateMática Delta 1 - aritMética
PROcESO
360		;		540		;		630		10						(divisor	común)
		36		;				54		;		63					9							(divisor	común)
			4			;					6			;			7						2							(divisor	no	común)
			2			;					3			;			7						2							(divisor	no	común)
			1			;					3			;			7						3							(divisor	no	común)
	 					1			;			7						7							(divisor	no	común)
														1						Luego	MCM(360;	540;	630)	=	10	×	9	×	22	×	3	×	7
	 	 	 	 			MCM(360;	540;	630)	=	7560
				•	 Calcula	el	MCM	de	los	números	183;	242;	842
23	×	36	;	26	×	32;	24	×	32	×	72					23	×	32	 (divisor	común)
				34				 ;				23					;				2	×	72	 2	 (divisor	no	común)
				34				 ;				22					;							72	 22	 (divisor	no	común)
				34					;				1														72	 34	 (divisor	no	común)
					1					 ;	 ;							72	 72	 (divisor	no	común)
	 	 															 								1																Luego	MCM(183;	242;	842)	=	23	×	32	×	2	×	22	×	34	×	72
	 	 	 																																			MCM(183;	242;	842)	=	26	×	36	×	72
Descomponer	
un	número	sería	
como	desmontar	
un	motor;	usando	
las	herramientas	
adecuadas	para	
cada	tornillo	y	cada	
tuerca,	cualquiera	
puede	aprender	a	
desmontar	un	motor.
Pero	sacar	a	
partir	de	las	
descomposiciones	
el	MCD	y	MCM	se	
asemeja	a	tener	
el	motor	del	coche	
desmontado	y	
lograr	que	una	
persona	aprenda	a	
recombinar	las	piezas	
para	conseguir,	
por	ejemplo,	hacer	
funcionar	el	motor	
de	una	motocicleta	
o	el	de	un	camión.	
Eso	ya	es	una	tarea	
mucho	más	díficil,	
que	requiere	conocer	
profundamente	el	
funcionamiento	
interno	del	motor.
Recu e rda
Teorema 1
Si	dos	números	A	y	b	son	primos	entre	sí	«PESi»,	entonces:
MCD(A;	b)	=	1	 	 MCM(A;	b)	=	A	× b
Teorema 2
Si	entre	dos	números	A	y	b	se	observa	que	A	es	divisor	de	b,	entonces:
MCD(A;	b)	=	A	 	 MCM(A;	b)	=	b
Teorema 3
Para	dos	números	A	y	b	se	cumple	que:
MCD(A;	b)	×	MCM(A;	b)	=	A	×	b
Teorema 4
Si	un	número	A	es	divisible	por	n1,	n2,	n3	y	así	sucesivamente	divisible	por	nk,	entonces	
dicho	número	A	será	divisible	por	el	MCM	de	n1;	n2;	n3;	...,	nk.
Teorema del MCD y MCM
				•	 Halla	el	MCM	de	los	números	18	y	25
•		Determina	el	MCM	de	24	y	6
En	este	caso,	vemos	que	los	dos	números	son	primos	entre	sí,	entonces	su	MCM	
se	obtiene	multiplicando	ambos	números.
18	;	25	 5		 (divisor	no	común)
18	;		5				5		 (divisor	no	común)
18	;		1				18		 (divisor	no	común)
	1												Luego			MCM(18;	25)	=	5	×	5	×	18
	 	 	 		MCM(18;	25)	=	25	×	18	=	450
24	;		6			6								(divisor	común)
	4		;		1			4								(divisor	no	común)
	1										Luego	MCM(24;	6)	=	6	×	4
	 	 											MCM(24;	6)	=	24
Si	A	y	b	son	PESi,	entonces	MCM(A;	b)	=	A	×	b
18	=	2	×	32,	entonces	183	=	23	×	36
24	=	23,	×	3,	entonces	242	=	26	×	32
84	=	22	×	3	×	7,	entonces	842	=	24	×	32	×	72
Descomponemos	cadanúmero:
148
Resolución:
1.°	 El	tiempo	que	debe	pasar	para	que	los	ciclistas	se	encuentren	cada	vez	en	el	
punto	de	partida	debe	ser	el	mismo	para	ambos	(común)	y	debe	contener	a	
15	y	18.
2.°	 Las	palabras	subrayadas	(común	y	contener)	nos	indica	que	debemos	utilizar	
el	MCM	de	18	y	15.
	 15		;		18			3								
	 	5		;				6				5								
	 	1		;				6				6								
	 	 		1				MCM(15;	18)	=	90								
3.°	 Si	imaginariamente	estiramos	la	pista	circular	y	lo	repetimos,	tendremos:
Rpta.	Se	encontrarán	por	segunda	vez	luego	de	180	s.
Este	valor	de	90,	significa	que	los	ciclistas	coincidirán	en	el	punto	de	partida	
cada	90	segundos.
1.er	encuentroPArTiDA 2.°	encuentro 3.er	encuentro
0	s 90	s 180	s 270	s
Dos	ciclistas	dan	vueltas	alrededor	de	una	pista	circular;	uno	de	ellos	realiza	una	
vuelta	completa	en	15	segundos	y	el	otro	en	18	segundos.	Si	partieron	juntos	en	
el	mismo	sentido	y	mantienen	la	misma	velocidad,	calcula	luego	de	qué	tiempo	
se	encontrarán	en	el	punto	de	partida	por	segunda	vez.
1
usando	el teorema 4
MCM(6;	8;	9)	=	72
N	–	1	 	6
N	–	1	 	8
N	–	1	 	9
1.°	 Sea	N	el	número	de	páginas	que	tiene	el	libro;	se	cumple	que:
	 300	<	N	<	400
2.°	 Dado	 que	 al	 contar	 el	 número	 de	 páginas	 por	 grupos	 siempre	 sobra	 una	
página,	entonces	al	quitar	esta	página	sobrante	el	conteo	por	grupos	(de	6	en	
6,	de	8	en	8,	de	9	en	9)	siempre	será	exacto.	Por	ello	planteamos:
Resolución:
El	número	de	páginas	que	tiene	un	 libro	de	ciencia	ficción	es	mayor	que	300	y	
menor	que	400.	Si	las	páginas	se	cuentan	de	6	en	6	sobra	una,	contando	de	8	en	
8	sobra	una	y	al	contarlo	de	9	en	9	también	sobra	una,	determina	cuántas	páginas	
tiene	este	libro.
2
Ejercicios resueltos
149MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta.	El	libro	tiene	361	páginas.
Entonces:
N	–	1	 	72	
N	–	1	=	72	×	k,		entonces	N	=	72	×	k	+	1
	 	 	 		Pero						300	<	N	<	400
	 	 	 																300	<	72	×	k	+	1	<	400
	 	 	 																											72(5)	+	1
	 	 	 																																361
	 	 	 		Entonces				k	=	5
	 	 	 																					N	=	361
Resolución:
60	significa	que	la	mayor	capacidad	(n)	del	envase	sería	de	60	l.
Rpta.	El	menor	número	de	envases	a	utilizar	es	17.
6	env											+												4	env														+														7	env				=				17
1.°	 Sea	n	la	capacidad	del	recipiente	a	utilizar.	Para	calcular	el	número	de	envases	
a	utilizar	por	cada	tipo	de	alcohol,	dividimos:
	 					360	l	 						;													240	l	 						;													420	l
								n	l /	envase													n	l /	envase																			n	l /	envase
	 Como	no	debe	sobrar	ni	faltar	alcohol,	entonces	estas	divisiones	deben	ser	
exactas.	 Por	 ello	 n	 es	 un	 divisor	 común	 de	 360;	 240	 y	 420.	 Las	 palabras	
subrayadas	indican	que	debemos	utilizar	el	MCD.
	 360		;		240		;		420			10
	 36		;		 24		;		 42			6
	 	6		;		 4		;		 7				MCD(360;	240;	420)	=	10	×	6	=	60
2.°	 Como	se	debe	utilizar	la	menor	cantidad	de	recipientes,	entonces	la	capacidad	
de	cada	recipiente	será	el	mayor	posible.	Por	consiguiente:
	 n	=	60
3.°	 Calculamos	el	número	de	envases	a	utilizar	para	cada	tipo	de	alcohol.
	 					360	l	 						;													240	l	 						;													420	l
								60	l /	env																		60	l /	env																								60	l /	env
Se	tienen	tres	cilindros	con	alcohol	de	diferentes	concentraciones:	uno	con	360	l,	
otro	con	240	l	y	el	tercero	con	420	l.	Se	desea	envasar	el	alcohol	en	recipientes	de	
igual	capacidad,	sin	que	sobre	ni	falte	alcohol;	halla	el	menor	número	de	recipientes	
que	debemos	utilizar.
3
Para	 que	 se	 cumpla	 la	
desigualdad	k	=	5
150
=	9	mayólicas							
Una	persona	desea	colocar	mayólica	de	forma	cuadrada	(porcelanato)	sobre	el	
piso	de	la	sala	de	su	casa.	La	sala	tiene	como	dimensiones	5,40	m	de	ancho	y	
6,00	m	de	largo.	Calcula	cuántas	mayólicas	enteras	se	necesitarán	comprar	para	
el	piso	de	la	sala,	si	estas	deben	ser	del	mayor	tamaño	posible.
4
1.°	 Convertimos	las	dimensiones	de	la	sala	en	valores	enteros.
	 Ancho	=	5,40	m	=	540	cm
	 Largo		=	6,00	m	=	600	cm
Resolución:
2.°	 Sea	 n	 la	 medida	 en	 cada	 lado	 de	 la	 mayólica	 cuadrada	 (n	 cm	 /	 mayólica)	
dibujamos	también	la	sala	y	unas	tres	mayólicas	al	interior.
3.°	 Calculamos	el	número	total	de	mayólicas	a	comprar.
Rpta. Se	debe	comprar	90	mayólicas	cuadradas	de	60	cm	por	lado.
	 Para	calcular	el	número	de	mayólicas	a	colocar	en	el	ancho	y	largo	de	la	sala,	
dividimos:
	 Luego,	la	medida	de	la	mayólica	(n)	podría	ser	60	cm	como	valor	máximo.
	 n	=	60
	 ⇒	 9	×	10	=	90	mayólicas
	 										540	cm	 																				600	cm	 						
									n	cm	/	mayólica																			n	cm	/	mayólica								
	 n	 es	 un	 divisor	 común,	 pues	 las	 divisiones	 son	 exactas,	 entonces		
calculamos	el	MCD	de	540	y	600.
	 540		600			10
	 		54				60			6
	 				9				10			MCD(540,	600)	=	10	×	6	=	60
n
n
mA
YÓ
LIc
A
n
n
540	cm
600	cm
=	10	mayólicas600	cm
60	cm	/	mayólica								
540	cm
60	cm	/	mayólica
151MateMática Delta 1 - aritMética
8
1 2La	línea	de	transportes	73	tiene	3	rutas	diferentes:	
la	73-A	pasa	por	un	paradero	x	cada	18	minutos,	la	
73-b	cada	15,	y	la	73-C	cada	12	minutos.	Calcula	
cada	cuánto	tiempo	como	mínimo	coinciden	en	el	
paradero.
Resolución:
Máximo común divisor Mínimo común múltiplo
Es	el	divisor	común	mayor	que	se	obtiene	entre	
dos	o	más	números.
Analizando	sus	términos:
Es	 el	 menor	 múltiplo	 común,	 diferente	 de	 cero,	
que	se	obtiene	entre	2	o	más	números.
Analizando	sus	términos:
En	forma	abreviada	escribimos	así:	MCD
Forma	práctica	para	hallar	el	MCD.
Sean	los	números:	18;	24	y	36.
En	forma	abreviada	escribimos	así:	MCM
Forma	práctica	para	hallar	el	MCM.
Sean	los	números:	18;	24	y	36.
MCD(18;	24;	36)	=	2	×	3	=	6
MCM(18;	24;	36)	=	23	×	32	=	72
18	;	24	;	36			2
		9	;	12	;	18			3
		3	;			4	;			6
18	;	24	;	36			2
		9	;	12	;	18			2
		9	;			6	;			9			2
		9	;			3	;			9			3
		3	;			1	;			3			3
		1	;			1	;			1
Máximo Mínimo
Es	el	mayor Es	el	menorSe	repite	en	todos	
los	términos
Se	repite	en	todos	
los	términos
Es	divisor	de	
todos	los	términos	
Es	múltiplo	de	
todos	los	términos
común comúndivisor múltiplo
En	 la	 estación	 central	 del	 metropolitano,	 en	
el	 horario	 de	6:00	a.	m.	hasta	 las	8:00	a.	m.	el	
súper	 expreso	 norte	 sale	 cada	minuto	 y	medio,	
el	expreso	2	sale	cada	dos	minutos,	y	el	expreso	
3	sale	cada	minuto.	Calcula	cada	cuánto	tiempo	
como	mínimo	coinciden	estos	buses.
Resolución:
Rpta.				 Rpta.				
Síntesis
Modela y resuelve 
152
Rpta.		 Rpta.				
Rpta.		 Rpta.																	
3 4
5 6
ricardo	 fabrica	 flores	 artificiales,	 y	 para	 los	
pétalos	utiliza	tres	tonalidades	de	rosado.	Estos	
tonos	 del	 rosado	 los	 tiene	 en	 tres	 cintas	 del	
mismo	ancho,	cuyas	medidas	son	de:	491,4	cm;	
388,8	 cm	y	442,8	 cm.	Halla	 cuántos	 trozos	del	
mismo	tamaño,	como	mínimo,	se	pueden	obtener	
al	cortar	estas	cintas	sin	desperdiciar.
Resolución:
Un	albañil	debe	cortar	varillas	de	fierro	en	pedazos	
del	mismo	tamaño.	Si	tiene	tres	varillas:	una	de	
1
2,	
otra	de	
3
4	y	la	última	de	1	pulgada.	Halla	cuántos	
pedazos	 como	 mínimo	 obtendrá	 si	 las	 varillas	
miden	5,76	m;	7,20	m	y	8,16	m.
Resolución:
Los	 alumnos	 de	 un	 colegio	 de	 primaria	 pueden	
ser	seleccionados	exactamente	en	grupos	de	9;	
12	 o	 15	 alumnos.	 ¿Cuántos	 alumnos	 hay	 como	
mínimo,	si	se	sabe	que	son	más	de	300?
Resolución:
Los	alumnos	de	un	colegio	de	secundaria	pueden	
ser	seleccionados	exactamente	en	grupos	de	18;	
24	 o	 20	 alumnos.	 ¿Cuántos	 alumnos	 hay	 como	
mínimo,	si	se	sabe	que	son	más	de	600?
Resolución:
153MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta.						 Rpta.					
Rpta.		 Rpta.		
7 8
9 10
Se	desea	 colocar	 postes	 igualmente	 espaciados	
en	el	perímetro	de	un	terreno	rectangular	de	684	m	
de	largo	por	540	m	de	ancho.	Si	se	sabe	que	debe	
colocarse	un	poste	en	cada	esquina	y	el	número	
de	postes	debe	ser	el	menor	posible,	determina	el	
número	de	postes	por	colocar.	
Resolución:
Se	desea	colocar	postes	 igualmente	espaciados	
en	 el	 perímetrode	 un	 terreno	 rectangular	 de	
280	m	de	largo	por	120	m	de	ancho.	Si	se	sabe	
que	debe	colocarse	un	poste	en	cada	esquina	y	
el	número	de	postes	debe	ser	el	menor	posible,	
determina	el	número	total	de	postes	por	colocar.	
Resolución:
La	 cantidad	 de	 casos	 por	 resolver	 que	 tiene	 el	
Poder	Judicial	no	pasan	de	15	000	y	se	pueden	
repartir	por	igual	a	72	juzgados	departamentales,		
o	 a	 32	 provinciales	 o	 a	 108	 distritales	 sin	 que	
sobre	 ni	 falte	 caso	 alguno.	 ¿Cuántos	 casos	 son	
como	máximo?
Resolución:
La	cantidad	de	libros	de	una	biblioteca	no	pasan	
de	10	000	y	se	pueden	empaquetar	por	docenas,	
de	27	en	27	y	de	48	en	48,	sin	que	sobre	ni	falte	
alguno.	¿Cuántos	son	como	máximo?
Resolución:
154
11 12Sobre	un	terreno	rectangular	de	432	m	de	ancho	
y	 1800	 m	 de	 largo,	 se	 van	 a	 sembrar	 árboles	
de	 mango	 que	 ocuparán	 parcelas	 cuadradas,	
suficientes	 para	 su	 crecimiento,	 desarrollo	
horizontal	y	riego.	Si	en	cada	parcela	se	sembrarán	
81	árboles	de	mango,	encuentra	cuántos	árboles	
de	mango	se	sembrarán	como	mínimo.
Resolución:
Sobre	 un	 terreno	 rectangular	 de	 2852	 m	 de	
ancho	 y	 3312	 m	 de	 largo,	 se	 van	 a	 sembrar	
árboles	 de	 manzanas	 que	 ocuparán	 parcelas	
cuadradas,	 suficientes	 para	 su	 crecimiento,	
desarrollo	 horizontal	 y	 riego.	 Si	 en	 cada	 parcela	
se	sembrarán	54	árboles	de	manzana,	encuentra	
cuántos	árboles	se	sembrarán	como	mínimo.
Resolución:
PA
Rc
EL
A
PA
Rc
EL
A
Rpta. Rpta. 
155MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta.		 Rpta.			
13 14Halla	la	menor	cantidad	(mayor	a	400)	de	panetones	
en	caja	que	hay	que	repartir	por	igual	entre	5;	6;	9	
o	12	vendedores,	de	tal	manera	que	en	cada	caso	
siempre	sobre	4	cajas.
Resolución:
Halla	la	menor	cantidad	(mayor	a	500)	de	lapiceros	
que	hay	que	 repartir	 por	 igual	 entre	8;	 10;	 12	o	
15	estudiantes,	de	tal	manera	que	en	cada	caso	
siempre	sobren	7	lapiceros.
Resolución:
15 16Lía	tiene	108	esferas	blancas,	72	rojas	y	90	azules.	
Si	con	estas	esferas	quiere	hacer	el	mayor	número	
de	collares	 iguales,	sin	que	sobre	ni	 falte	alguna	
esfera,	calcula	el	número	de	esferas	de	cada	color	
que	tendrá	cada	collar.
Resolución:
Eva	tiene	120	cuentas	verdes,	192	lilas	y	216	rojas.	
Si	con	estas	cuentas	quiere	hacer	el	mayor	número	
de	pulseras	iguales,	sin	que	sobre	ni	falte	cuentas,	
calcula	 el	 número	 de	 cuentas	 de	 cada	 color	 que	
tendrá	cada	pulsera.
Resolución:
Rpta.	 Rpta.	
156
1817
2019
El	número	de	panes	que	hay	en	una	canasta,	al	
ser	contado	de	12	en	12	sobran	7;	al	ser	contado	
de	15	en	15	también	sobra	7	y	al	ser	contado	de	
8	en	8	igualmente	sobran	7	panes.	Si	el	número	
de	panes	que	hay	en	la	canasta	está	comprendido	
entre	610	y	840,	¿cuántos	panes	tiene	la	canasta?
Resolución:
El	número	de	páginas	de	un	libro	está	comprendido	
entre	300	y	350.	Si	se	cuentan	de	6	en	6,	sobran	2;	al	
contarse	de	8	en	8	también	sobran	2	y	lo	curioso	es	
que	pasa	lo	mismo	al	contarlo	de	7	en	7.	¿Cuántas	
páginas	tiene	el	libro?
Resolución:
Marilú	y	Emilia	son	amigas	y	van	al	mismo	cine	
con	sus	respectivos	novios,	una	cada	18	días	y	la	
otra	cada	20	días.	Encuentra	cada	cuánto	tiempo	
coinciden	en	dicho	cine.
Resolución:
Arturo	 y	 Jaime	 son	 hermanos	 y	 visitan	 a	 su	
abuela,	uno	cada	15	días	y	el	otro	cada	12	días.	
Encuentra	 cuánto	 tiempo	 debe	 pasar	 hasta	
coincidir	la	próxima	vez	en	casa	de	la	abuela,	si	
hoy	estuvieron	con	la	abuela.
Resolución:
Rpta. Rpta.		
Rpta.								Rpta.										
157MateMática Delta 1 - aritMética
	 Un	viajero	va	a	barcelona	cada	18	días	y	otro	cada	
24	 días.	 Hoy	 han	 estado	 los	 dos	 en	 barcelona.	
¿Cuántas	 veces	 estarán	 los	 dos	 a	 la	 vez	 en	
barcelona	en	un	año?
1
	 Se	quiere	embaldosar	el	suelo	de	una	habitación	
que	tiene	5	m	de	largo	y	3	m	de	ancho.	Encuentra	
el	menor	número	de	baldosas	cuadradas	que	se	
necesitan	 de	 tal	 manera	 que	 no	 sea	 necesario	
cortar	ninguna	de	ellas.	
3
	 Halla	 el	 menor	 número	 de	 cuatro	 cifras,	 que	 al	
dividirlo	 separadamente	 por	 15;	 20;	 36	 y	 48,	 en	
cada	caso,	da	de	residuo	9.
2
	 A 	 3	veces	 B 	 4	veces
	 C 	 5	veces	 D 	 6	veces
		 E 	 7	veces
A 	 640	 B 	 720	 C 	 729
D 	 1449	 E 	 2400
A 	 3	 B 	 5	 C 	 10
D 	 15	 E 	 30
	 Calcula	cuántas	baldosas	como	mínimo,	de	forma	
cuadrada,	caben	un	número	exacto	de	veces	en	
una	sala	de	8	m	de	longitud	y	6,4	m	de	ancho.	
4 
A 	 40	 B 	 20	 C 	 16
D 	 10	 E 	 8
	 Un	turista	va	a	Punta	Cana	cada	18	días,	otro	va	
cada	15	días	y	un	tercero	va	cada	12	días.	El	10	
de	enero	del	2020	coincidieron	en	Punta	Cana	los	
tres	turistas.	¿Cuál	fué	la	fecha	más	próxima	en	la	
que	volvieron	a	coincidir?
6 
	 Un	ebanista	quiere	cortar	una	plancha	de	madera	
de	 256	 cm	 de	 largo	 y	 96	 cm	 de	 ancho,	 en	
cuadrados	 lo	 más	 grandes	 posibles.	 Determina	
cuántos	cuadrados	se	obtienen	de	la	plancha	de	
madera.	
5 
A 	 96	 B 	 80	 C 	 48
D 	 32	 E 	 24
	 A 	 6	de	julio	de	2020	
	 B 	 7	de	julio	de	2020
	 C 	 8	de	julio	de	2020
	 D 	 9	de	julio	de	2020
		 E 	 10	de	julio	de	2020
	
Practica y demuestra
Nivel I
158
8
9 12 Las	edades	de	dos	amigos	están	en	relación	de	
64	a	112.	Si	la	suma	del	mínimo	común	múltiplo	
de	sus	edades	con	el	máximo	común	divisor	es	
261,	determina	la	edad	del	menor.
Se	desea	colocar	postes	igualmente	espaciados	
en	 el	 perímetro	 de	 un	 terreno	 rectangular	 de	
1764	m	de	largo	por	1512	m	de	ancho.	Encuentra	
la	 máxima	 distancia	 en	 que	 los	 postes	 deben	
colocarse	para	usar	la	menor	cantidad	posible.
10 Un	 vendedor	 tiene	 entre	 1000	 y	 1100	 naranjas.	
Si	al	agruparlas	de	15	en	15,	de	18	en	18,	de	24	
en	24,	en	todos	los	casos	le	sobran	13	naranjas,	
calcula	cuántas	naranjas	tiene	el	vendedor.
11 Tres	 rollos	 de	 cable	 eléctrico	 de	 7	 hilos	 miden	
288,	264	y	376	metros.	Si	se	dividen	en	el	menor	
número	 de	 trozos	 de	 igual	 longitud,	 ¿cuántos	
trozos	se	obtendrán?
Si	tienes	que	llenar	cuatro	cilindros	de	capacidades	
1944;	2160	y	2016	litros	respectivamente,	y	para	
llenarlos	exactamente,	dispones	de	un	solo	balde.	
Halla	la	capacidad	de	dicho	balde.
7 Un	campo	 rectangular	de	368	m	de	 largo	y	416	m	
de	 ancho,	 está	 dividido	 en	 parcelas	 cuadradas	
iguales.	 El	 área	 de	 cada	 una	 de	 estas	 parcelas	
cuadradas	es	la	mayor	posible.	Calcula	el	número	
total	de	parcelas	que	hay	en	el	campo.
A 	 598	 B 	 702	 C 	 624
D 	 648	 E 	 754
A 	 80	L	 B 	 72	L	 C 	 70	L
D 	 36	L	 E 	 18	L
A 	 364	m	 B 	 312	m	 C 	 273	m
D 	 182	m	 E 	 252	m
A 	 1273	 B 	 1093	 C 	 1381
D 	 1021	 E 	 1309
A 	 112	 B 	 116	 C 	 104
D 	 109	 E 	 118
A 	 63	 B 	 44	 C 	 40
D 	 36	 E 	 28
		
	
		
Nivel II
159MateMática Delta 1 - aritMética
1 2 3
14
16
17
18
13 Un	albañil	debe	colocar	porcelanato	cuadrado	en	
el	piso	de	un	salón	de	baile	cuyas	dimensiones	son	
12,48	m	de	ancho	y	13,92	m	de	largo.	Encuentra	
cuántas	losetas	enteras	entrarán	en	dicho	piso,	si	
estas	deben	ser	del	mayor	tamaño	posible.
rosa	 tiene	 cubos	 azules	 de	 4,8	 cm	 de	 arista	 y	
cubos	 rojos	 de	 4,5	 cm	 de	 arista.	 Apilando	 los	
cubos	 en	 dos	 columnas,	 una	 de	 cubos	 azules	
y	 otra	 de	 cubos	 rojos,	 quiere	 conseguir	 que	 las	
dos	columnas	sean	 iguales	y	del	menor	 tamaño	
posible.	Calcula	cuántos	cubos	más	de	un	color	
que	del	otro	necesita.
Andrés	 tiene	 en	 su	 tienda	 los	 botones	 metidos	
en	 bolsas.	 En	 la	 caja	 A	 tiene	 bolsitas	 con	 tres	
docenas	de	botones	cada	una	y	no	sobra	ningún	
botón.	En	 la	 caja	b	 tienen	bolsitas	 con	 cuatro	 y	
media	 docena	 de	 botones	 cada	 una	 y	 tampoco	
sobra	 ningún	 botón.	 El	 número	 de	 botones	 que	
hay	 en	 la	 caja	A	 es	 igual	 al	 que	 hay	 en	 la	 caja	
b.	Halla	cuántas	bolsas	hay	en	total,	si	el	número	
total	de	botones	se	encuentra	entre	120	y	300.
Tomás	 tiene	 un	 reloj	 despertador	 que	 da	 una	
señal	 cada	60	 segundos,	 otro	 reloj	 que	da	una	
señal	 cada	 72	 segundos	 y	 un	 tercero	 que	 da	
una	señal	cada	84	segundos.	A	las	5:00:00	p.	m.	
los	 tres	 relojes	 han	 coincidido	 en	 darla	 señal.
Encuentra	a	qué	hora	volverán	a	dar	la	señal	otra	
vez	juntos.
15 Claudia	va	al	hospital	cada	15	días,	Joaquín	cada	
12	 y	 Ángel	 cada	 18.	 Si	 el	 5	 de	 enero	 de	 2020	
se	encontraron	en	el	hospital,	entonces	 la	fecha	
más	 próxima	en	 la	 cual	 se	 encontraron	 los	 tres	
nuevamente	fue:
En	un	banco	se	instalan	cuatro	videocámaras	que	
toman	una	foto	cada	28;	32;	24	y	30	segundos,	
respectivamente.	 Si	 coincidieron	 en	 tomar	 una	
foto	a	las	09:30:00,	calcula	cuántas	fotos	más	se	
tomarán	en	total	hasta	la	próxima	coincidencia.
A 	 780	 B 	 812	 C 	 754
D 	 928	 E 	 728
A 	 1	 B 	 2	 C 	 3
D 	 4	 E 	 5
	 A 	 1	de	julio	de	2020	
	 B 	 3	de	julio	de	2020
	 C 	 2	de	agosto	de	2020
	 D 	 3	de	agosto	de	2020
		 E 	 3	de	setiembre	de	2020
A 	 3	 B 	 4	 C 	 7
D 	 6	 E 	 5
	 A 	 05:40:12	p.	m.	 B 	 05:42:00	p.	m.
	 C 	 05:40:24	p.	m.	 D 	 05:44:18	p.	m.
		 E 	 05:36:12	p.	m.
A 	 481	 B 	 478	 C 	 475
D 	 477	 E 	 476
	
160
El	número	de	páginas	de	un	libro	está	comprendido	
entre	300	y	400.	Si	se	cuentan	de	6	en	6,	sobran	
5;	de	8	en	8	sobran	5	y	de	9	en	9	también	sobran	
5.	Calcula	cuántas	páginas	tiene	el	libro.
22
Halla	la	suma	de	dos	números,	si	se	cumple	que	
el	producto	de	su	mínimo	común	múltiplo	con	su	
máximo	común	divisor	es	7776	y	que	uno	de	los	
números	es	144.
23
En	una	bodega	hay	 tres	 toneles	de	vino,	 cuyos	
contenidos	 en	 libros	 son:	 840,	 720	 y	 936.	 Sus	
contenidos	se	quieren	envasar	en	cierto	número	
de	garrafas	iguales;	determina	el	menor	número	
de	garrafas	que	se	necesitan	para	que	en	ellas	se	
pueda	envasar	el	vino	contenido	en	cada	uno	de	
los	toneles.
24
Juan	 tiene	 un	 terreno	 de	 forma	 rectangular	 de	
43,12	m	de	ancho	y	45,92	m	de	largo.	Si	divide	su	
terreno	en	parcelas	cuadradas	iguales,	determina	
cuál	 es	 la	máxima	 longitud	 que	 puede	 tomar	 el	
lado	de	la	parcela.
20
Se	desea	cercar	un	terreno	triangular	con	postes	
igualmente	espaciados	en	el	perímetro	del	terreno,	
cuyos	 lados	 miden	 1176	 m;	 1512	 m	 y	 1008	 m.	
Encuentra	la	máxima	distancia	en	que	los	postes	
deben	colocarse.
21
Un	 comerciante	 desea	 poner	 en	 cajas	
12	 028	manzanas	 y	 12	 772	 naranjas,	 de	modo	
que	 cada	 caja	 contenga	 el	 mismo	 número	 de	
manzanas	 o	 naranjas	 y,	 además	 sea	 la	 mayor	
cantidad	 posible.	 Halla	 el	 número	 de	 frutas	 que	
debe	contener	cada	caja.
19
A 	 56	cm	 B 	 63	cm	 C 	 61	cm
D 	 62	cm	 E 	 64	cm
A 	 154	m	 B 	 132	m	 C 	 142	m
D 	 164	m	 E 	 168	m
A 	 379	 B 	 347	 C 	 356
D 	 365	 E 	 397
A 	 198	 B 	 180	 C 	 216
D 	 162	 E 	 252
A 	 98	 B 	 104	 C 	 112
D 	 118	 E 	 124
A 	 230	 B 	 160	 C 	 125
D 	 124	 E 	 62
Nivel III
Tema
161MateMática Delta 1 - aritMética
Para definir correctamente la palabra razón, debemos conocer antes dos palabras que 
se involucran con este tema; estas palabras son: la magnitud matemática y la cantidad.
Magnitud
Una magnitud matemática es todo aquello que puede variar, se puede medir o contar 
pero es de naturaleza inmaterial.
Ejemplos:
● La velocidad de un automóvil al desplazarse sobre una carretera.
● El número de alumnos matriculados año tras año en un colegio.
● El número de trabajadores que tiene cada ministerio.
Cantidad
Una cantidad es el resultado de someter a medición o conteo una determinada magnitud 
matemática. Toda cantidad tiene un número y una unidad de medida.
Ejemplos:
● Si medimos la velocidad de un automóvil podríamos obtener como resultado 
65 km/h, este último es la cantidad.
● Si contamos el número de alumnos matriculados en el colegio, podríamos obtener 
como resultado 1200 alumnos, esta es la cantidad.
Razón
Una razón se define como la relación que existe entre dos cantidades. Esta relación se 
establece a través de una división.
Ejemplo 1
En una reunión se contaron 24 mujeres y 42 hombres. Establece la relación entre 
hombres (H) y mujeres (M), usando la definición de la razón. 
 
H
M = 
42 hombres
24 mujeres = 
7 hombres
4 mujeres o simplemente 
H
M = 
7
4 
 Ahora 
H
M = 
7
4 se puede leer como:
 – La relación entre H y M es de 7 a 4, respectivamente.
 – La razón entre H y M es 
7
4 .
 – Por cada 7 hombres hay 4 mujeres.
 También podemos establecer una correspondencia de valores.
Cantidad de mujeresCantidad de hombres
7 4. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
14 8
21 12
28 16
7k 4k
En algunos textos 
encontrarás que 
la razón es la 
comparación de dos 
cantidades.
En este capítulo 
a
b 
será denominado 
razón, relación o 
razón geométrica.
¿Sa bía s qu e.. .?
En el ejemplo:
a 7 le corresponde 4
a 14 le corresponde 8
a 21 le corresponde 12
y así sucesivamente.
Obse rva
Razones
9
162
• La relación entre PL y t es de 400 a 1.
• La razón entre PL y t es 400.
• Por cada 400 palabras leídas, el tiempo que transcurrió es de 1 minuto.
Luego, si tenemos 
H
M = 
7
4 entonces 
H = 7k
M = 4k
PL
t = 
400 palabras
1 minuto , el cual se lee como:
A
B = 
400 palabras/min
250 palabras/min o simplemente 
A
B = 
8
5 también 
A = 8k
B = 5k
 Si decimos que un hombre puede leer 400 palabras por minuto, se establece 
también una relación entre dos cantidades; las 400 palabras leídas y el tiempo 
transcurrido que es 1 minuto. Entonces:
PL: las palabras leídas
t : el tiempo transcurrido
 Consideremos que Armando (A) es capaz de leer 400 palabras por minuto, mientras 
que Bernabé (B) lee 250 palabras por minuto. Si comparamos estas cantidades se 
puede ver que Armando es considerablemente más rápido que Bernabé en cuanto 
a la lectura. La relación sería:
A partir del ejercicio 
anterior, se observó:
 
H
M = 
7
4
H
M es la razón y
7
4
 es el valor de la 
razón.
En general: Sea la 
razón a
b
 .
a se denomina 
antecedente.
b se denomina 
consecuente. 
Recu e rda
El hombre de Vitruvio
Es un ejemplo del uso de razones en la confección de obras de arte.
Leonardo da Vinci consideraba que el arte estaba relacionado con la 
proporción.
15
12
10
11
1
23
4
5
6
1 : 2 = 2 : 3
2 : 3 = 3 : 4
3 : 4 = 4 : 5
5 : 6 = 6 : 7
8 : 9 = 9 : 10
10 : 11 = 11 : 12
13 : 14 = 14 : 15
 15 : 16 = 16 : 17 = 0,618...
7
98
17
14
 16
13
¿Sabías que...?
Ejemplo 2
Ejemplo 3
163MateMática Delta 1 - aritMética
Resolución:
Sean:
H: cantidad de hombres.
M: cantidad de mujeres.
Datos:
La nueva relación de hombres y mujeres es de 6 a 5.
H
M = 
9
7 x = 
H
M + 3
H – M = 12
1.° H = 9k
 M = 7k
2.° Reemplazamos:
 9k – 7k = 12
 k = 6, entonces
 H = 9(6) = 54
 M = 7(6) = 42
3.° Reemplazamos:
 x = 
54
42 + 3
 x = 
54
45 = 
6
5
En una reunión se observa que la relación de hombres y mujeres es de 9 a 7, 
respectivamente. Si hay 12 hombres más que mujeres, calcula la nueva relación 
cuando llegan 3 mujeres más.
1
Sean:
A: edad actual de Arturo.
B: edad actual de Boris.
Datos:
Dentro de 9 años el menor que es Boris tendrá 41 años.
Resolución:
Presente
Pasado
(hace 12 años)
Futuro
(dentro de 9 años)
A
B = 
5
4
1.° A = 5k
 B = 4k
A – 12
B – 12 = 
7
5 x = B + 9
2.° Reemplaza:
 
5k – 12
4k – 12 = 
7
5
 25k – 60 = 28k – 84
 24 = 3k
 k = 8 
Entonces: A = 5(8) = 40
 B= 4(8) = 32
3.° Reemplaza:
 x = 32 + 9
 x = 41
Las edades de Arturo y Boris estaría en relación de 5 a 4, respectivamente; hace 
12 años esta relación era de 7 a 5. Determina la edad del menor dentro de 9 años.
2
Una notación antigua 
para representar 
la razón o relación 
que hay entre dos 
cantidades es la 
siguiente:
a : b
que es lo mismo que 
escribir 
a
b
y en ambos casos se 
lee como:
a es a b
ejemplo:
4 : 5 o 4
5
se lee: 4 es a 5.
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
Rpta.
Rpta.
164
Hace n años, las edades de Miguel y Rolando era de 24 y 38 años, respectivamente. 
Si actualmente estas edades están en relación de 3 a 4, calcula el valor de n.
Sean
M : edad de Miguel en el pasado.
R : edad de Rolando en el pasado.
Datos:
El valor de n es 18. Por lotanto, lo descrito sucedió hace 18 años.
Resolución:
Presente
Pasado
(hace «n» años)
M = 24
R = 38
M + n
R + n = 
3
4
Reemplaza:
 
24 + n
38 + n = 
3
4
 96 + 4n = 114 + 3n
 n = 18
3
El concepto de razón también se utiliza en Geometría.
Si: m A
3
 = m B
4
 = m C
5
 
Se puede interpretar como:
 m A
3
 = m B
4
 = m C
5
 = α
⇒ m A = 3α
 m B = 4α
 m C = 5α
A
B
C
3α
4α
5α
Rpta.
165MateMática Delta 1 - aritMética
2 En una granja hay 1832 aves entre pollos, gallinas 
y gallos. Si las cantidades de pollos y gallinas se 
encuentran en relación de 13 a 9, respectivamente, 
y los gallos representan la décima parte de las 
gallinas. Calcula cuántos pollos hay en dicha 
granja.
Resolución:
 
Rpta.
1 En un estacionamiento hay 195 automóviles 
de tres colores distintos: negro, rojo y azul. Si 
las cantidades de coches negros y rojos se 
encuentran en relación de 5 a 8 respectivamente, 
y los de color azul representan la cuarta parte de 
los de color rojo. Calcula cuántos coches negros 
hay en el estacionamiento.
Resolución:
Rpta.
comparación entre 
dos cantidades.
Aritmética (R.A.)
Comparación de dos cantidades
Comparación de dos cantidades
Ejemplo: 12 – 5 = 7 → valor de la razón aritmética
antecedente
consecuente valor de la razón geométrica
Ejemplo:
 = 
mediante una sustracción.
mediante una división.
Geométrica (R.G.)
es la
Razón
3
27
1
9
Síntesis
Modela y resuelve 
antecedente consecuente
166
3
5
En una granja se crían pavos y cerdos, 
encontrándose estos en la relación de 5 a 9, 
respectivamente. Si al contar las patas de estos 
animales se obtienen 2208, determina en qué 
relación se encontrarán ahora, luego de que 
nacieron 28 pavos y se vendieron 52 cerdos.
Resolución:
 
 
6
En una granja se crían pollos y conejos, 
encontrándose estos en la relación de 4 a 7, 
respectivamente. Si al contar las patas de estos 
animales, se obtiene 504, determina en qué 
relación se encontrarán después que nacieron 
16 conejos y se vendieron 20 pollos.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
 
4
Al contar a los alumnos del primer grado se 
obtuvo como resultado 180. Se sabe además, 
que por cada 5 varones hay 7 mujeres; si luego 
se matriculan 30 mujeres y se retiran en el grado 
correspondiente 15 varones. Encuentra cuál será 
la nueva relación de varones y mujeres.
Resolución:
Al contar los alumnos del primer grado se obtuvo 
como resultado 144. Se sabe además, que por 
cada 7 hombres hay 9 mujeres; si luego se 
matriculan 9 hombres y se retiran 33 mujeres. 
Encuentra cuál es la nueva relación entre hombres 
y mujeres.
Resolución:
 
167MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
7 8
9 10
Al inicio de una fiesta se observó que por cada 
8 varones había 7 mujeres. Si luego de media 
hora, tras un nuevo conteo se ha determinado 
que la cantidad de varones aumentó en sus 
3
4 y 
la de mujeres disminuyó en sus 38 . Halla cuál es 
la nueva relación entre mujeres y hombres bajo 
estas condiciones.
Resolución:
Al inicio de una fiesta se observó que por cada 
11 varones había 8 mujeres. Si luego de media 
hora, tras un nuevo conteo, se ha determinado 
que la cantidad de varones disminuyó en sus 25 y 
la de mujeres aumentó en sus 38 . Halla cuál es la 
nueva relación de hombres y mujeres bajo estas 
condiciones.
Resolución:
Al comprar lapiceros me regalaron uno por cada 
docena comprada. Al verderlos obsequié dos 
lapiceros por cada 15 vendidos. Si en mi compra 
llevé 1365 lapiceros, incluido los regalos; determina 
la diferencia entre el número de lapiceros que vendí 
(sin regalo), con el de lapiceros que compré (sin 
regalo), sabiendo que solo vendí ofertas.
Resolución:
Al comprar lapiceros me regalaron dos por 
cada decena comprada. Al venderlos obsequié 
un lapicero por cada docena vendida. Si en mi 
compra llevé 2034 lapiceros, incluido los regalos; 
determina la diferencia entre el número de 
lapiceros que vendí (sin regalo) con el de lapiceros 
que compré (sin regalo), sabiendo que solo vendi 
ofertas.
Resolución:
 
168
1211
1413
La edad de Milagros hace 8 años y la que tendrá 
Roxana dentro de 7 años están en la relación de 
2 a 3, respectivamente. Si hoy sus edades suman 
41, calcula la diferencia de sus edades. 
Resolución:
La edad de Mónica hace 10 años y la que tendrá 
Romina dentro de 6 años están en la relación de 
3 a 4, respectivamente. Si hoy sus edades suman 
60, calcula la diferencia de sus edades.
Resolución:
Eduardo cobró su sueldo y se fue de compras; al 
finalizar observó que por cada S/ 3 que gastó, le 
quedó S/ 7. Si le está quedando S/ 630, determina 
cuántos soles adicionales debió haber gastado 
para que lo que hubiera gastado sea a lo que aún 
le queda, como 3 es a 5.
Resolución:
Eusebio cobró su sueldo y se fue de compras; al 
finalizar observó que por cada S/ 2 que gastó, le 
quedó S/ 5. Si le está quedando S/ 750, determina 
cuántos soles adicionales debió haber gastado 
para que lo que hubiera gastado sea a lo que aún 
le queda, como 2 es a 3.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
169MateMática Delta 1 - aritMética
1615
17 18
La suma y la diferencia de las masas de un niño y 
su hermano se encuentran en la relación de 9 a 5. 
Encuentra la menor de las masas, si la suma de los 
cuadrados de sus masas es 1325 kg2.
Resolución:
La suma y la diferencia de las masas de dos 
personas se encuentran en la relación de 9 a 4. 
Encuentra la menor de las masas, si la diferencia 
de los cuadrados de sus masas es 5184 kg2.
Resolución:
En una fiesta se observa que en un determinado 
momento por cada 3 varones que bailan 2 no 
bailan y por cada 4 mujeres que bailan una no 
baila. Halla la relación entre el número total de 
varones y el número total de mujeres que se 
encuentran en dicha fiesta.
Resolución:
En una fiesta se observa que en un determinado 
momento por cada 5 varones que bailan 7 no 
bailan y por cada 4 mujeres que bailan 5 no bailan. 
Halla la relación entre el número total de varones y 
el número total de mujeres que se encuentran en 
dicha fiesta.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
170
En un determinado instante de una fiesta, el 
número de hombres que no baila es al número 
de personas que están bailando como 5 es a 6. 
Si el total de personas en la fiesta es de 180 y, 
además, el número de damas que no bailan es 
la mitad del número de hombres; descubre la 
cantidad de hombres que están en la fiesta.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
En un determinado instante de una fiesta, el 
número de hombres que no bailan es al número 
de personas que están bailando como 7 es a 10. 
Si el total de personas en la fiesta es de 138 y, 
además, el número de damas que no bailan es 
la mitad del número de hombres; descubre la 
cantidad de hombres que están en la fiesta.
Resolución:
En una fiesta asistieron 40 varones y 30 mujeres. 
Luego de retirarse cierto número de parejas se 
observa ahora que el número de varones y el total 
de personas están en relación de 7 a 12. Calcula 
cuántas personas se retiraron.
Resolución:
 
En una fiesta asistieron 45 varones y 33 mujeres. 
Luego de retirarse cierto número de parejas se 
observa ahora que el número de varones y el total 
de personas están en relación de 7 a 12. Calcula 
cuántas personas se retiraron.
Resolución:
 
19 20
21 22
171MateMática Delta 1 - aritMética
 El perímetro de un terreno rectangular mide 
112 m, y la razón entre las medidas de sus 
lados es de 5 a 3. Halla cuánto cuesta el metro 
cuadrado del terreno, si dicho terreno cuesta en 
total S/ 8820.
1
 En un circo, 5 de cada 40 personas son padres 
de familia. Si en total hay 84 personas que no son 
padres de familia, encuentra cuántas personas 
hay en el circo.
2
 El dinero de Juan y el de Pedro están en relación 
de 7 a 3, respectivamente. Si Juan gastara S/ 200 
y Pedro ganara S/ 150, entonces tendrían igual 
cantidad. Calcula cuánto dinero tienen en total.
3
A S/ 8 B S/ 9,50 C S/ 9
D S/ 10 E S/ 12A 112 B 120 C 132
D 96 E 104
A S/ 880 B S/ 875 C S/ 870
D S/ 865 E S/ 860
 A 8 años B 11 años
 C 10 años D 13 años
 E 12 años
 La relación entre las edades de dos hermanas es 
actualmente de 3 a 2. Se sabe que dentro de 8 años, 
dicha relación será de 5 a 4. Determina cuál será la 
edad de la hermana menor dentro de 5 años.
4
La suma de las longitudes de 3 de los cuatro 
lados de un rectángulo es 2010. La suma de la 
longitud del cuarto lado y la longitud de la diagonal 
del rectángulo es también 2010. La razón entre 
la longitud del lado mayor y el menor de este 
rectángulo es:
5
En una reunión por cada cuatro hombres hay cinco 
mujeres, si después se retiran igual número de 
hombres que de mujeres, quedando 40 asistentes 
en relación de 2 hombres por cada 3 mujeres. 
Descubre cuánto fue el número de hombres al 
principio.
6
A 32 B 36 C 40
D 44 E 48
CB 54 3A
3
2
D 21 E 2
 
Nivel I
Practica y demuestra
172
En un establecimiento automotriz, se observa que 
la diferencia entre automóviles y camionetas es 
de 45 y por cada 7 automóviles hay 4 camionetas. 
Halla cuántos automóviles deben venderse para 
poder afirmar que por cada 5 automóviles hay 3 
camionetas.
7
A 6 B 5 C 8
D 10 E 15
 Una fiesta inició con 120 personas, observándose 
que por cada 2 hombres hay 3 mujeres. Si luego 
llegan 9 parejas y también cierta cantidad de 
hombres, se observa ahora que la relación es de 
4 hombres por cada 3 mujeres. Encuentra cuántos 
hombres están en la fiesta.
8
 En una reunión están reunidas 81 personas, de las 
cuales 45 son mujeres. Si luego llegan x cantidad 
de mujeres y 2x cantidad de hombres, razón por 
la cual se observa que por cada 5 hombres hay 4 
mujeres; calcula cuántas mujeres están reunidas.
9
A 128 B 116 C 108
D 120 E 124
A 80 B 68 C 68
D 76 E 72
 A S/ 20 174 B S/ 20 076
 C S/ 20 041 D S/ 20 125
 E S/ 20 160
 A 24 000 B 28 000
 C 32 000 D 36 000
 E 20 000
 En un centro de medicina complementaria, 
la relación entre el número de abejas y de 
escarabajos para uso medicinal es de 9 a 10. 
Si luego de una semana se utilizaron 44 abejas 
y 48 escarabajos, se observa que las abejas 
representan los 8
9
 del número de escarabajos. 
Descubre cuántas abejas quedaron.
11
 Dos personas se reparten S/ 25 875 en la relación 
de 2 a 7. Halla cuánto recibe la persona que 
obtuvo la mayor cantidad.
12
 En una granja de pollos y gallinas, por cada 
7 pollos hay 4 gallinas. Si se venden 10 000 pollos 
y 15 000 gallinas, resulta que por cada gallina hay 
5 pollos. Determina el número de gallinas que 
había inicialmente.
10
A 72 B 64 C 80
D 76 E 84
Nivel II
173MateMática Delta 1 - aritMética
 Una repisa con libros pesa 48 kg. Si el peso de la 
repisa y el peso de los libros están en razón de 1
11
, 
¿cuántos kilogramos pesa la repisa?
13
 La edad de Juan y la edad de Roberto están 
en relación de 12 a 18. Si hace quince años las 
edades de ambos sumaban 30, encuentra qué 
edad tiene Roberto actualmente. 
14
Se tiene 320 esferas de las cuales 124 son 
negras y las restantes blancas. Calcula cuántas 
esferas blancas se deben pintar de negro para 
poder afirmar que por cada tres blancas se tenga 
cinco esferas negras. 
15
A 4,0 kg B 4,4 kg C 6,0 kg
D 6,6 kg E 8,0 kg
A 10 B 28 C 30
D 32 E 36
A 72 B 80 C 68
D 88 E 76
A 68 B 61 C 75
D 33 E 47
Las edades de Juan y la de su hermano están en 
relación de 3 a 7. Si la edad del menor dentro de 
12 años, y la edad del mayor hace 11 años están 
en relación de 3 a 4; determina cuánto será la 
edad del mayor dentro de 5 años. 
16
 En cierto instante de una reunión, el número de 
varones y el número de mujeres está en relación 
de 7 a 8; cuando se retiran 6 parejas y 23 mujeres 
la relación es de 10 a 7. Halla cuántas mujeres 
quedaron en la reunión.
18
En una reunión de 234 personas se observa que 
el número de hombres es al número de mujeres, 
como 5 es a 4; y en un determinado instante el 
número de hombres que bailan es al número de 
mujeres que no bailan, como 5 es a 3. Descubre 
cuántos hombres no bailan.
17
A 40 B 54 C 42
D 48 E 65
A 42 B 56 C 28
D 35 E 44
174
 A S/ 32,40 B S/ 31,20
 C S/ 30,60 D S/ 29,10
 E S/ 31,80
 Se tienen 240 trabajadores en cierta empresa, 
de los cuales 84 son mujeres y los restantes son 
hombres. Encuentra cuántos hombres se debe 
agregar para que de cada 22 trabajadores, 15 
sean hombres.
19
En una universidad la relación entre el número 
de estudiantes hombres y de mujeres es de 5 a 
7; mientras que en la facultad de ingeniería, la 
relación de estudiantes hombres con el de mujeres 
están en relación de 3 a 2. Si 180 estudiantes no 
son de ingeniería, calcula cuántos estudiantes 
como mínimo tiene la universidad.
20
Las tarifas diarias de dos mozos en un restaurante 
criollo están en una relación de 3 a 5. Si el que 
gana más descansa dos días a la semana. El 
otro día, se observó que luego de una semana 
al añadir S/ 40,80 a uno de ellos ambos tendrían 
igual cantidad de dinero. Encuentra cuánto es la 
tarifa diaria del mozo que gana menos.
21
A 20 B 24 C 28
D 36 E 44
A 264 B 288 C 312
D 300 E 240
En una fiesta costumbrista se observa que por cada 
7 hombres hay 5 mujeres. Si en un determinado 
momento, 24 hombres y 10 mujeres no bailan; 
determina cuántas personas asistieron a la fiesta.
22
 A S/ 30 y S/ 12 B S/ 26 y S/ 16
 C S/ 28 y S/ 14 D S/ 21 y S/ 21
 E S/ 70
3
 y S/ 56
3
 A 4 a 5 B 9 a 10
 C 5 a 7 D 3 a 4
 E 3 a 5
Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas, 
respectivamente. Se encuentran con un cazador 
cansado y de hambre, con quien comparten 
las truchas en partes iguales. El cazador al 
despedirse, como agradecimiento, les obsequia 
S/ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador?
24
 En una ciudad, los 2
3
 de los hombres se casan 
con los 3
5
 de las mujeres. Si las mujeres de este 
pueblo no acostumbran casarse con hombres 
de otra ciudad, descubre en qué relación se 
encuentran las personas solteras de esta ciudad.
23
A 91 B 77 C 84
D 96 E 60
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
175MateMática Delta 1 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Un comerciante desea poner en cajas
12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo 
que cada caja contenga el mismo número de 
manzanas o naranjas y, además, sea la mayor 
cantidad posible. Halla el número de frutas que 
debe contener cada caja.
6
Si el número 25aa9 es divisible por 7 y a2an es 
divisible por 4. Calcula la suma de los valores 
correspondientes de a × n.
3
56A
72
64B
80DC
Si el número a8a3aa es divisible por 3, encuentra 
los valores que puede tomar a. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
2
11A
13
12B
14DC
Determina qué valores puede tomar a para que 
el número ab52a sea divisible por 4. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
1
12A
15
14B
16DC
4 Si el número a4a3a8 es divisible por 11; abbabb 
es divisible por 9 y 6cabn es divisible por 4. 
Determina los valores correspondientes de b × n. 
Da como respuesta la suma de dichos valores.
18A
24C
20
28D
B
5 Un faro se enciende cada 36 segundos, otro 
cada 48 segundos y un tercero cada minuto; si a 
las 6:10 p. m. los tres coinciden, calcula cuántas 
veces volverán a coincidir hasta las 7:00 p. m.
3 vecesA
5 veces
4 vecesB
6 vecesDC
230A
124
160B
62DC
 
176
María y Jorge tienen en total 56 bolas blancas, 
72 bolas azules y 96 bolas rojas y ambos quieren 
hacer el mayor número de collares iguales sin 
que sobre alguna bola. Encuentra cuántos 
collares iguales pueden confeccionar.
7 En una conferencia regional, la relación entre 
el número de mujeres y hombres es de 2 a 3, 
respectivamente. En un momento dado se retiran 
ocho mujeres y llegan cuatro hombres, con lo 
que la relación es ahora de 3 a 5. Halla cuántas 
mujeres deben llegar para que la relación sea de 
uno a uno.
10
Los lados de un rectángulo están en relaciónde 
3 a 8. Si su perímetro es de 154 cm, calcula el 
valor de su área. 
11
En un corral la relación entre el número de 
pollos y el número de gallinas es como 5 es a 
3. Si se mueren 1
3
 del número de aves de los 
cuales 2
3
 eran pollos y el resto gallinas. ¿Cuál 
será la nueva relación entre el número de pollos 
y gallinas?
12
Los ahorros de los hermanos Joaquín y Tomás 
están en relación de 7 a 13. Si a la menor 
cantidad ahorrada se le suma S/ 140, y el valor 
de otro se multiplica por 5, se observa que el valor 
de la razón no se alteraría. Encuentra cuánto 
le falta a Tomás para que la relación de sus 
ahorros con el de su hermano sea de uno a uno.
9
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas 
capacidades son: 480 L, 360 L, y 540 L. Su 
contenido se quiere envasar en cierto número de 
garrafas iguales. Determina la capacidad máxima 
que deben tener estas garrafas.
8
8A
9C
7B
28D
S/ 30A
S/ 28C
S/ 42B
S/ 32D
30 LA
50 LC
40 LB
60 LD
84A
64C
66B
52D
1008 cm2A
1176 cm2C
1536 cm2B
1944 cm2D
37 a 11A
29 a 19C
2 a 1B
24 a 23D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las 
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la 
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, 
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este 
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. 
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad 
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que 
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, 
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. 
Estos son tan importantes que serán respetados como 
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o 
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, 
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen 
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los 
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
 La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los 
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una 
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo 
Nacional es garantizar una sociedad en la que los 
derechos son respetados y los ciudadanos vivan 
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir 
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor 
para el país.
2. Equidad y justicia social
 Para poder construir nuestra democracia, es necesario 
que cada una de las personas que conformamos esta 
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el 
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades 
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los 
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una 
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar 
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
 Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete 
a fomentar el espíritu de competitividad en las 
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos 
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las 
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar 
la colocación de nuestros productos en los mercados 
internacionales.
4.	 Estado	eficiente,	transparente	y	descentralizado
 Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus 
obligaciones de manera eficiente y transparente para 
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo 
se compromete a modernizar la administración pública, 
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o 
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar 
el poder y la economía para asegurar que el Estado 
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a 
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de 
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir 
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
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1
ARITMÉTICA
Secundaria
Resuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales 
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales 
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento 
abstracto en los estudiantes del nivel secundario. 
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, 
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes 
competencias:
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Matemática
 Delta