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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
3
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Razonamiento matemÁtico
Matemática
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razonamiento matemático
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mauro enrIque matto muzante
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tÍtulo vII
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capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
Conoce tu libro
En esta sección
se encuentra la
teoría del tema
a desarrollar.
52
Tema Fracciones
7
El complemento
de una fracción es
la cantidad que le
falta para llegar a la
unidad.
Cuando el valor de
la fracción es meno
r
que 1 se llama
fracción propia y
cuando es mayor qu
e
1 se llama fracción
impropia.
Fracciones
homogéneas son
aquellas que tienen
el
mismo denominado
r.
18
; 38
; 78
; 138
Fracciones
heterogéneas son
aquellas que tienen
distinto denominado
r.
710
; 58
; 811
; 1323
Una fracción es
irreductible cuando
sus términos son
primos entre sí (PES
I).
Fracción
1
2
1
3
2
5
4
7
Complemento
1 − 12
= 12
1 − 13
= 23
1 − 25
= 35
1 − 47
= 37
2
7
PESI
4
9
PESI
11
19
PESI
Operaciones con fr
acciones
Adición y sustracci
ón de fracciones ho
mogéneas
Se suman o se rest
an los numeradores
y se deja el mismo
denominador. Se s
implifica
(reduce) si es posib
le.
Ejemplos:
Adición y sustracci
ón de fracciones he
terogéneas
Se deben homogen
eizar las fracciones
; luego, se suman o
se restan los nume
radores
y se deja el mismo
denominador. Se ex
presa el resultado c
omo fracción irredu
ctible.
Ejemplos:
Multiplicación de fr
acciones
Para multiplicar frac
ciones, se debe mu
ltiplicar los numerad
ores y los denomina
dores
de manera separad
a.
Ejemplos:
Fracción de un
número
Para calcular la
fracción de un núm
ero se debe multipli
car a la fracción por
el número.
Ejemplos:
3
5
4
7
5
2
3
5
3
4
11
12
7
10
3 × 75
5
4 × 3 × 280
7 × 4
5 × 11 × 7 × 2400
2 × 12 × 10
3360
28
924 000
240
225
5× =
=
=
=
=
= 120
= 3850
= =
de 75
de
de de
de 280
de 2400
75
45
•
•
•
3
7
2
5
4
5
7
11
3 × 4
7 × 5
5
12
12
35
2 × 7 × 5
5 × 11 × 12
70
660
7
66
×
×
=
×
=
= =
=
•
•
3
5
3
4
1
2
1
5
6
10
3
20
5
10
15
20
11
10
4
20
16
20
4
5
3
20
+
+
=
−
+
=
=
+ = =−
•
•
8
11
2
15
3
15
1
15
4
15
2 + 3 − 1
15
2
11
8 + 2
11
10
11+
+ − =
=
= =•
•
=
Una fracción es una
parte tomada de la
unidad que ha sido
dividida en partes i
guales.
24
Ejercicios resueltos
Dentro de una urna se colocan 12 esferas rojas,
15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes.
¿Cuántas esferas tenemos que sacar como
mínimo y al azar para estar seguro de haber
extraído 14 de uno de los colores?
Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo),
¿cuántas cartas hay que extraer como mínimo
para estar seguros de haber obtenido una carta
con numeración impar y de color rojo?
Gabriel tiene en una urna veinte fichas numeradas
del 1 al 20. ¿Cuánto es el mínimo número de
fichas que ha de extraer para que tenga la certeza
de haber obtenido 4 fichas numeradas de manera
consecutiva?
Si se tiene 180 fichas numeradas del 1 al 180,
¿cuántas fichas se deben extraer al azar para tener
la certeza de haber obtenido 2 fichas cuyos valores
sean mayores que 20 pero menores que 40?
En una bolsa hay 19 bolas blancas, 28 bolas rojas,
y 32 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo
se deben extraer al azar para tener la certeza de
haber obtenido 8 bolas del mismo color?
Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y
17 blancas. ¿Cuántas bolas se debe sacar al
azar y como mínimo para obtener al menos una
de cada color?
Rpta. Tenemos que sacar 65 esferas.
Rpta. Tenemos que extraer 39 cartas.
Rpta. Gabriel tendrá que extraer 16 fichas.
Rpta. Se debe extraer 22 bolas.
Rpta. Se tiene que extraer 163 fichas.
Rpta. Se debe sacar 36 bolas.
14 de unode los colores:
12r + 13b + 13n + 13a + 13v + 1 = 65
Una carta impar y roja:
26 negras + 12 rojas pares + 1 = 39
Una de cada color:
18N + 17B + 1R = 36
Total
52 cartas
rojas
26
negras
26
♥ 1; 2; 3; ...; 13
♦ 1; 2; 3; ...; 13
♠ 1; 2; 3; ...; 13
♣ 1; 2; 3; ...; 13
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
8 bolas del mismo color:
7B + 7R + 7A + 1 = 22
Quiero : 21; 22; 23; ...; 39 → 19 fichasNo quiero: 180 – 19 = 161 fichas 161 fichas + 2 = 163
1
+ 1
9
17
2
10
18
3
11
19
4
12
20
5
13
6
14
7
15
8
16 ??
No
sirve
Uno menos de los que se quiere
Los dos grupos con mayor cantidad de bolas
Una menos de las que se quiere
Lo que no
quiero
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
4
2
3
5
6
Para una mejor
organización,
se ha enumerado
cada tema.
Enunciado
del problema
Título del tema
Comentarios
que refuerzan el
desarrollo del tema.
Algoritmo de resolución
Folio
Ejemplos desarrollados,
en los que se explica
didácticamente los
pasos a ejecutar para
hallar la respuesta.
Contenido teórico
Ejercicios resueltos
Conoce tu libro
Aquí encontrarás
ejercicios planteados,
los cuales resolverás en
los espacios señalados
siguiendo las indicaciones
del docente.
41
MateMática Delta 3
- RazonaMiento MateM
ático
1
2
3
4
5
6
Ejercicios de aplicaci
ón
Calcula el valor d
e un número sabiend
o que su
cuadrado, disminuido
en 119 es igual a 10 v
eces
el exceso del número
con respecto a 8.
En un banquete,
habían sentados 8
invitados
en cada mesa, luego
se trajeron 4 mesas m
ás y
entonces se sentaron
6 invitados en cada m
esa.
¿Cuántos invitados ha
bían en total?
Maritza recibió 4 s
oles de propina y tuvo
entonces
4 veces lo que hubier
a tenido si hubiera ga
stado
2 soles de lo que ten
ía. ¿Cuánto dinero ten
ía al
principio?
En un corral se
observa 3 gallinas p
or cada
5 patos y 4 conejos
por cada 3 patos. S
i en
total se cuentan 176
cabezas. ¿Cuánto e
s el
número total de pata
s?
Se compra cierto
número de relojes por
S/ 5625,
sabiendo que el núm
ero de relojes compr
ados
es numéricamente igu
al al precio de un relo
j en
soles. ¿Cuántos reloje
s se compraron?
Los ahorros de un
niño constan de (2p +
4), (p + 2)
y (4p) monedas de 1; 2
y 5 soles respectivame
nte.
¿A cuánto asciende s
us ahorros, si al camb
iarlo
en billetes de 20 so
les, el número de bi
lletes
obtenidos es uno m
enos que el número
de
monedas de 2 soles?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
66
A 16 B 17 C 18 D 19 E 20
Practica y demuestra
En una sucesión lineal el tercer término es 10 y el
décimo término es 45. Calcula el valor del término
de lugar 22.
Determina el valor del primer término negativo de
la sucesión.
671 ; 665 ; 659 ; ...
¿Cuántos números pares hay desde 56 hasta 238?
Determina el valor del vigésimo término en:
39 ; 56 ; 73 ; 90 ; …
Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente
sucesión:
1 ; 5 ; 11 ; 19 ; … ; 379
En una progresión geométrica el término de sexto
lugar es 972 y el primer término es 4. Halla el valor
de la razón de la progresión.
De las sucesiones:
• 27 ; 25 ; 23 ; 21 ; ... • –6 ; –5 ; –4 ; –3 ; ... Se sabe que tienen la misma cantidad de términos
y además sus últimos términos son iguales. Calcula
la diferencia de sus penúltimos términos.
Si x – 3; x + 1; x + 13; ... son los tres primeros
términos de una P.G. Determina el valor del
decimotercer término de dicha progresión.
Halla el valor del trigésimo término de la sucesión:
4 ; 8 ; 14 ; 22 ; …
Calcula x – y en la siguiente progresión aritmética:x
3
;17; y2 ; 33
A 95 B 100 C 105 D 110 E 115
A 340 B 362 C 370 D 382 E 390
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
A 3 × 210 B 3 × 212 C 2 × 133 D 2 × 312 E 13 × 22
A 20 B 22 C 24 D 26 E 28
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
A –6 B –5 C –3 D –2 E –1
A 184 B 182 C 102 D 92 E 82
A 932 B 902 C 892 D 874 E 836
1
6
2
7
3 8
4
9
5
10
Enunciado
del problema
Espacio para resolver
el problema
En este espacio se ha
planteado algunos
problemas, los mismos
que tendrás que resolver
considerando el proceso
seguido anteriormente.
Ejercicios de aplicación
Practica y demuestra
Nombre de
la sección
Nombre de
la sección
Índice
1
3
2
4
5
7
6
8
9
11
10
12
resuelve
problemas de
cantidad
resuelve
problemas de
regularidad,
equivalencia
y cambio
resuelve
problemas de
movimiento,
forma y
localización
resuelve
problemas
de gestión
de datos e
incertidumbre
análisis psicotécnico 6
- Series de figuras y término excluido
- Analogías gráficas y aptitud espacial
certezas 23
- Nociones previas: certeza y azar
- Estrategias a utilizar
edades 44
- Problema con un sujeto
- Problema con dos o más sujetos
series 67
- series notables
- series de orden superior
principios fundamentales de conteo 85
- Principio aditivo
- Principio multiplicativo
orden de información 13
- Ordenamiento lineal
- Ordenamiento circular
- Test de decisiones
planteo de ecuaciones 37
- Enunciado
- Ecuación
sucesiones 59
- sucesión aritmética y sucesión geométrica
- sucesión de segundo grado
métodos operativos 29
- Método de las operaciones inversas
- Regla de tres simple
- Regla conjunta
Fracciones 52
- Operaciones con fracciones
- Fracción de un número
- Reducción a la unidad de tiempo
operaciones matemáticas 74
- Operador matemático
- Propiedades de las operaciones matemáticas
Factorial de un número 91
- Definición
- Propiedad
n.o de tema competencias contenido pedagógico
6
Tema
Análisis piscotécnico
En este tema se plantean ejercicios que sirven para desarrollar el proceso del pensamiento
lógico y aptitudes que se requieren para enfrentar situaciones problemáticas.
A continuación, dividiremos el tema en cuatro subtemas y explicaremos cada uno de
ellos.
• Series de figuras
• Término excluido
• Analogías gráficas
• Aptitud espacial
A continuación se desarrollará cada uno de estos puntos.
1
Los test
psicotécnicos son
un ejemplo de las
nuevas técnicas
de selección a
las que recurren
responsables de
recursos humanos.
Los test
psicotécnicos
evalúan las
capacidades
y aptitudes
intelectuales del
postulante en
relación con el
puesto que se
oferta. En general,
el seleccionador
pretende conocer el
grado de memoria,
atención, destreza
lingüística, numérica
y administrativa,
percepción, la
habilidad para
razonar y además
características del
postulante.
Para resolver los
problemas de
secuencias gráficas,
lo mejor que puedes
hacer es trabajar
los elementos de la
figura por separado.
Considera el giro en
sentido horario ( ) y
el antihorario ( ).
Según el movimiento
de las manecillas de
un reloj.
Recu e rda
Series de figuras
Este tipo de series evalúan la inteligencia general y la capacidad de abstracción, que es
la base de todo el proceso mental.
Las series de figuras ponen en evidencia la capacidad para deducir los principios lógicos
en base a unas figuras que siguen un orden lógico, es decir, que forman una verdadera
serie, ya que van modificándose en determinado sentido.
Se debe descubrir la relación que existe entre todas las figuras de la serie para así
deducir la que continúa.
Las series de figuras forman parte de las pruebas no-verbales, puesto que no contienen
palabras. Por eso mismo, se les denomina libres de cultura, ya que, para responder a
sus preguntas no se requiere saber leer ni escribir.
Ejemplo:
Señala la figura que continúa la serie gráfica:
Término excluido
En este tipo de ejercicios el alumno debe descubrir la característica en común que
tienen los elementos de la serie a excepción de uno de ellos, el cual deberá ser excluido.
Ejemplo:
1 2 3 4
?
A B C D E
La figura 3 esla que continúa la serie gráfica, ya que el número de lados de cada
polígono aumenta en 1.
La figura B es el término excluido de la serie porque todas las demás tienen un círculo
pintado cerca al borde del círculo blanco, excepto la figura B.
7MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Obse rva
Analogías gráficas
Una analogía es una relación de semejanza entre cosas distintas. El concepto permite
referirse al razonamiento que se basa en la detección de atributos semejantes en seres
o cosas diferentes.
Una analogía, por lo tanto, es una comparación entre objetos, conceptos o experiencias.
Al establecer una analogía, se indican características particulares y generales y se
establecen las semejanzas y diferencias entre los elementos contrastados.
Lo que se debe hacer es descubrir la relación existente en la primera pareja de figuras,
tomando como referencia siempre a la primera de ellas y aplicar la misma regla a una
tercera figura para llegar a la respuesta.
Ejemplo:
Aptitud espacial
Las pruebas psicotécnicas de aptitud espacial evalúan la capacidad de concebir,
relacionar e imaginar figuras en el espacio.
Lo que debe hacer el alumno es armar un sólido que le presentan de manera desarrollada
(desarmada), esto lo podrá hacer descartando claves o armando físicamente dicho
sólido.
Otro tipo de problema que se puede presentar es el de conteo de caras de un sólido, en
el cual el alumno solo debe determinar el número total de caras del sólido en sus vistas
(frontal, lateral izquierda, lateral derecha, posterior, superior e inferior).
Ejemplo:
Señala el sólido que corresponde al siguiente desarrollo:
?
B C DA
En la primera pareja de figuras, la figura 1 gira 90° e invierte la zona de sombreado. Por
lo tanto, la respuesta es la figura C .
B C DA
Al armar el cubo, notaremos que el sólido B es el correcto.
Para visualizar
un sólido puedes
hacerlo en tu
borrador de goma.
Las vistas de un
sólido:
superior
inferior
posterior
frontal
lateral
izquierdo
lateral
derecho
Las preguntas de
término excluido
sirven para discernir
la mejor opción que
no cumple con las
características de las
demás.
Las pruebas
psicométricas con
problema de análisis
psicotécnico sirven
para estimular su
cerebro y mejorar
su IQ (coeficiente
intelectual).
Si deseas seguir
practicando
puedes encontrar
varios tipos de
prueba de este
tema en internet,
solo tienes que
buscarlo por su
nombre: Pruebas
psicotécnicas.
8
Ejercicios resueltos
Halla la figura que cumple con la analogía.
(1) (2) (3) (4)
Resolución:
Se observa que los círculos rotan en sentido
horario.
¿Qué ficha continúa en la siguiente secuencia?
?
Resolución:
La cantidad de puntos de cada ficha representa
un número primo.
Encuentra la figura que falta en el siguiente
arreglo.
Rpta. B
Rpta. C
¿Qué figura continúa?
Resolución:
La bolita va bajando una casilla más de figura a
figura.
?
3 4 5 6
En cada fila aparece una vez cada una de las
características que van combinadas en el muñeco
(tipo de pelo, brazos y pie), ahora en la tercera fila:
Falta
Resolución:
Rpta. C
2 5 7 113
Rpta. E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
1
4
2
3
9MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
A B D EC
a) La cara superior debería ser
b) La cara de y no son adyacentes
c) La cara del debe girar 90°
d) La cara de y no son adyacentes
Por descarte:
Halla el total de caras del sólido.
Resolución:
Vista frontal : 4
Vista posterior : 1
Vista superior : 3
Vista inferior : 1
Vista lateral derecha : 3
Vista lateral izquierda : 1
13
13Rpta.
Resolución:
Hay un bloque grande de 6 cuadrados de ancho,
3 de alto y 2 de profundidad.
En la parte superior hay un bloque de 3 cuadrados
de largo, 1 de alto y 2 de profundidad.
Total = 36 + 6 = 42
3 × 1 × 2 = 6
6 × 3 × 2 = 36
Rpta. 42
Encuentra el mínimo número total de cubitos en la
siguiente figura.
Indica la figura que no guarda relación con las
demás.
Rpta.
Resolución:
Todas son la misma figura que va girando en
sentido antihorario, excepto la alternativa C.
Resolución:
¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura
adjunta?
A B C D E
¿Qué números serán visibles en el cuarto dado
según la siguiente rotación de los 3 primeros?
Resolución:
La figura va en el eje vertical hacia la derecha
y al número 2 se le opone el número 5, por
lo tanto quedaría:
Rpta. 1; 4; 5
Rpta. E
A 3; 2; 6
B 1; 4; 5
C 3; 2; 5
D 3; 1; 5
E 3; 1; 2
B
5
6
7
8
9
10
Ejercicios de aplicación
¿Qué figura completa la siguiente analogía? ¿Qué elemento sigue la secuencia?
Halla la figura que cumple con la analogía.
(1) (3) (4)
? ?
(2)
(1) (2) (3) (4)
?
Encuentra la figura que continúa la secuencia.
¿Qué figura completa el arreglo?
?
A B C D E
A B C D EA B D EC
A B C D E
BA C
D E
Determina la figura que falta en el recuadro
sombreado.
A B C D E
1
2
4
3
6
5
11MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
¿Qué ficha continúa la secuencia?
?
?
Determina el mínimo número total de cubitos en la
siguiente figura.
Indica la figura que no guarda relación con las
demás.
¿Qué números serán visibles en el cuarto dado
según la siguiente rotación de los 3 primeros?
Halla la figura que sigue.
Encuentra la figura que cumple con la analogía.
(1) (2) (3)
A B C D E
A B C D E
A
A
B C
C
D
D
E
E
A B C D E
A 3; 2; 6
B 1; 4; 5
C 3; 2; 5
D 1; 2; 4
E 3; 1; 2
10
11
9
12
8
7
31 30 35
33 29
B
12
Practica y demuestra
Encuentra el total de caras del sólido.
Halla el mínimo número de cubos.
¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura
adjunta?
A 12
B 15
C 13
D 14
E 16
Halla el total de caras del sólido.
A 13
B 12
C 11
D 10
E 9
¿Qué figura sigue?
¿Qué figura continúa?
Señala la figura que debe ir en el recuadro
sombreado.
A 20
B 22
C 23
D 24
E 19
Determina la figura que cumple la secuencia.
?
Encuentra la figura que cumple con la analogía.
: :: :
(1) (3) (4)(2)
¿Qué figura no tiene relación con las demás?
A B D EC
A B D EC
EA B C ED
DC EA B
A B C D
1 6
2 7
3
8
4
10
9
5
A B D EC
A B D EC
Tema
13MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
2
Orden de información
Ordenamiento lineal
Este tipo de ordenamiento se aplica en aquellas situaciones en las cuales el problema
presenta una característica común de un grupo de objetos, animales o personas.
Esta característica común puede hacer referencia a la edad, estatura, posición que
ocupan los elementos, antigüedad de los objetos, entre otras, y lo que se debe lograr
es ordenarlos en función a toda la información que se presente en el problema.
Según la naturaleza del problema, se clasifican los ordenamientos de la siguiente
manera:
En este capítulo se desarrollará situaciones relacionadas al Ordenamiento lineal,
Ordenamiento circular y Test de decisiones, sabiendo que todas ellas tienen en común
que la información brindada en el problema no se encuentra necesariamente ordenada
y se debe tener la capacidad de saber disgregar y empezar con aquel dato que brinde
una mayor cantidad de información o de mejor calidad que el del resto de ellos.
Ordenamiento lineal comparativo
Este primer tipo de problema se caracteriza porque los datos se basan en la comparación
de los elementos según la característica que se plantea.
Ejemplo:
De un grupo de seis amigos se sabe que:
• César es mayor que Bruno.
• Edgar es menor que David.
• Bruno es mayor que Fernando y David.
• Ángel es mayor que Bruno.
• Edgar no es el menor.
¿Quién es el menor de todos?
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente
manera:
(primer dato) (segundo dato) (tercer dato) (cuarto dato)
Mayor César David BrunoÁngel
Menor Bruno Edgar Fernando David Bruno
Teniendo el esquema principal se puede responder la pregunta planteada en el
problema.
Rpta. El menor de todos es Fernando.
(porque Edgar no es el menor).
Bruno
Ángel César
Fernando
David
Edgar
Mayor
Menor
Como siguiente paso, se busca unir toda la información en un solo esquema, al cual
llamaremos esquema principal:
Izquierda ↔ Derecha
Siniestra ↔ Diestra
Oeste ↔ Este
Q P
R S
Q → P
I nt e rp ret a ción
de dato s
P está junto y a la
derecha de Q.
P está a la derecha
de Q.
M está junto a N y O.
M está entre N y O.
R está a la izquierda
inmediata de S.
M se encuentra en
un lugar equidistante
de P y Q.
N M O
N ... M ... O
P ... M ... Q
x x
Recu e rda
14
Ordenamiento lineal por posición fija
Este segundo tipo de ordenamiento se caracteriza porque los datos se basan en la
posición de los elementos y la comparación de la misma tomando en cuenta un punto
de referencia. Este ordenamiento a su vez puede ser horizontal o vertical, según la
situación planteada.
Horizontal
Se produce cuando los elementos se ubican uno al lado del otro.
Ejemplo:
Seis amigos: Alberto, Bruno, César, Daniel, Edmundo y Fabián se ubican juntos en una
hilera de seis asientos de un teatro. Si se sabe que:
• Alberto está junto y a la izquierda de Bruno.
• César está a la derecha de Alberto, entre Fabián y Daniel.
• Daniel está junto y a la izquierda de Edmundo.
• Fabián está a la izquierda de Alberto.
¿Quién ocupa el cuarto asiento si los contamos de izquierda a derecha?
Vertical
Se produce cuando los elementos se ubican uno arriba del otro.
Ejemplo:
En un edificio de 5 pisos viven las familias Bardales, Jiménez, Escobar, Acosta y
Romaní, cada una de ellas en pisos diferentes.
• Uno de los integrantes de la familia Escobar no puede subir las escaleras, motivo por
el cual han decidido vivir en el primer piso.
• La familia Bardales vive lo más alejado posible de los Escobar.
• A la familia Acosta le hubiera gustado vivir en el cuarto piso.
• La familia Romaní vive un piso encima de los Jiménez.
¿En qué piso vive la familia Romaní?
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente
manera:
Izquierda Derecha
Como siguiente paso, se busca unir toda la información en un solo esquema, al cual
llamaremos esquema principal:
Rpta. En el cuarto asiento contando desde la izquierda se ubica César.
Datos:
A B
D E
• A → C
• F ← A
• F C D
F A B C D E
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
Izquierda Derecha
I nt e rp ret a ción
de dato s
B no es mayor que C.
D no llegó antes que
E.
M está dos lugares a
la derecha de N.
X está tres lugares a
la izquierda de Y.
M es mayor que P y
Q.
Quiere decir que B es
menor o igual que C.
Quiere decir que D
llegó después o al
mismo tiempo que E.
C
B
(=)
E D
(=)
N M
1 2
X Y
3 2 1
M
P Q
15MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ordenamiento circular
Se aplica en aquellas situaciones en las que presentan un conjunto de objetos, animales
o personas que se ubican alrededor de otra, siendo el caso más común un grupo de
personas alrededor de una mesa.
Distribución simétrica
A todos los elementos les corresponde espacios iguales para ubicarse.
Al tener estas distribuciones se logra visualizar unas flechas rojas en aquellas
situaciones en la que la cantidad de elementos sea par. Estas flechas indican que un
elemento se encuentra frente a otro, es decir, diametralmente opuesto.
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente
manera:
Bardales
Escobar
Bardales
EscobarEscobar
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
Primer dato Segundo dato Tercer dato
Acosta
Acosta
Escobar
Cuarto dato
Acosta
Jiménez
Romaní
Bardales
Este último esquema tiene todos los datos
ordenados y lo llamaremos esquema principal.
Rpta. La familia Romaní vive en el cuarto piso.
dos lugares
cinco lugares
tres lugares
seis lugares
cuatro lugares
ocho lugares
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
Simétricamente
distribuidos: igual
espacio para todos
los lugares.
Diametralmente
opuesto: al frente.
Para resolver los
problemas de
ordenamiento
circular:
1. Siempre debes
empezar con aquel
dato que te dé la
mayor cantidad
de información o
con el que te dé la
posición fija de uno
o más elementos
del ordenamiento:
Ejemplos:
• Juan está a la
derecha de
Raúl. û
• Juan está tres
lugares a la
izquierda de
Irene. ü
• Pedro está
junto con
Miguel. û
• Raúl está
junto a Carlos
y David. ü
2. Jamás debes
empezar por un
dato que tenga una
negación:
Ejemplo:
• Ricardo no
está sentado
junto a Nora. û
Este tipo de dato se
deja para completar
al final.
Recu e rda
a)
b)
16
HA
BF
CE
DG
• ¿Qué letra está junto y a la derecha de H?
• ¿Qué letra está a la izquierda inmediata de D?
• ¿Qué letras están a la derecha de F?
• ¿Qué letras están a la izquierda de B?
• ¿Qué letras están adyacentes a E?
• ¿Qué letra es adyacente común a F y D?
• ¿Qué letra está diametralmente opuesta a H?
• ¿Qué letra está frente a C?
Test de decisiones
Se caracteriza por brindar una serie de datos relacionados entre sí cada uno con otro.
Para resolver este tipo de problemas es recomendable construir una tabla de doble
entrada en la cual se relacionen los datos proporcionados marcando las relaciones
correctas.
Ejemplo:
Juan, Luis, Eduardo y Rodolfo son cuatro hermanos y cada uno practica un deporte
diferente al otro. Los deportes que practican son: karate, natación, equitación y ajedrez,
aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que:
- Rodolfo no practica ajedrez.
- Eduardo no practica karate ni ajedrez.
- Luis practica equitación.
- ¿Qué deporte practica Rodolfo?
Resolución:
karate natación equitación ajedrez
Juan
Luis
Eduardo
Rodolfo û
karate natación equitación ajedrez
Juan
Luis
Eduardo û û
Rodolfo û
Primer dato Segundo dato
karate natación equitación ajedrez
Juan û
Luis û û ü û
Eduardo û û û
Rodolfo û û
karate natación equitación ajedrez
Juan û û û ü
Luis û û ü û
Eduardo û ü û û
Rodolfo ü û û û
Tercer dato Esquema principal
Rpta. Rodolfo practica karate.
Al momento de trabajar un ordenamiento circular se debe tomar en cuenta lo siguiente:
Al momento de
colocar las dos
entradas en la tarea,
no interesa el orden
en que se colocan.
Al colocar un ü
(check) en cualquier
recuadro se debe
llenar el resto de su
fila y su columna con
û (aspa).
Existen dos tipos de
datos:
a) Datos directos:
• Juan es
ingeniero.
• A Pedro le gusta
el color rojo.
b) Datos para
descartar:
• Juan es
hermano del
ingeniero (por
tanto él no es
ingeniero).
• A Pedro no le
gusta el color
rojo.
Al momento de llenar
la tabla se debe
empezar con los
datos directos, luego
de agotar este tipo
de datos recién se
comienza a trabajar
con los datos para
descartar.
COLOR
N
O
M
B
R
E
S
NOMBRES
C
O
L
O
R
Recu e rda
17MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
Cinco amigos van al cine y ocupan una fila
de 7 asientos; se sientan juntos siempre que no
sean del mismo género, en ese caso, se deja un
asiento vacío entre ellos. Una persona observa
que:
• Mayra está sentada junto al pasillo en el
extremo derecho.
• Víctor está entre Alfonso y Milagros.
• Alfonso es esposo de Mayra y está sentado a la
derecha de Alexis.
• Los esposos se sientan juntos.
• Víctor está adyacente a los dos lugares vacíos.
¿Quién ocupa la cuarta posición contando desde
la izquierda?
Rpta. Fernando se sienta junto a Charles y Benito.Rpta. Bryan e Iván llegaron 1.° y 4.°, respectivamente.
En una carrera participan 6 personas, obteniéndose
los siguientesresultados:
• César no llegó en un lugar impar.
• Mariano llegó equidistante a Iván y a Felipe,
quien llegó en último lugar.
• Jhon deberá entrenar más si desea obtener el
título.
¿En qué puestos llegaron Bryan e Iván,
respectivamente?
Seis amigos: Arturo, Benito, Charles, Diego,
Evaristo y Fernando se sientan alrededor de
una mesa circular con seis asientos distribuidos
simétricamente. Si se sabe que:
• Diego no se sienta junto a Benito.
• Evaristo no se sienta junto a Charles.
• Arturo se sienta a la derecha inmediata de
Benito y diametralmente opuesto a Charles.
¿Junto a quiénes se sienta Fernando?
Bryan
1.°
Jhon
3.°
César
2.°
Iván
4.°
Felipe
6.°
Mariano
5.°
• Iván
• Jhon no llegó en 1.er lugar.
Mariano Felipe
• César: lugar par (2.° ; 4.° o 6.°)
Rpta. Víctor se sienta en la cuarta posición.
• Alfonso
• Alexis Alfonso
Víctor Milagros
• φ φVíctor
Víctor Alfonsoφ φ MayraMilagros Alexis
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Se pueden generar dos ordenamientos.
Julio invita a cenar a sus amigos: Violeta, Mónica,
César, Freddy y Alberto; pero este último no pudo
asistir. Los asistentes se sientan alrededor de
una mesa circular con seis asientos distribuidos
simétricamente. Julio se sienta junto a Freddy y
César. Frente a Freddy se sienta Violeta. Junto
a un hombre no se encuentra el asiento vacío.
¿Cuántos ordenamientos se pueden generar?
ø
VioletaMónica
Freddy
Julio
César
ø
MónicaVioleta
César
Julio
Freddy
Resolución:
Diego
EvaristoCharles
Fernando
Benito
Arturo
Primer dato utilizado
1 3
2 4
18
Paul, Jacinto, Pedro y Mauro tienen diferentes
ocupaciones y se sabe que:
• Paul y el futbolista son amigos del mesero.
• Jacinto es amigo del mesero.
• El vendedor es familia de Mauro.
• El carpintero es muy amigo de Pedro y del mesero.
• Paul es vendedor.
¿Qué ocupación tiene Jacinto?
En una mesa circular hay 6 asientos
simétricamente colocados en los cuales están
sentados 6 amigos que juegan bingo. Si Luis no
está sentado al lado de Antonio ni de Rosa, Lidia
no está al lado de Carlos ni de Rosa, Antonio no
está al lado de Carlos ni de Lidia, Andrea está
junto y a la derecha de Antonio. ¿Quién está
sentado junto y a la izquierda de Lidia?
Cuatro amigas: Sabrina, Lourdes, Pamela y Sara
salen de compras, y se sabe que cada una quiere
comprar una prenda distinta: un par de zapatos,
una blusa, un vestido y un par de guantes.
Además, se tiene que:
• Sabrina no necesita zapatos, por lo cual no los
compra.
• Lourdes comprará un vestido nuevo.
• Pamela le aconseja a Sara sobre el color de
guantes que se va a comprar.
¿Quién comprará los zapatos?
Stephanie, Giovanna y Milagros viven en
tres ciudades distintas: Lima, Cusco y Piura,
estudiando una carrera diferente: Medicina,
Derecho y Contabilidad. Si se sabe que:
• Stephanie no vive en Cusco.
• Giovanna no vive en Piura.
• La que vive en Cusco no estudia Derecho.
• Giovanna no estudia Medicina.
• La que vive en Piura estudia Contabilidad.
• Milagros no vive en Lima.
¿Dónde vive y qué estudia Giovanna?
• Piura - Contabilidad
• Como la que vive en Cusco no estudia Derecho,
entonces estudia Medicina.
zapatos blusa vestido guantes
Sabrina û ü û û
Lourdes û û ü û
Pamela ü û û û
Sara û û û ü
futbolista mesero vendedor carpintero
Paul û û ü û
Jacinto û û û ü
Pedro ü û û û
Mauro û ü û ü
Stephanie Milagros Giovanna
Piura Cusco Lima
Contabilidad Medicina Derecho
Milagros
Rpta. Andrea está junto y a la izquierda de Lidia.
Rpta. Pamela comprará los zapatos. Rpta. Jacinto es el carpintero.
Rpta. Giovanna vive en Lima y estudia Derecho.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Luis
LidiaCarlos
Rosa
Antonio
Andrea
û Luis
û Lidia
û Lidia
û Carlos
û Luis
û Lidia
primer dato
Luis ≠ Antonio
Luis ≠ Rosa
Lidia ≠ Carlos
Lidia ≠ Rosa
Antonio ≠ Lidia
Antonio ≠ Carlos
descarte
5 7
6
8
19MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios de aplicación
Se sabe que Miguel es mayor que Pepe, Manuel
es menor que Eric y que Pepe no es menor que
Eric. ¿Quién de ellos es el menor de todos?
En cierta prueba, Luisa obtuvo menos puntos
que Fátima; Mariela, menos puntos que Ariana;
Gabriela, el mismo puntaje que Ximena; Luisa,
más puntaje que Sofía; Mariela, el mismo que
Fátima y Gabriela, más que Ariana. ¿Quién obtuvo
el menor puntaje?
De los profesores de matemática se sabe que:
• Víctor es mayor que Felipe, pero menor que
Adrián.
• Manuel es menor que Víctor y mayor que Beto.
• Jorge es mayor que Víctor.
• Adrián es mayor que Elizabeth.
Podemos afirmar con certeza:
a) Jorge es mayor que Adrián.
b) Manuel es menor que Felipe.
c) No es cierto que Jorge sea mayor que Beto.
d) Adrián es mayor que Beto.
e) Más de una es correcta.
Cinco alumnos rinden un examen, obteniéndose
los siguientes resultados:
• David obtuvo dos puntos menos que Renzo.
• Renzo obtuvo dos puntos menos que Juan.
• Rodrigo obtuvo un punto más que Renzo.
• Renzo obtuvo un punto más que Alonso.
¿Quién obtuvo el mayor puntaje?
En un edificio de 5 pisos viven las familias López,
Novoa, Bazán, Echevarría, Sandoval, cada una
de ellas en pisos diferentes.
• Al señor Echevarría le hubiera gustado vivir en
el segundo piso.
• La familia Sandoval vive un piso encima de los
Novoa.
• La familia López vive lo más alejado posible de
los Bazán.
• Uno de los integrantes de la familia Bazán no
puede subir las escaleras, motivo por el cual
han decidido vivir en el primer piso.
¿Qué familia vive en el tercer piso?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
En un edificio de 4 pisos viven 4 amigos cada
uno en un piso diferente, bajo las siguientes
condiciones:
• Jaime no puede subir las escaleras por razones
de salud, por eso vive en el primer piso.
• Paulo vive en el piso inmediato superior al piso
donde vive Flavio, quien vive arriba de Carlos.
¿Cuáles de los siguientes enunciados son
siempre verdaderos?
I. Carlos vive en el segundo piso.
II. Carlos vive en el cuarto piso.
III. Flavio vive en el tercer piso.
1
2
4
3
6
5
20
Seis amigos: Manuel, Norberto, Óscar, Piero,
Daniel y Renzo se sientan alrededor de una
mesa circular con seis asientos distribuidos
simétricamente.
Además:
• Piero no se sienta junto a Norberto.
• Manuel se sienta junto y a la derecha de
Norberto y frente a Óscar.
• Daniel no se sienta junto a Óscar.
¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Renzo?
En una mesa circular hay seis asientos
simétricamente colocados, ante la cual se sientan
seis amigas a jugar monopolio. Si Valeria no está
sentada al lado de Fernanda ni de Carolina. María
no está al lado de Guadalupe ni de Carolina,
Fernanda no está al lado de Guadalupe ni de María,
Irene está junto y a la derecha de Fernanda. ¿Quién
está sentada junto y a la izquierda de María?
Seis amigos se sientan alrededor de una mesa
circular con ocho sillas distribuidas simétricamente,
y se sabe que:
• Flavio está sentado a la izquierda de Humberto
y junto a él.
• Kevin está sentado al frente de Gustavo y a la
izquierda de Javier.
• Gustavo está sentado a dos asientos de Flavio.
• Javier está sentado diametralmente opuesto de
Humberto y este está sentado a la izquierda de
Kevin.
• Ignacio conversa amenamente con todos.
¿Cuántos posibles ordenamientos hay?
Cinco amigos: Alex, Benito, Charlie, David y
Eduardo se sientan alrededor de una mesa
circular con cinco sillas y se sabe que:
• Las cinco sillas se encuentran distribuidas
simétricamente.
• Alex se sienta junto a Benito.
• David no se sienta junto a Charlie.
Podemos afirmar con certeza que:
I. David se sienta junto a Alex.
II. Eduardo se sienta junto a Charlie.
III. Benito se sienta junto a David.
En una mesa circular de 7 sillasse sientan a
discutir cuatro hombres: Kevin, Bryan, Juan y
Felipe y tres mujeres: Araceli, Miriam, Sofía.
Sabiendo que:
• Dos mujeres no pueden estar juntas.
• Araceli no se sienta junto a Felipe.
• Bryan se sienta junto y a la derecha de Felipe,
pero Sofía no se sienta junto a ellos.
¿Cuántos ordenamientos se pueden generar?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Ocho amigos se sientan alrededor de una
mesa circular con ocho asientos distribuidos
simétricamente. Se sabe que:
• Fernando y Glenda se sientan juntos.
• Daniel no se sienta junto a Beatriz ni a su
izquierda.
• Ana se sienta a la derecha de Beatriz y a la
izquierda de Elsa.
• Carlos no se sienta junto a Elsa ni a Glenda
• Héctor llegó un poco retrasado a la reunión.
• Amigos del mismo género no se sientan juntos.
¿Quiénes se pueden sentar frente a Daniel?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
8
11
9
12
107
21MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
A un concierto de rock acuden Hugo, Paco y Luis
acompañados de sus enamoradas Patty, Janet y
María, aunque no necesariamente en ese orden.
Además, se sabe que:
• Paco deja a su pareja un momento y acompaña
a María a comprar una gaseosa.
• Luis está celoso ya que Paco y María demoran
mucho tiempo y ella es su enamorada.
• Patty y Hugo son muy buenos amigos.
¿Quién es la enamorada de Paco?
Rpta.
Alfredo, Beto, Carlos y Diego son: mecánico,
electricista, soldador y carpintero; llevan uniforme
blanco, amarillo, rojo y azul. Además, se sabe que:
• El mecánico derrotó a Beto en sapo.
• Carlos y el soldador juegan a menudo el bingo
con los hombres de rojo y azul.
• Alfredo y el carpintero tienen envidia del hombre
de uniforme azul, quien no es electricista.
• El electricista usa uniforme blanco.
¿Qué oficio tiene Carlos?
Rpta.
En un concurso de belleza se presentan
representantes de Chile, Argentina, Colombia y
Perú. Ellas estudian las siguientes profesiones:
Secretariado bilingüe, Contabilidad, Medicina y
Educación, aunque no necesariamente en ese
orden. Además, se sabe que:
• La representante de Chile no tiene la mínima
noción de taquigrafía, por lo que no es Secretaria.
• Las representantes de Colombia y de Argentina
no tienen paciencia con los niños, por lo que no
trabajan educando.
• En un accidente la representante del Perú atendió
un parto.
• La representante de Argentina solo habla
castellano.
¿Quién estudia Contabilidad?
Rpta.
En un nuevo evento internacional, Nora presenta
a Gerardo cuatro participantes: un colombiano, un
chileno, un paraguayo y un venezolano, que trabajan
en Educación, Marketing, Teatro y Cine, aunque
no necesariamente en ese orden. Como Gerardo
quiere saber a qué se dedica cada uno, Nora le dice:
• El chileno preguntó al que trabaja en Teatro sobre
la posibilidad de colaborar en una obra.
• El colombiano conoció al educador al inicio del
evento.
• El que trabaja en Cine y el chileno son amigos
pero nunca han trabajado juntos.
• Ni el paraguayo ni el que trabaja en el Cine
conocían al venezolano.
¿En qué trabajan el colombiano y el chileno,
respectivamente?
Rpta.
Tres jugadores: Armando, Bruno y Coco
pertenecen a uno de los siguientes equipos: AL,
U, SC. Cada uno lleva un número diferente en su
camiseta: 1; 2 o 3 y juega en un puesto diferente:
defensa, volante o delantero; y además:
• Armando no es defensa y lleva el número 2.
• Bruno juega en SC y no lleva el número 3.
• El delantero lleva el número 3 y es amigo del
que juega en AL.
¿Cuál es el equipo y número de Armando?
Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Santiago, Luis, Gael y Marco, son cuatro amigos
que practican un juego diferente cada uno. Si se
sabe que:
• Santiago quisiera jugar ajedrez en lugar de
damas.
• Luis le pide prestadas sus fichas de ludo a Marco
porque quisiera aprender a jugar ese juego.
• Gael no sabe jugar dominó.
¿Quién practica ajedrez y qué juego practica Luis?
Rpta.
Resolución:
17
13
15
18
16
14
22
Practica y demuestra
La ciudad de Huancayo está ubicada al este de
Lima. Cerro de Pasco al oeste de Pucallpa. Lima,
a su vez, está ubicada al oeste de Cerro de Pasco.
¿Cuál es la ciudad ubicada al oeste de las demás?
Rpta.
Cinco personas: Javier, Braulio, René, Lisa y Ana
trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un
piso diferente, si se sabe que: Javier trabaja un
piso adyacente al que trabajan Braulio y René; Lisa
trabaja en el quinto piso. Adyacente y debajo de
Braulio hay un piso vacío.
¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso,
respectivamente?
Rpta.
A María tiene el rompecabezas.
B Diana tiene el peluche.
C Luisa tiene la pelota.
D Carla tiene la muñeca.
E Diana está a la derecha de Luisa.
Cuatro niñas están jugando con sus juguetes
preferidos alrededor de una mesa circular con
cuatro sillas ubicadas simétricamente. Se sabe
que Diana tiene la muñeca, Carla está a la
derecha de la dueña de la pelota, Luisa está
frente a María; la dueña del rompecabezas está a
la izquierda de la del peluche, María no es dueña
de la pelota. De lo anterior, se puede afirmar:
Seis amigos (A, B, C, D, E y F) se sientan en
6 asientos contiguos en el cine. Si se sabe que:
• A se sienta junto y a la izquierda de B.
• C está a la derecha de A, y entre F y D.
• D está junto y a la izquierda de E.
• F está a la izquierda de B.
¿Quién ocupa el segundo asiento si contamos de
izquierda a derecha?
Rpta.
Cuatro amigos: Abel, Bernardo, César y Diego se
sientan alrededor de una mesa circular con cuatro
asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe
que Bernardo no está sentado frente a César;
Abel está a la izquierda de César, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es cierta?
A Diego está frente a César.
B Bernardo está frente a César.
C César está a la derecha de Bernardo.
D Diego y Bernardo no están juntos.
E Más de una afirmación es correcta. En el primer día del campeonato mundial femenino de vóley van a jugarse 4 partidos entre
los equipos de Bolivia, Corea, Egipto, Perú, Italia,
Japón, Rusia y China. Los periodistas preguntaron
a tres aficionados su punto de vista con respecto
a los ganadores de la primera fecha, a lo que ellos
contestaron:
• Aficionado 1: Bolivia, Corea, Japón, Perú.
• Aficionado 2: Perú, Rusia, China, Japón.
• Aficionado 3: Japón, Corea, Egipto, China.
Según estos datos, ¿contra qué equipo jugó
Japón?
Rpta.
Piero, Alberto, Raúl y Alex son primos y cada uno
practica un deporte diferente al otro. Los deportes
que practican son: fútbol, baloncesto, tenis y golf,
aunque no necesariamente en ese orden.
Si se sabe lo siguiente:
• Alex no practica golf.
• Raúl no practica fútbol ni golf.
• Alberto practica tenis.
¿Qué deporte practica Raúl?
Rpta.
El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Marrón,
almorzaban juntos. Uno llevaba camisa blanca,
otro roja y el último, marrón, pero ninguno de
sus apellidos coincide con el color de la camisa
que llevaban. Si el señor Rojo no llevaba camisa
blanca, ¿de qué color era la camisa del señor
Marrón?
Rpta.
Seis alumnos: Armando, Lourdes, Úrsula, Martha,
Nora y Óscar, se sientan alrededor de una mesa
circular con seis sillas distribuidas simétricamente.
Se sabe que:
• Armando se sienta diametralmente opuesto a
Lourdes.
• Úrsula no se sienta junto a Martha ni a Óscar.
• Óscar se sienta junto y a la derecha de Lourdes.
Podemos afirmar:
I. Martha se sienta junto a Óscar.
II. Martha se sienta junto a Armando.
III. Úrsula se sienta junto a Nora.
Rpta.
1 6
2
3
7
4
8
5
9
Tema
23MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
3
Certezas
Los problemas sobre certezas se refieren a extracciones de objetos que tengan la
misma forma y tamaño.
Nociones previas
Certeza
La palabra certeza significa «conocimiento seguro y claro que se tienede algo», es
decir, tener la certeza de algo es estar completamente seguro que eso va a suceder.
Azar
La palabra azar significa «causa o fuerza que supuestamente determina que los hechos
y circunstancias imprevisibles o no intencionados se desarrollen de una manera o de
otra», es decir, hacer algo al azar quiere decir que el resultado será aleatorio, producto
de la suerte, sin tener ningún tipo de conocimiento de la forma en la cual se puede
volver a obtener.
Estrategia a utilizar
Si tenemos una bolsa con 4 fichas rojas y 4 negras, todas ellas iguales.
Al extraer una ficha sin ver el interior de la bolsa, ¿estaremos seguros que la ficha
extraída será negra? No, porque al no poder ver las fichas y al ser todas iguales, no
habrá forma de saber el color de la ficha que se está sacando hasta que esté fuera de
la bolsa.
Entonces, ¿cómo hacemos para tener la certeza de que la ficha que vamos a extraer
sea negra? Para estar completamente seguros de ello retiraremos todas las fichas de
otro color, es decir, todas las fichas rojas, de tal manera que al quedarme solo fichas
negras en la bolsa, la siguiente que saque será necesariamente de ese color.
? ? ?
Por lo tanto, si queremos estar completamente seguros de extraer una ficha de un tipo
específico, lo que haremos es extraer todo aquello que no buscamos, de tal manera
que solo queden lo que necesitamos.
¡Es negra!
Tener certeza, es
estar seguro de algo y
para que eso suceda
hay que considerar
las situaciones más
críticas, es decir, que
debemos ponernos
en el peor de los
casos, para estar
seguros que ese
evento suceda.
Los juegos de naipes
o juegos de cartas
se juegan con unas
cartulinas, llamadas
naipes o cartas,
que forman una
baraja y que deben
mezclarse (barajarse)
antes de jugar.
En determinados
juegos se usan
complementos para
realizar apuestas o
llevar puntuaciones.
Los juegos de naipes
estarían incluidos en
la familia de juegos
de mesa. Hay varios
tipos de baraja
(conjunto de naipes
o cartas), como la
baraja española o la
francesa.
Para los problemas
de certezas se
trabajará con la
baraja francesa
que está formado
por 52 unidades
repartidas en cuatro
palos: corazones,
diamantes, tréboles
y picas (espadas).
Donde en todos los
palos están las cartas
enumeradas del uno
al trece.
♠♥
♦♣
24
Ejercicios resueltos
Dentro de una urna se colocan 12 esferas rojas,
15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes.
¿Cuántas esferas tenemos que sacar como
mínimo y al azar para estar seguro de haber
extraído 14 de uno de los colores?
Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo),
¿cuántas cartas hay que extraer como mínimo
para estar seguros de haber obtenido una carta
con numeración impar y de color rojo?
Gabriel tiene en una urna veinte fichas numeradas
del 1 al 20. ¿Cuánto es el mínimo número de
fichas que ha de extraer para que tenga la certeza
de haber obtenido 4 fichas numeradas de manera
consecutiva?
Si se tiene 180 fichas numeradas del 1 al 180,
¿cuántas fichas se deben extraer al azar para tener
la certeza de haber obtenido 2 fichas cuyos valores
sean mayores que 20 pero menores que 40?
En una bolsa hay 19 bolas blancas, 28 bolas rojas,
y 32 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo
se deben extraer al azar para tener la certeza de
haber obtenido 8 bolas del mismo color?
Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y
17 blancas. ¿Cuántas bolas se debe sacar al
azar y como mínimo para obtener al menos una
de cada color?
Rpta. Tenemos que sacar 65 esferas.
Rpta. Tenemos que extraer 39 cartas.
Rpta. Gabriel tendrá que extraer 16 fichas.
Rpta. Se debe extraer 22 bolas. Rpta. Se tiene que extraer 163 fichas.
Rpta. Se debe sacar 36 bolas.
14 de uno de los colores:
12r + 13b + 13n + 13a + 13v + 1 = 65
Una carta impar y roja:
26 negras + 12 rojas pares + 1 = 39
Una de cada color:
18N + 17B + 1R = 36
Total
52 cartas
rojas
26
negras
26
♥ 1; 2; 3; ...; 13
♦ 1; 2; 3; ...; 13
♠ 1; 2; 3; ...; 13
♣ 1; 2; 3; ...; 13
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
8 bolas del mismo color:
7B + 7R + 7A + 1 = 22
Quiero : 21; 22; 23; ...; 39 → 19 fichas
No quiero: 180 – 19 = 161 fichas
161 fichas + 2 = 163
1
+ 19
17
2
10
18
3
11
19
4
12
20
5
13
6
14
7
15
8
16 ??
No
sirve
Uno menos de los que se
quiere
Los dos grupos
con mayor cantidad
de bolas
Una menos de las
que se quiere Lo que no
quiero
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1 4
2
3
5
6
25MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
En una urna hay fichas rojas, blancas y azules. Si
las rojas son 51 y estas son 17 veces las blancas,
siendo las azules a las blancas como 5 es a 1,
¿cuántas fichas habrá que extraer al azar y como
mínimo para obtener un color por completo?
En una urna hay 200 bolas, por cada 12 bolas
blancas hay 5 negras y 3 rojas. ¿Cuántas bolas
se deben extraer al azar y como mínimo para
tener la certeza de haber obtenido dos negras y
tres rojas?
¿Cuántas personas deben haber como mínimo
en una habitación para tener la certeza que hay
cuatro personas que nacieron el mismo día de la
semana?
Una bolsa contiene caramelos: 30 de limón, 12 de
naranja, 28 de manzana y 42 de piña. ¿Cuántos
caramelos hay que extraer al azar y como mínimo
para tener la seguridad de obtener 3 caramelos de
sabores diferentes?
¿Cuántas personas deben haber como mínimo
en una habitación para tener la certeza que dos
personas han nacido el mismo mes?
Rpta. Habrá que extraer 67 fichas.
Rpta. Se debe extraer 173 bolas.
Rpta. Debe haber 13 personas como mínimo.
Rpta. 22 personas como mínimo. Rpta. Hay que extraer 73 caramelos.
rojas: 51
blancas: 5117 = 3
azules: 15
blancas: 12k → 120
negras: 5k → 50
rojas: 3k → 30
20k = 200
k = 10
2 negras y 3 rojas:
120 blancas + 50 negras + 3 rojas = 173
Número de meses: 12
Dos personas que hayan nacido el mismo mes:
12 meses + 1 = 13
Número de días de semana: 7
Cuatro personas que hayan nacido el mismo día
de la semana santa.
3 lunes + 3 martes + ... + 3 domingo + 1
3(7) + 1 = 22
Un color por completo:
50 rojas + 2 blancas + 14 azules + 1 = 67
42 piña + 30 limón + 1 = 73
Los dos grupos con
más elementos
3 en
cada día
Todos diferentes
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
azules
blancas =
5
1 =
15
3
× 3
× 3
Dentro de una caja depositamos 120 bolas
numeradas del 1 al 120. ¿Cuántas hay que
extraer al azar y como mínimo para obtener 1 bola
con numeración par y múltiplo de 3, comprendida
entre 60 y 80?
Rpta. Se deben extraer 118 bolas.
1 bola 6° = 6x
60 < 6x < 80
{66; 72; 78}
casos a favor: 3
casos en contra: 120 – 3 = 117
No quiero + 1
117 + 1 = 118
Resolución:
2°par →
3°
3 caramelos de sabores diferentes:
7 10
8
9
11
12
26
Ejercicios de aplicación
En una caja hay 100 bolas numeradas del 1 al
100. ¿Cuántas bolas se deben extraer al azar y
como mínimo para tener la certeza de obtener
8 bolas con numeración par?
Se tiene una bolsa con canicas, donde hay
6 canicas negras, 4 azules y 5 verdes. ¿Cuántas
bolitas como mínimo se tendrán que extraer al
azar para tener la certeza de haber extraído una
bolita negra?
Se tiene fichas numeradas del 1 al 26. ¿Cuánta es
la menor cantidad de fichas que se deben extraer
al azar para tener la certeza de que la suma de los
números de todas las fichas extraídas sea par?
Hay 6 candados (A, B, C, D, E, F) y 4 llaves (W, X,
Y, Z), si cada llave abre solo un candado. ¿Cuánto
es el número mínimo de veces que debe utilizarse
las llaves para poder determinar con seguridad la
correspondencia a cada uno de los candados?
Se tiene una bolsa negra con 8 caramelos de
limón, 6 de naranja, 10 de manzana y 9 decoco.
¿Cuánto es el mínimo número de caramelos que
hay que extraer al azar para tener la seguridad de
haber extraído 3 caramelos de coco?
En una urna se tiene 18 pares de guantes azules
y 22 pares negros. ¿Cuántos guantes se deben
extraer al azar y como mínimo para tener la
certeza de haber obtenido 2 guantes negros?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
2
4
3 6
5
27MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
En una caja se encuentran 12 conejos blancos,
4 conejos negros y 8 conejos marrones. ¿Cuánto
es el mínimo número de conejos que se deben
extraer al azar para tener la seguridad de haber
obtenido 2 conejos marrones y 4 conejos blancos?
De una baraja de 52 naipes que hay en una bolsa.
¿Cuántos naipes debo extraer como mínimo
para tener la seguridad de obtener un naipe de
corazones y cuyo número sea par?
Un estudiante tiene en una caja grande 8 pares de
zapatos negros y 10 pares de zapatos marrones,
todos ellos del mismo modelo. ¿Cuántos
zapatos se tendrán que extraer al azar y como
mínimo para tener la certeza de que se obtendrá
dos pares útiles del mismo color?
Hugo tiene en una urna quince fichas numeradas
del 1 al 15, ¿cuál es el mínimo número de fichas
que ha de extraer para tener la certeza de
haber obtenido 3 fichas numeradas de manera
consecutiva?
En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas
blancas hay 20 negras y 17 rojas. ¿Cuántas bolas
se deben extraer al azar y como mínimo para
tener la certeza de haber obtenido dos negras y
tres rojas?
¿Cuántas personas deben haber como mínimo en
una habitación para tener la certeza de que haya
dos personas que nacieron el mismo día de la
semana?
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
8 11
9 12
107
28
De un grupo de 80 caramelos de chicha y 20 de
limón que están en una bolsa oscura, ¿cuántos se
deben sacar al azar y como mínimo para invitarle
a una amiga un caramelo de limón?
En una rifa se han hecho 500 tickets, todos con
números diferentes y hay 30 premios en sorteo.
¿Cuántos tickets se deben comprar como mínimo
para tener la certeza de obtener un premio?
Se tiene en una urna fichas numeradas del 1 al 23.
¿Cuántas fichas debemos extraer como mínimo y
sin ver, para estar seguros de haber extraído una
ficha cuya numeración sea mayor o igual que 7?
Se tiene 50 bolos numerados desde ‒14 hasta 35.
¿Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer
al azar, para que el producto de las numeraciones
obtenidas sea un número no positivo?
Se tiene 15 fichas verdes, 20 blancas y 28 amarillas,
todas de la misma forma y peso, mezcladas en
una caja. ¿Cuántas fichas se tendrán que sacar al
azar como mínimo para tener la certeza de poseer
4 fichas blancas y 8 fichas verdes?
Se tiene una bolsa con 18 caramelos de limón,
20 de naranja, 15 de manzana y 21 de coco.
¿Cuánto es el mínimo número de caramelos que
hay que extraer para tener la seguridad de haber
obtenido 8 caramelos de limón y 10 de manzana?
¿Cuántas cartas tendrán que extraerse al azar y
como mínimo de una baraja de 52 cartas, para
obtener con certeza 5 cartas de trébol y 9 de
espadas?
En una urna se tiene 20 pares de guantes de color
azul y 18 pares de color negro. ¿Cuántos guantes
tenemos que sacar como mínimo para obtener
2 pares de guantes negros utilizables?
¿Cuántas personas deben haber como mínimo en
una habitación para tener la certeza de que hayan
cinco que nacieron el mismo mes?
En una urna se tienen 10 bolas verdes, 8 azules,
6 celestes y 4 blancas. ¿Cuántas debemos extraer
como mínimo y al azar para haber obtenido con
seguridad 3 bolas de cada color?
A 100 B 90 C 81
D 80 E 79 A 79 B 75 C 74
D 69 E 64
A 26 B 48 C 50
D 51 E 52
A 38 B 40 C 60
D 68 E 72
A 12 B 13 C 14
D 28 E 49
A 27 B 28 C 29
D 30 E 31
A 531 B 499 C 479
D 471 E 469
A 11 B 10 C 9
D 8 E 7
A 50 B 36 C 35
D 30 E 14
A 56 B 58 C 60
D 62 E 63
Practica y demuestra
1 6
2
7
8
3
9
4
5 10
Tema
29MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
4
Métodos operativos
Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), son el
instrumento matemático más antiguo utilizado por el hombre para resolver problemas
de carácter comercial y de la vida diaria.
Con el desarrollo de este tema se busca adquirir la capacidad de resolver problemas
en este tipo de situaciones cotidianas. Para esto, se explicarán tres métodos distintos:
Método de las operaciones inversas, Regla de tres simple y Regla conjunta.
Método de las operaciones inversas
Se utiliza en aquellas situaciones en donde se conoce un conjunto de operaciones
sucesivas y el valor del resultado.
Ejemplo:
A cierto número se le multiplica por 3, al producto se le agregan 5 unidades y luego se le
divide entre 5, obteniendo como resultado final 7. ¿Cuánto es el valor de dicho número?
Planteo:
Regla de tres simple
Es un procedimiento que sirve para resolver rápidamente problemas de proporcionalidad,
tanto directa como inversa. En este caso, solo desarrollaremos la regla de tres que
aplica a situaciones de magnitudes directamente proporcionales.
Para hacer una regla de tres simple se necesita tres datos: dos magnitudes
proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, se podrá calcular el
valor del cuarto término de la proporcionalidad.
Se le llama el método de las operaciones inversas porque ahora, para calcular el
resultado del número inicial se irá de atrás hacia adelante, aplicando la operación
inversa a la que aparece en el planteo inicial y que se indica en el problema.
Por lo tanto, el valor del número es 10.
× 3
× 3
× 5
× 5
÷ 5
÷ 5
÷ 3
÷ 3
+ 5
+ 5
− 5
− 5
7
7
730 3510
Los problemas que se
resuelven por estos
métodos también se
pueden resolver por
procedimientos
algebraicos;
sin embargo, se
trata de dejar de
lado el álgebra y sus
ecuaciones, que son
poderosas
herramientas del
trabajo matemático,
para dar paso al
raciocinio puro con los
datos numéricos que
ofrecen los
problemas.
El método de
las operaciones
inversas se aplica
a problemas que
mencionan
operaciones
sucesivas, de las
cuales se conoce
el resultado final y
se pide averiguar
el valor inicial; el
procedimiento para
resolverlo es ir del
final hacia el inicio,
es decir, ir hacia
atrás, por esto se
denomina «método del
cangrejo», y en cada
paso se efectúa la
operación inversa a la
indicada.
Not a
30
Ejemplo:
En 2 kg de limones hay 35 unidades. ¿Cuántos limones habrán en 12 kg, si estos
limones son del mismo tamaño que los del primer grupo?
Planteo:
Número de limones Peso (kg)
35 2
m 12
35m =
2
12
35 × 12 = 2 × m
210 = m
Por lo tanto, habrá 210 limones en 12 kilogramos.
Regla conjunta
Es un método que permite determinar la equivalencia de dos elementos, cuando dan
un conjunto de equivalencias. La forma de resolver este tipo de situaciones es la
siguiente:
1. Se colocan las equivalencias formando dos columnas.
2. Se debe procurar que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten
cambiar el sentido de la equivalencia.
3. Ahora se multiplican los elementos de cada columna.
4. Por último, se despeja el valor de la incógnita.
Ejemplo:
Se sabe que en una casa de cambio el valor de 10 yenes equivale al de 7 bolívares; por
2 euros dan 5 soles; por 21 bolívares dan 4 euros. ¿Cuántos soles equivalen al valor
de 81 yenes?
Planteo:
10 yenes < > 7 bolívares
2 euros < > 5 soles
21 bolívares < > 4 euros
x soles < > 81 yenes
(10)(2)(21)x = (7)(5)(4)(81)
x = 27
Por lo tanto, 27 soles equivalen a 81 yenes.
(×) Al multiplicar columna por columna, las
unidades se van aeliminar.
En la regla de tres
simple se establece
la relación de
proporcionalidad entre
dos valores conocidos
A y B, y conociendo
un tercer valor C,
se calcula un cuarto
valor D.
Dicha relación de
proporcionalidad
existente entre A y B
puede ser directa o
inversa.
Será directa cuando a
un mayor valor de A le
corresponda también
un mayor valor de B
(o a un menor valor de
A le corresponda un
menor valor de B), y
será inversa, cuando
a un mayor valor de
A le corresponda un
menor valor de B (o a
un menor valor de A le
corresponda un mayor
valor de B).
En la resolución de
los problemas de este
capítulo se pueden
utilizar otros métodos
como:
• Método de las
diferencias
• Método del rombo
• Método de la falsa
suposición
Para resolver este tipo de problemas se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:
1. Se colocan los datos en dos columnas, una para cada magnitud.
2. Se debe dividir los números que aparecen en cada columna, tomando en cuenta que
uno de estos valores es todavía desconocido.
3. Por último, se despeja el valor de la incógnita.
Recu e rda
31MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
Un número se divide entre 2, el resultado se eleva
al cuadrado, luego se divide entre 4 y por último
se le extrae la raíz cuadrada, obteniendo 5. ¿Cuál
es el valor del número inicial?
En un pueblo existe un santo que hace el milagro
de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada
milagro que hace se le debe dejar una limosna de
16 soles. Si luego de hacerle 3 milagros seguidos
a un devoto este salió de la iglesia sin un centavo.
¿Cuánto tenía al entrar?
A un cierto número lo multiplicamos por 2, al
resultado le añadimos 6 y a dicha suma la dividimos
entre 4, obteniendo finalmente 2. ¿Cuánto es el
valor de dicho número?
Un día domingo Juan Ramón salió de compras con
sus 4 amigas. Gastó en pasajes de ida S/ 8, con
la mitad del resto compró 2 regalos para Evelyn
y Magaly; para Silvia le compró un regalo de
S/ 80. Con la mitad del nuevo resto y S/ 40 más
compró una cartera para Lourdes. Cuando él quiso
comprarse una billetera observó que le faltaba
dinero, por lo que Evelyn le prestó, duplicándole el
dinero que le había quedado, con lo cual se compró
una billetera de S/ 100 y se quedó solamente con
S/ 8 para el pasaje de vuelta. ¿Cuánto dinero tenía
Juan Ramón al inicio?
Manuel compró un cuaderno. Cada día escribe
en la mitad de las hojas en blanco más 5 hojas,
si después de 3 días observa que solamente
le queda 5 hojas. ¿Cuántas hojas tenía dicho
cuaderno?
Tres jugadores: Armando, Braulio y Charlie juegan
unas partidas de dominó y convienen que el que
pierda triplicará el dinero de los otros dos. Se sabe
que pierden en el orden indicado y al final cada
uno queda con S/ 81. ¿Con cuánto dinero empezó
Armando?
20
14
110
1
100
8
20
5
8
10
12
50
2
25
0
Armando Braulio Charlie
165 57 21 = 243
9 171 63 = 243
27 27 189 = 243
81 81 81 = 243
2
5
÷ 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
+16
+ 5
+16
+5
+16
+5
−16
−5
−16
−5
−16
−5
÷ 2
÷ 4
÷ 4
× 4
× 4
( )2
( )2
× 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
+ 6 − 6
Rpta. El número inicial es 20.
Rpta. Tenía S/ 14.
Rpta. El cuaderno tenía 110 hojas.
Rpta. Empezó con S/ 165. Rpta. Juan Ramón tenía S/ 544.
Rpta. El número inicial es 1.
−8
+ 8 + 80 + 40 + 100
× 3
× 3 × 3
× 3
× 3× 3
× 2 ÷ 2× 2
÷ 2 ÷ 2− 80 −40 −100× 2
544 536 268 188 94 54 108 8
8
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1
2
3
4
5
6
32
Por la compra de 240 libros se paga en impuestos
el valor de un libro más 6 soles. Por 180 libros, el
impuesto es el valor de un libro menos 4 soles.
¿Cuánto cuesta cada libro?
Cuando se hizo la conducción de agua a cierto
pueblo, correspondió a cada habitante 60 litros por
día. En la actualidad el pueblo tiene 40 habitantes
más por lo que corresponde a cada uno 2 litros
menos. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo?
Un albañil tenía pensado hacer un muro en
12 días, pero tardó 4 días más por trabajar dos
horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó
diariamente?
Un obrero demora 8 horas en construir un cubo
compacto de 5 cm de arista. ¿Qué parte de un
cubo de 15 cm de arista habrá construido luego de
108 horas de trabajo?
En una librería, el precio de 4 lapiceros equivale al
de 10 reglas, 9 reglas equivalen a 3 crayolas. Del
mismo modo que 8 crayolas es a 6 cuadernos. Si
se sabe que por S/ 160 dan 4 cuadernos, ¿cuántos
lapiceros dan por S/ 150?
En un mercado, en el que se trabaja a partir del
trueque, se sabe que por 3 kg de arroz dan 5 kg
de azúcar, de la misma manera por 8 kg de azúcar
dan 4 kg de frijoles, por 10 kg de frijoles dan 2 kg
de carne de res. ¿Cuántos kilogramos de carne
de res nos darán por 30 kg de arroz?
4 lapiceros < > 10 reglas
9 reglas < > 3 crayolas
8 crayolas < > 6 cuadernos
4 cuadernos < > 160 soles
150 soles < > x lapiceros
(4)(9)(8)(4)(150) = x(10)(3)(6)(160)
x = 6
3 kg arroz < > 5 kg azúcar
8 kg azúcar < > 4 kg frijoles
10 kg frijoles < > 2 kg carne
x kg carne < > 30 kg arroz
(3)(8)(10) x = (5)(4)(2)(30)
x = 5
240 libros
180 libros
240
180
L + 6
L − 4
1 libro + S/ 6
1 libro − S/ 4
1687,5
3375
1
2=
< >
< >
impuesto
=
4(L − 4) = 3(L + 6)
4L − 16 = 3L + 18
L = 34
antes actualidad
n.° de habitantes x x + 40
agua × habitantes 60 L 58 L
60x = 58(x + 40)
60x = 58x + (58)(40)
2x = (58) × (40)
x = 1160
x + 40 = 1200
día × horas = constante
(12 días)(x horas) = (16 días)(x – 2) horas
12x = 16x − 32
4x = 32
x = 8
8 horas < > 125 cm3
108 horas < > x
x = 1687,5 cm3
volumen = 153 cm3 = 3375 cm3
×
Rpta. Cada libro cuesta S/ 34.
Rpta. Habrá construido la mitad.
Rpta. Por S/ 150 dan 6 lapiceros.
Rpta. Nos darán 5 kg de carne de res. Rpta. Trabajó 8 horas diarias.
Rpta. El pueblo tiene 1200 habitantes.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
×
7 10
8
9
11
12
33MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
A cierto número se le eleva al cuadrado, a este
resultado se le resta 7, a este nuevo resultado se le
multiplica por 7, luego le agregamos 2; finalmente
le extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como
resultado final 4. ¿Cuánto es el valor de dicho
número?
A cierto número lo dividimos entre 3, al resultado
hallado le sumamos 4, a este resultado lo
multiplicamos por 2, al producto le restamos 2,
a esta diferencia le extraemos la raíz cuadrada,
obteniendo como resultado final 6. ¿Cuánto es el
valor de dicho número?
Multiplicamos un número por 4, producto al
que luego restamos 12 dividiendo enseguida el
resultado entre 3, para volver a multiplicar por
6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo
finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuánto es el valor
del número inicial?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Juan compró un cuaderno y cada día escribe
en la mitad de las hojas en blanco más 4 hojas,
si después de 3 días observa que solamente le
quedan 2 hojas. ¿Cuántas hojas tenía dicho
cuaderno?
Resolución:
Rpta.
Se tiene 3 recipientes conteniendo cierto número
de litros de agua cada uno. Del primero se
echa, a los otros dos, tantos litros como había
de agua en cada uno de ellos, en seguida se
hace la misma operación con el contenido del
segundo y finalmente se hace igual operación
con el contenido del tercero. De esta manera los
3 recipientes quedaron con 16 litros de agua cada
uno. ¿Cuál era el contenido del primer recipiente?
Resolución:
Rpta.
Se tiene48 palitos de fósforo repartidos en tres
grupos diferentes. Si del primer grupo paso al
segundo, tantos fósforos como hay en este; luego
del segundo paso al tercero tantos fósforos como
hay en el tercero y por último del tercero paso
al primero tantos fósforos como hay ahora en el
primero resulta que habrá el mismo número de
fósforos en cada grupo. ¿Cuántos fósforos había
al principio en cada grupo?
Resolución:
Rpta.
1 4
2
5
3
6
Ejercicios de aplicación
34
Una fábrica de conservas tiene una producción
mensual de 8400 latas y 12 máquinas trabajando.
Si dos máquinas se malogran, ¿en cuánto
disminuye la producción mensual?
Un hombre de 1,68 m de altura proyecta una
sombra de 1,24 m; en el mismo momento una
torre proyecta una sombra de 22,04 m. ¿Cuál es
la altura de la torre?
Juan puede arar un terreno rectangular en 8 días.
¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también
rectangular, pero del doble de dimensiones?
Kevin pintó las caras de un cubo en 40 minutos, si
ahora está pintando otro cubo cuyo lado en cada
cara es el triple del anterior. ¿A qué hora terminará
si empezó a las 10:40 a. m.?
Si al comprar una docena de lapiceros me regalan
1 lapicero, ¿cuántas docenas he comprado si
recibo 338 lapiceros?
Un estante puede guardar 24 libros de R.M. y
20 libros de R.V., o 36 de R.M. y 15 de R.V.
¿Cuántos libros de R.M. puede contener el
estante?
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
8 11
9 12
107
35MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Si 10 marcos equivalen a 58 francos y
48,5 pesetas equivalen a 100 francos. ¿Cuántas
pesetas equivalen a 100 marcos?
En un intercambio de herramientas se tiene
en cuenta la siguiente información: con tres
desarmadores se obtiene un alicate, con tres
alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se
obtendrán con 117 desarmadores?
El trabajo de cierto número de hombres equivale al
trabajo de 8 niños; si el trabajo de 4 niños equivale
al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de
tres mujeres al de un hombre. ¿Cuántos hombres
equivalen a 8 niños?
Sabiendo que 2 kg de frijoles cuestan lo mismo
que 3 kg de azúcar, 4 kg de harina valen lo mismo
que 5 kg de azúcar; que 3 kg de fideos valen S/ 30
y que 8 kg de harina cuestan lo mismo que 4 kg de
fideos. ¿Cuánto cuestan 6 kg de frijoles?
Si se sabe que el sueldo de 6 coroneles equivale
al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de
12 tenientes, el de 6 tenientes al de 9 sargentos. Si
4 sargentos ganan S/ 2400 al mes, ¿cuánto dinero
necesitará un gobierno para pagar a 4 coroneles?
Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos,
patos y pavos. Si tuviera 3 pollos más, 7 patos
menos y 5 pavos más, tendría la misma cantidad
de cada tipo de aves. ¿Cuántos pavos tiene el
granjero?
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
14 17
15 18
1613
36
Practica y demuestra
1
2
3
4
5
A los habitantes de un pueblo le corresponde
60 litros de agua diarios, al aumentar la población
en 44 habitantes, a cada uno le corresponde
2 litros menos. ¿Cuántos habitantes tiene ahora
el pueblo?
A un cierto número lo dividimos entre 6, al
resultado hallado le sumamos 2, a este resultado
lo multiplicamos por 3, luego le restamos 7;
finalmente le extraemos la raíz cúbica, obteniendo
como resultado final 2. ¿Cuál es el valor de dicho
número?
.
. .
Un tonel lleno de vino vale S/ 900. Si se sacan
de él 80 litros vale solamente S/ 180. ¿Cuál es la
capacidad del tonel?
Si a la edad de tu abuelo lo multiplicamos por
6, luego lo dividimos por 10 y el cociente lo
multiplicamos por 4 añadiendo en seguida 42,
obtendrías 162. ¿Cuál es la edad de tu abuelo?
. . . . .
A 30 años B 40 años C 50 años
D 60 años E 70 años
A 15 B 16 C 17
D 18 E 19
Margarita va de compras al mercado, gastó en
verduras S/ 6, con la mitad del resto compró
menestras, con el nuevo resto compró arroz y
azúcar gastando S/ 4 y quedándose únicamente
con S/ 1. ¿Cuánto gastó en total?
. .
A S/ 15 B S/ 20 C S/ 25
D S/ 30 E S/ 35
El agua contenida en un pozo se agota en
3 horas. En cada hora bajó el nivel del agua en
2/3 de la altura más 2 metros. ¿Cuántos
litros de agua había en el pozo inicialmente?
. . . .
.0
A 26 litros B 30 litros C 60 litros
D 75 litros E 78 litros
A 90 litros B 100 litros C 110 litros
D 120 litros E 130 litros
A 2552 B 1936 C 1502
D 1320 E 1120
Tres docenas de limones cuesta tantos soles
como limones dan por S/ 1600. ¿Cuánto vale una
docena de limones?
A S/ 240 B S/ 160 C S/ 120
D S/ 80 E S/ 40
A 520 B 260 C 130
D 80 E 40
Al comprar una docena de mangos, me regalan
uno. Si en total recibí 520 mangos, ¿cuántos
mangos me dieron de regalo?
En un mercado de trueque, por 3 kg de arroz dan
5 kg de azúcar; de la misma manera, por 8 kg de
azúcar dan 4 kg de frijoles, por 10 kg de frijoles
dan 2 kg de carne de res. ¿Cuántos kilogramos de
carne de res nos darían por 30 kg de arroz?
A 5 kg B 6 kg C 7 kg
D 8 kg E 10 kg
En una feria agropecuaria, por 3 patos dan 2 pollos,
por 4 pollos dan 3 gallinas, por 12 gallinas dan
8 monos; si 5 monos cuestan 150 soles, ¿cuánto
tengo que pagar para adquirir 5 patos?
A S/ 80 B S/ 70 C S/ 65
D S/ 60 E S/ 50
. .
. .
. .
6
7
8
9
10
Tema
37MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Planteo de ecuaciones
5
Para plantear ecuaciones es importante simbolizar cada uno de los enunciados que se
mencionan en los problemas.
A continuación, te mostramos una tabla con la simbolización de algunos enunciados
que se utilizan frecuentemente en los problemas.
Enunciado Ecuación
Plantear una ecuación consiste en traducir un enunciado a una expresión matemática.
Ejemplo:
• Un número aumentado en 10 unidades es igual a 42. x + 10 = 42
• El cuádruple de un número es igual a 96. 4y = 96
Ordinales:
1.° primero
2.° segundo
3.° tercero
4.° cuarto
5.° quinto
6.° sexto
7.° sétimo o séptimo
8.° octavo
9.° noveno
10.° décimo
11.° undécimo
12.° duodécimo
Partitivos:
1
2
un medio
1
3
un tercio
1
4
un cuarto
1
5
un quinto
1
6
un sexto
1
7
un séptimo
1
8
un octavo
1
9
un noveno
1
10
un décimo
1
11
un onceavo
1
12
un doceavo
Como te darás
cuenta, algunos
se repiten, pero no
quiere decir que son
lo mismo.
¿Sa bía s qu e.. .?
Enunciado Simbolización
Un número disminuido en 8 unidades. x − 8
El doble de un número. 2(x) = 2x
La suma de un número con 23. x + 23
La tercera parte de un número.
La suma del doble de un número con 11. 2x + 11
El doble de la suma de un número con 11. 2(x + 11)
La semisuma de un número con 12.
La diferencia de un número con 14. (x > 14) x − 14
La diferencia de un número con 14. (x < 14) 14 − x
El cuádruplo de un número. 4x
El quíntuplo de la suma de un número con 8. 5(x + 8)
La suma de dos números consecutivos. x + (x + 1)
La suma de tres números consecutivos. x + (x + 1) + (x + 2)
La suma de dos números pares consecutivos. x + (x + 2); donde x es par.
La suma de dos números impares consecutivos. x + (x + 2); donde x es impar.
El semiproducto de un número con 9.
El séptuplo de la tercera parte de un número.
La edad que tenía hace 12 años. x − 12
La edad que tendré dentro de 24 años. x + 24
El décuplo del triple de un número. 10(3x) = 30x
El nónuplo de la séptima parte de un número.
La suma de la quinta parte de un número y 28. + 28
La quinta parte de la suma de un número con 28.
La diferencia entre la octava y la onceava parte de
un número.
x
3
x + 12
2
x(9)
2
x
3
x
7
7x
3
9x
3
x + 28
5
x
5
) =
) =
(
(
9x
2=
7
9
x
8
x
8− >
x
11
x
11donde
,
38
La semidiferencia de un número con 1. (x > 1)
El triple de la diferenciade un número con 4. (x > 4) 3(x − 4)
El triple de la diferencia de un número con 4. (x < 4) 3(4 − x)
x − 1
2
Ahora, completa la siguiente tabla según lo que falte en cada caso.
Enunciado Simbolización
Un número disminuido en 37 unidades.
x + 91
El séxtuplo de un número.
La suma del triple de un número con 18.
7x
La quinta parte de un número.
6 (x + 5)
El doble de la suma de un número con 11.
x + 125
2
El semiproducto de un número con 12.
x: edad de una persona
x + 6
La edad que tenía hace 21 años.
3 x + 12
Tenía cierta cantidad de dinero y gasté 19 soles.
Los cinco doceavos de un número.
x − 56; donde x > 56
El exceso de 78 sobre un número.
3x + 13
La diferencia entre el doble de un número y 67,
donde el número es mayor que 34.
x
3
7x
2
Es importante
conocer los adjetivos
múltiplos.
× 2 doble
× 3 triple
× 4 cuádruplo
× 5 quíntuplo
× 6 séxtuplo
× 7 séptuplo
× 8 óctuplo
× 9 nónuplo
× 10 décuplo
× 11 undécuplo
× 12 dodécuplo
Import a nt e
Identifica la
operación principal
de un enunciado:
Ejemplos:
• El doble de la
suma de dos
números.
2(a + b)
• La suma del doble
de un número con
otro.
2a + b
• La quinta parte
de la suma de un
número con 8.
x + 8
5
• La suma de la
quinta parte de un
número con 8.
x
5
+ 8
Recu e rda
39MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
Halla el número cuyo cuádruplo sumado al mismo
es igual al doble del mismo número, sumado con
su triple.
número: x
4x + x = 2x + 3x
5x = 5x
(n.° de filas) × (n.° de niños) = total
Caso 1 ( x ) × ( 8 ) = 8x + 4
Caso 2 (x + 3) × ( 7 ) = 7(x + 3) − 8
8x + 4 = 7(x + 3) − 8
8x + 4 = 7x + 21 − 8
x = 9
total = 8x + 4 = 8(9) + 4 = 72 + 4 = 76
Si se forman filas de 8 niños, sobrarían 4; pero
faltarían 8 niños para formar 3 filas más de 7 niños
cada una. ¿Cuántos niños son en total?
Un holgazán duerme normalmente todas las
horas del día menos el número de horas que
duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto
diariamente?
Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 soles
y están en relación de 3 a 2, respectivamente.
¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que
dicha relación sea de 5 a 3?
Preguntando a un alumno por su nota en un
examen responde: Si cuadruplico mi nota y luego
le resto 40 puntos, tendría lo que me hace falta
para obtener 20. ¿Qué nota tiene?
En una reunión hay 40 personas y luego se retiran
8 varones y 6 damas, quedando diez varones más
que mujeres. ¿Cuántos varones quedaron?
horas que duerme: x
24 − x = x
24 = 2x
x = 12
duerme: 12 horas
despierto: 24 ‒ 12 = 12 horas
cobra 3x
gasta 2x
cobra 360 5
gasta 240 – x 3
360(3) = 5(240 − x)
1080 = 1200 − 5x
x = 24
5x = 600
x = 120}
=
Nota: x
4x − 40 = 20 − x
5x = 60
x = 12
h x + 10
m x
h x + 18
m x + 6
Al final:
Antes habían:
hombres + mujeres = total
(x + 18) + (x + 6) = 40
2x + 24 = 40
2x = 16
x = 8
∴ x + 10 = 18
Cualquier número real.
Debe disminuir en 24 soles.
Tiene 12 de nota.
Son 76 niños en total.
Permanece despierto 12 horas. Quedaron 18 varones.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
→
→
→
→
1 4
2
3
5
6
40
En un campeonato de fútbol, donde intervienen
60 equipos, compitiendo cada uno de ellos una
sola vez, se observa que el número de equipos
ganadores era igual al número de partidos
que terminaron empates. ¿Cuántos equipos
perdieron?
En una granja hay: palomas, loros y gallinas. Sin
contar las palomas hay 6 aves; sin contar los loros
hay 9 aves y sin contar las gallinas hay 7 aves.
¿Cuántas palomas hay en dicha granja?
Elena paga por 2 pollos y 5 pavos un total de
495 soles. Si cada pavo cuesta 15 soles más
que un pollo, ¿cuánto cuestan un pollo y un pavo
juntos?
En un triángulo rectángulo el triple del cateto
menor excede en una unidad al cateto mayor pero
le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa.
¿Cuál es la longitud del cateto mayor?
Con S/ 16 464 se han comprado latas de atún, en
cierto número de cajones, cada uno de los cuales
contiene un número de latas triple del número de
cajones. Cada lata de atún cuesta tantos soles
como el doble del número de cajones. ¿Cuántas
latas de atún hay en total?
Un grupo de amigos alquilaron un ómnibus por
400 soles para una excursión, a pagar por partes
iguales, pero faltaron dos de ellos y cada uno de
los que fueron tuvieron que pagar 10 soles más.
¿Cuántos amigos fueron a la excursión?
60 equipos < > 30 partidos
Equipos ganadores: x
Equipos perdedores: x
(3x + 1)2 = x2 + (3x − 1)2
(3x + 1)2 − (3x − 1)2 = x2
Diferencia de cuadrados = a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(6x)(2) = x2
x = 12
Cateto mayor: 3x − 1 = 35
total: x
palomas: x − 6
loros: x − 9
gallinas: x − 7
x
3x − 22 = x
2x = 22
x = 11
Palomas = x − 6 = 11 − 6 = 5
2 pollos + 5 pavos = 495
2(x) + 5(x + 15) = 495
2x + 5x + 75 = 495
7x = 420
x = 60
pollo: 60
pavo: 75
cuestan
135
cajas latas precio
x 3x 2x
Pcosto = x(3x)(2x) = 16 464
x3 = 2744
x = 14
total de latas: (x cajas)(3x latas)
∴ 3x2 = 588
400 400
x – 2 x−
−
= 10
40
40 = 1
= 1
1
x – 2
x − (x − 2)
(x − 2)(x)
1
x
80 = x(x + 2)
8 10
3x + 1
x
3x − 1
Perdieron 15 equipos.
La longitud del cateto mayor es 35 unidades.
Hay 588 latas de atún.
Hay 5 palomas.
Fueron 8 amigos a la excursión.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Un pollo y un pavo cuestan 135 soles.Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: n.° de amigos
x
x − 2
−2 +10
pago
400
x
400
x − 2
• Partidos empatados: x
• Equipos empatados: 2x
(en un partido
empatado hay 2
equipos empatados)
4x = 60
x = 15
∴ x = 8
7 10
8
9
11
12
41MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
1
2
3
4
5
6
Ejercicios de aplicación
Calcula el valor de un número sabiendo que su
cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces
el exceso del número con respecto a 8.
En un banquete, habían sentados 8 invitados
en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y
entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa.
¿Cuántos invitados habían en total?
Maritza recibió 4 soles de propina y tuvo entonces
4 veces lo que hubiera tenido si hubiera gastado
2 soles de lo que tenía. ¿Cuánto dinero tenía al
principio?
En un corral se observa 3 gallinas por cada
5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en
total se cuentan 176 cabezas. ¿Cuánto es el
número total de patas?
Se compra cierto número de relojes por S/ 5625,
sabiendo que el número de relojes comprados
es numéricamente igual al precio de un reloj en
soles. ¿Cuántos relojes se compraron?
Los ahorros de un niño constan de (2p + 4), (p + 2)
y (4p) monedas de 1; 2 y 5 soles respectivamente.
¿A cuánto asciende sus ahorros, si al cambiarlo
en billetes de 20 soles, el número de billetes
obtenidos es uno menos que el número de
monedas de 2 soles?
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
42
En una granja se venden pavos, gallinas y
codornices. Las aves, son todas gallinas menos 5;
son todos pavos menos 7, y son todas codornices
menos 4. ¿Cuánto es la diferencia entre el número
de codornices y el número de gallinas?
Si tiene un examen de 350 preguntas de las cuales
50 son de matemática. Suponiendo que a cada
pregunta de matemática se le dedica el doble del
tiempo que a cadapregunta de otro curso, ¿cuánto
demorará en resolver todas las preguntas de
matemática, si el examen dura tres horas?
Para ensamblar 50 vehículos entre bicicletas,
motocicletas y automóviles, se utilizaron entre
otros elementos, 38 motores y 106 llantas.
¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?
Se divide el número 60 en dos partes, tal que el
triple de la mayor excede a 100, tanto como 8 veces
la menor es excedida por 180. ¿Cuánto es el valor
de la mayor de las partes?
Entre 12 personas, tienen que pagar una cuenta
de 600 soles. Como algunas de ellas son las
agasajadas y no deben pagar, cada uno de los
restantes tienen que aportar 25 soles. ¿Cuántas
personas son las agasajadas?
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.Rpta.
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
En una tienda hay la siguiente oferta: un cuadro
grande con marco y un cuadro grande sin marco valen
6 cuadros pequeños sin marco, 2 cuadros grandes sin
marco valen uno pequeño con marco, tres pequeños
sin marco valen uno pequeño con marco. ¿Cuántos
cuadros pequeños sin marco se pueden cambiar por
dos cuadros grandes con marco?
Rpta.
Resolución:
8 11
9
12
107
43MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Lo que un obrero gana en 6 días, un técnico lo
gana en 4 días. Si el obrero trabaja 60 días y el
técnico 50 días, entre ambos cobran 810 soles.
¿A cuántos soles asciende lo que ambos cobran
en un día?
Si yo perdiera 5 soles y tú 7 soles, nuestras
cantidades serían iguales. ¿Cuánto tengo, si
entre los dos tenemos 30 soles?
A cierto número par se le suma los dos números
pares que le preceden y los dos impares que
le siguen, obteniéndose en total 968 unidades.
¿Cuál es el valor del producto de los dígitos del
número par en referencia?
En una granja se observa que el número de
patos excede en 8 al número de pavos; además,
si incluimos 12 pavos más y quitamos 10 patos,
entonces el número de pavos sería el triple del
número de patos. ¿Cuántos patos hay?
Yo tengo el cuádruple de lo que tú tienes. Si tú
tuvieras S/ 5 más de lo que tienes, yo tendría
3 veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto se
diferencian nuestras cantidades?
Si el menor de dos números naturales excede a
la diferencia de ambos en 12, halla el valor del
número mayor sabiendo que la suma de ambos
números con su diferencia es 120.
A una reunión asistieron varones y damas. Se
retiraron 20 varones quedando 4 varones por
cada dama, después se retiraron 10 damas,
quedando 8 varones por cada dama. ¿Cuántos
varones habían al comienzo?
Practica y demuestra
1 6
2
7
3
8
9
4
5 10
La suma de dos números es 36. Si el mayor
se disminuye en 11 se obtiene el cuádruple del
menor. ¿Cuánto es el valor del producto de dichos
números?
Si 273 excede a un número tanto como el número
excede a la raíz cuadrada de 4225, ¿cuál es la
raíz cuadrada de dicho número?
A S/ 35 B S/ 30 C S/ 25
D S/ 20 E S/ 15
A S/ 30 B S/ 15 C S/ 14
D S/ 10 E S/ 5
A 120
B 90
C 60
D 30
E 15
A 150 B 120 C 100
D 80 E 40
A 13 B 35 C 65
D 130 E 169
A 165 B 155 C 131
D 67 E 31
A 85 B 90 C 95
D 105 E 115
Dos números son entre sí como 9 es a 10. Si
al mayor se le aumenta en 20 y al menor se le
disminuye en 15, el menor será al mayor como 3
es a 7. Calcula la suma de los números.
A 14 B 15 C 16
D 17 E 18
A S/ 15 B S/ 30 C S/ 35
D S/ 45 E S/ 55
A 194 B 162 C 144
D 72 E 36
44
Tema
Edades
6
Problemas con un solo sujeto
La resolución de este tipo de problemas se realiza a partir del planteo de ecuaciones
simples, tomando en cuenta los tiempos (pasado, presente y futuro) y relacionando las
edades en ellos a partir del uso de una sola variable.
Si la edad de una persona es desconocida, entonces se utiliza una variable y luego
se plantea las edades de la misma persona en los otros momentos en función de esta
misma variable de la siguiente manera.
• Edad de una persona en el presente: x
• Edad que tenía hace 8 años: x – 8
• Edad que tendrá dentro de 25 años: x + 25
Ejemplo :
a) La edad de José hace 18 años era 15. ¿Qué edad tendrá dentro de 12 años?
Resolución:
b) La edad que tendrá Rocío dentro 6 años será el doble de la edad que tenía hace
10 años. ¿Qué edad tiene Rocío?
Resolución:
La edad que tenía hace 18 años era 15:
x – 18 = 15
x = 15 + 18
x = 33
La edad que tendrá dentro de 12 años:
x + 12 = 33 + 12 = 45
Rpta. José tendrá 45 años.
pasado presente futuro
x – 18 x x + 12
pasado presente futuro
x – 10 x x + 6
hace 18 años dentro de 12 años
hace 10 años dentro de 6 años
La edad que tendrá dentro de 6 años será el doble de la edad que tenía hace 10 años:
x + 6 = 2(x – 10)
x + 6 = 2x – 20
26 = 2x – x
26 = x
Rpta. Rocío tiene 26 años.
Problemas sobre
edades
Según el Diccionario
de la Real Academia
de la Lengua
Española (DRAE),
el término EDAD
se define como el
tiempo que ha vivido
una persona o ciertos
animales o vegetales.
Un año tiene una
duración de 365 días
debido al movimiento
de traslación de la
Tierra, es decir, el
tiempo que demora
la Tierra en dar una
vuelta alrededor
de la órbita del Sol,
aunque no se demora
exactamente ese
tiempo sino 365 días,
5 horas, 48 minutos y
45 segundos.
Es debido a este
excedente que
cada cuatro años
aparecen los AÑOS
BISIESTOS, que son
aquellos que tienen
366 días, debido a
que se agrega el
29 de febrero en el
calendario.
Para reconocer un
año bisiesto solo se
debe considerar que
este sea un múltiplo
de 4, es por esto que
el año 2016; 2012;
2008; etcétera, fueron
años bisiestos.
Pero cuando es un
múltiplo de 100, para
que sea bisiesto debe
ser múltiplo de 400,
es por esto que los
años 2000 y 1600
fueron bisiestos, sin
embargo los años
1900, 1800, 1700, no
lo fueron.
45MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Nuestro calendario
puede tener 365 o 366
días, es por esto que
en el primer caso tiene
52 semanas y sobra
1 día; y en el segundo
caso tiene 52 semanas
y sobran 2 días.
Razón por la cual esta
cantidad que sobra
que si en un año no
bisiesto tu cumpleaños
fue un día martes, al
siguiente año será
miércoles. En cambio,
cuando se considera
un año bisiesto se
debe avanzar dos
días, es decir, si tu
cumpleaños fue un
jueves al siguiente año
será sábado.
El día tiene una
duración de 24 horas
debido al movimiento
de rotación de la Tierra,
es decir, el tiempo que
demora la Tierra en
dar una vuelta sobre
su propio eje, aunque
el tiempo exacto que
toma este evento es de
23 horas, 56 minutos y
4 segundos.
El calendario es una
cuenta sistematizada
del transcurso del
tiempo, utilizado
para la organización
cronológica de
actividades. Se trata de
un conjunto de reglas
o normas que tratan de
hacer coincidir el año
civil con el año trópico.
Antiguamente, muchos
calendarios estaban
basados en los ciclos
lunares, perdurando
su uso en el calendario
musulmán, en la
fecha de varias fiestas
religiosas cristianas y
en el uso de la semana
(correspondiente a las
cuatro fases lunares,
aproximadamente).
hace 9 años dentro de 8 años
Problemas con dos o más sujetos
En este tipo de problemas se recomienda trabajar con una tabla de doble entrada como
la siguiente:
Pasado Presente Futuro
Luis 12 21 29
Abel 22 31 39
Pasado Presente Futuro
Luis 12 21 29
Abel 22 31 39
Pasado Presente Futuro
Joel 0 2x
Sergio x
Pasado Presente Futuro
Joel 0 2x 4x
Sergio x 40
Analizando los números que aparecen en la tabla se puede deducir:
1. La diferencia de las edades es constante:
Edad de Abel – Edad de Luis = 10
22– 12 = 10
31 – 21 = 10
39 – 29 = 10
2. Debido a que la diferencia de las edades es constante, se cumple que la suma en
aspa de las edades da el mismo resultado.
22 – 12 = 31 – 21 31 – 21 = 39 – 29 22 – 12 = 39 – 29
22 + 21 = 31 + 12 31 + 29 = 39 + 21 22 + 29 = 39 + 12
43 = 43 60 = 60 51 = 51
Ejemplo:
La edad de Joel es el doble de la edad que tenía Sergio cuando Joel nació; y cuando
este tenga el doble de la edad que tiene en este momento, Sergio tendrá 40 años.
¿Cuál es la edad de Joel?
Resolución:
La edad de Joel es el doble de la edad que tenía Sergio cuando Joel nació.
Y cuando este tenga el doble de la edad que tiene en este momento, Sergio tendrá
40 años.
Ahora, aplicamos el aspa con las cantidades señaladas:
0 + 40 = x + 4x
40 = 5x
x = 8
Rpta. Joel tiene 16 años.
¿Sa bía s qu e.. .?
46
Ejercicios resueltos
Resolución:
Resolución:
Si al cuádruplo de la edad que tendrá Carlos dentro
de 8 años, le restamos el doble de la edad que
tenía hace 5 años, resultaría el triple de su edad,
aumentada en 19 años. ¿Qué edad tiene Carlos?
Las edades de dos personas están en la relación
de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de
3 a 4. ¿Cuál era la relación de dichas edades hace
10 años?
Dentro de 15 años Hugo tendrá el triple de edad
que tuvo hace 9 años. ¿Cuántos años tiene Hugo?
Dentro de 8 años la suma de las edades de
dos hermanos será 42 años, pero hace algunos
años la diferencia de sus edades era de 8 años.
¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple
de la del otro?
Raúl tiene m años y su hijo n años. ¿Dentro de
cuántos años Raúl tendrá el cuádruplo de la edad
de su hijo?
Rpta. Hace 5 años la edad del mayor era el triple
de la del menor.
Rpta. La relación era 2
3
.
Rpta. Hugo tiene 21 años.
Rpta. Dentro de m – 4n
3
años.
Nota: La diferencia de edades es constante, por lo
tanto, siempre difieren en 8.
• Edad de Carlos: x
• Dentro de 8 años: x + 8
• Hace 5 años: x – 5
⇒ 4(x + 8) – 2(x – 5) = 3x + 19
4x + 32 – 2x + 10 = 3x + 19
2x + 42 = 3x + 19
23 = x
pasado presente futuro
A 5x – 10 5x 5x + 10
B 7x – 10 7x 7x + 10
Raúl m m + A
hijo n n + A
+10−10
+A
pasado presente futuro
hermano 1 9 – x 9 y = 17
hermano 2 17 – x 17 y + 8 = 25
–x +8
⇒ 5x + 10
7x + 10
4(5x + 10) = 3(7x + 10)
20x + 40 = 21x + 30
10 = x
3
4
=
Resolución:
Pedro tiene 30 años y su hija Daniela tiene 3.
¿Dentro de cuántos años la edad de Pedro será el
cuádruplo de la edad de Daniela?
Rpta. Dentro de 6 años.
⇒ 30 + x
3 + x
4
1=
Pedro 30 30 + x
Daniela 3 3 + x
+x
⇒ 30 + x = 4(3 + x)
30 + x = 12 + 4x
18 = 3x
x = 6
⇒ y + y + 8 = 42
2y = 34
y = 17
3(9 – x) = 1(17 – x)
27 – 3x = 17 – x
10 = 2x
x = 5
9 – x
17 – x
h1
h2
1
3
=
Hace x años.
x – 9 x x + 15
+15–9 presente
⇒ m + A
n + A
4
1
=
m + A = 4(n + A)
m + A = 4n + 4A
m – 4n = 3A
A =
m – 4n
3
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta. Carlos tiene 23 años. Hace 10 años
40
60
2
3
=A
B
=
x + 15 = 3(x – 9)
x + 15 = 3x – 27
42 = 2x
21 = x
1 4
2
3
5
6
47MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
x
hace a × b años:
x = aa − a × b
x = 55 − 5 × 6
x = 55 − 30
x = 25
Paulina tuvo su primer hijo a los 21 años y a los
27 años su segundo hijo. A fines del año 1995 la
suma de las edades de dichos hijos era 32 años.
¿En qué año nació Paulina?
La suma de las edades de Cristina y Alonso es
68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dijo:
«Cuando tú naciste, yo tenía 6 años, pero cuando
Alonso nació, tenías 4 años». ¿Qué edad tiene
Lorena?
Rosario tiene aa años y dentro de a + b años
tendrá bb años. ¿Cuántos años tuvo hace a × b
años?
Tú tienes 16 años, pero cuando tengas la edad
que tengo, la suma de nuestras edades será
44 años. ¿Qué edad tengo?
Luis cuenta que cuando cumplió años en 1994,
descubrió que su edad era igual a la suma de las
cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años
tenía en 1979? Nuestras edades suman 47 años, sin embargo,
cuando tú tenías 15 años, yo tenía la edad que
tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes?
∴ 6 + x + x = 32
2x = 26
x = 13
Paulina: 1995 – (27 + 13) = 1955
aa + a + b = bb
11a + a + b = 11b
12a = 10b
año
nacimiento
edad
actual
año
actual+ =
Rpta. Luis tenía 10 años en 1979. Rpta. 20 años.
Nació: 1969 Hasta: 1979
Pasaron 10 años
Paulina 21 27 27 + x
hijo 1 0 6 6 + x
hijo 2 – 0 0 + x
1995
x
aa bb
+(a + b)–(a × b)
Rosario
a
b
10
12
5
6
= =
C 6 10 x
A 0 x – 10
L 0 4 x – 6
pasado2 pasado1 presente
x + x – 10 = 68
2x = 78
x = 39
La suma en aspa es igual: x + x = 16 + y
y = 2x – 16
x + x + 2 = 15 + 47 – x
3x = 60
x = 20
Las edades suman 44 = y + x
44 = 2x – 16 + x
60 = 3x
x = 20
47
Yo x y
Tú 16 x
presente futuro
Yo x + 2 47 – x
Tú 15 x x + 2
presente futuropasado
Rpta. Paulina nació en 1955.
Rpta. Tengo 20 años.
Rpta. Lorena tiene 33 años.
Rpta. Tenía 25 años.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
19ab + (1 + 9 + a + b) = 1994
1900 + 10a + b + 10 + a + b = 1994
11a + 2b = 84
6 9
Edad de Lorena: x – 6 = 39 – 6 = 33
7 10
8
9
11
12
48
Ejercicios de aplicación
Si al triple de la edad de Vanessa se le quitara
su edad aumentada en 8, se obtendría 36 años.
¿Qué edad tiene Vanessa?
La edad de Sara es el triple de la edad de Ángel
y dentro de 5 años ambas edades sumarían
46 años. ¿Cuántos años tiene Ángel?
Hace 6 años Fiorella tenía la tercera parte de la
edad que tendrá dentro de 10 años. ¿Cuántos
años tiene Fiorella?
Juan Carlos tiene 5 años menos que Dora. Hace
4 años la suma de sus edades era 21 años. ¿Qué
edad tiene Dora?
La edad de Julio es tal que el quíntuplo de la edad
que tendrá dentro de 3 años, equivale a la edad
actual aumentada en 51. ¿Qué edad tiene Julio,
actualmente?
Dentro de 6 años la edad de Juana será el triple
de la edad de Violeta. ¿Cuántos años tiene Juana,
si hace 2 años la edad de ella era el cuádruplo de
la de Violeta?
La edad de Ana es el doble de la edad de su
hermana. Si dentro de 5 años la suma de las edades
de ambas será 34 años, ¿cuál es la edad de Ana?
La edad de Willy es el doble de la edad de
Rodrigo y hace 12 años la suma de sus edades
era 30 años. ¿Cuántos años tiene Rodrigo?
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
1
3
2
4
6
7
6
8
5
49MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Resolución:
La edad de Milagros es el triple de la edad de
Eduardo y hace 4 años ambas edades sumaban
tantos años como la edad que tendrá Eduardo
dentro de 16 años. ¿Cuál es la edad de Milagros?
Las edades de Alberto y Arturo suman 45 años.
Alberto pensaba: Hace algunos años la diferencia
de nuestras edades era 11 años a favor de Arturo.
¿Cuál es la edad de Arturo?
Javier nació 6 años antes de Víctor, en 1948 la
suma de sus edades era la cuarta parte de la suma
de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Javier?
Hace 6 años la edad que tenía Roxana era 2/3 de
la edad que tendrá dentro de cuatro años. ¿Hace
cuántos años tenía la cuarta parte de los años que
tendrá dentro de 2 años?
Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban
en relación de 4 a 3. Si actualmente sus edades
suman 59 años, ¿dentro de cuántos años sus
edades estarán en relación de 8 a 7?
Según el gráfico:
Juan tiene 42 años y Pedro 18. ¿Hace cuántos
años la edad de Juan fue nueve veces la edad
que tenía Pedro?Ángelo le dice a Giovanni: La edad que tendré
cuando tú tengas la edad que yo tengo excede en
16 a la edad que tienes. Si se sabe que Ángelo
tiene 18 años, ¿cuántos años tiene Giovanni?
pasado presente futuro
Beto 12 3x 40
Jorge x 24 y
Calcula el valor de y – x
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
9 13
11
15
10
14
12
16
50
Al preguntar la edad de Fabiola, ella respondió: Si
al año en que cumplí los 15 años le suman el año
en que cumplí los 26 y le restan la suma del año
en que nací y el actual, obtienen 12. ¿Cuál es la
edad de Fabiola?
Marta le dice a Lolo: Yo tengo el triple de la edad
que tenías, cuando yo tenía la edad que tienes,
y cuando tengas la edad que tengo, nuestras
edades sumarán 35 años. ¿Qué edad tiene Lolo?
Andrea le dice a Jesús: Yo tengo 24 años y mi
edad es el doble de la edad que tenías cuando
yo tenía la tercera parte de la edad que tienes.
¿Cuántos años tiene Jesús?
A una persona, en el año 1975, se le preguntó su
edad y contestó: Mi edad es numéricamente igual
a la mitad del número que forman las dos últimas
cifras del año de mi nacimiento. ¿Qué edad tenía
esta persona en 1975?
Yo tengo 30 años y mi edad es el séxtuplo de la
edad que tenías cuando yo tenía el cuádruple de
la edad que tienes. ¿Cuántos años tienes?
Andrea tenía en 1962 tantos años como el producto
de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento.
¿Cuál es la suma de las cifras de su edad en 1962?
Sonia le dice a Elizabeth: Tú tienes 18 años, pero
cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de
nuestras edades será 48 años. ¿Cuántos años
tendrá Sonia dentro de 8 años?
Determina la edad que tenía una persona en el
2005, sabiendo que en 1998 su edad era igual a la
suma de las cifras de su año de nacimiento.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
17
19 23
18 22
20 24
621
51MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
Ricardo tiene ahora la mitad de años que tenía
Martín cuando Ricardo nació. Hoy, Martín tiene
12 años. ¿Cuántos años tiene Ricardo?
Si al doble de la edad de Carmela se le quita
13 años se obtendrá lo que le falta para tener
50 años. ¿Cuánto le faltará para cumplir el doble
de lo que tenía hace 5 años?
Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple
de la mía. Si dentro de 6 años tu edad sumada a la
mía será 18 años menos que la edad que tendrá
él. ¿Qué edad tengo?
Hace 4 años, Evelyn tenía m años. ¿Qué edad
tendrá dentro de 9 años?
La edad de una tortuga es mayor en 20 años que
el cuadrado de un número N y menor en 5 que
el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos
años tiene la tortuga?
La suma de las edades de Pedro y César es igual
a 25 años. Si Pedro es un año mayor que César,
¿cuál será la edad de César dentro de 6 años?
En 1918, la edad de Pepe era 9 veces la edad de su
hijo. En 1923 la edad de Pepe fue el quíntuplo de la
de su hijo. ¿Cuál fue la edad de Pepe en 1940?
La edad de Fabiana y su esposo suman 91 años.
La edad de ella es el doble de la edad que tenía su
esposo cuando Fabiana tenía la edad que él tiene
ahora. ¿Qué edad tiene Fabiana?
José le dice a Walter: Hace 21 años mi edad era
la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años,
cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes.
¿Qué edad tiene José?
Mery tuvo a los 16 años quintillizos, hoy las
edades de los 6 suman 88 años. ¿Cuántos años
tiene uno de los hijos de Mery?
A m + 5 B m + 1 C m
D m + 13 E m – 3
A 14 años B 16 años
C 18 años D 20 años
E 22 años
A 170 años B 164 años
C 160 años D 154 años
E 144 años
A 10 años B 12 años
C 16 años D 32 años
E 72 años
A 30 años B 32 años
C 34 años D 36 años
E 40 años
A 48 años B 50 años
C 52 años D 54 años
E 60 años
A 1 año B 2 años
C 3 años D 4 años
E 5 años
A 67 años B 56 años
C 45 años D 22 años
E 5 años
A 24 años B 21 años
C 18 años D 16 años
14 años
A 11 años B 12 años
C 13 años D 15 años
E 18 años
E
1 6
2
7
3
8
4
9
5
10
52
Tema
Fracciones
7
El complemento
de una fracción es
la cantidad que le
falta para llegar a la
unidad.
Cuando el valor de
la fracción es menor
que 1 se llama
fracción propia y
cuando es mayor que
1 se llama fracción
impropia.
Fracciones
homogéneas son
aquellas que tienen el
mismo denominador.
18 ;
3
8 ;
7
8 ;
13
8
Fracciones
heterogéneas son
aquellas que tienen
distinto denominador.
710 ;
5
8 ;
8
11 ;
13
23
Una fracción es
irreductible cuando
sus términos son
primos entre sí (PESI).
Fracción
1
2
1
3
2
5
4
7
Complemento
1 − 1
2
= 12
1 − 1
3
= 23
1 − 2
5
= 35
1 − 4
7
= 37
2
7 PESI
4
9 PESI
11
19 PESI
Operaciones con fracciones
Adición y sustracción de fracciones homogéneas
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Se simplifica
(reduce) si es posible.
Ejemplos:
Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
Se deben homogeneizar las fracciones; luego, se suman o se restan los numeradores
y se deja el mismo denominador. Se expresa el resultado como fracción irreductible.
Ejemplos:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores
de manera separada.
Ejemplos:
Fracción de un número
Para calcular la fracción de un número se debe multiplicar a la fracción por el número.
Ejemplos:
3
5
4
7
5
2
3
5
3
4
11
12
7
10
3 × 75
5
4 × 3 × 280
7 × 4
5 × 11 × 7 × 2400
2 × 12 × 10
3360
28
924 000
240
225
5
× =
=
=
=
=
= 120
= 3850
= =de 75
de
de de
de 280
de 2400
75 45•
•
•
3
7
2
5
4
5
7
11
3 × 4
7 × 5
5
12
12
35
2 × 7 × 5
5 × 11 × 12
70
660
7
66
×
×
=
×
=
= = =
•
•
3
5
3
4
1
2
1
5
6
10
3
20
5
10
15
20
11
10
4
20
16
20
4
5
3
20
+
+
=
−
+
=
=
+ = =−
•
•
8
11
2
15
3
15
1
15
4
15
2 + 3 − 1
15
2
11
8 + 2
11
10
11
+
+ − = =
= =•
•
=
Una fracción es una parte tomada de la unidad que ha sido dividida en partes iguales.
53MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
4
1
1
x
1
4
=
x =
4x = 1 ⋅ 1
Reducción a la unidad de tiempo
Este método se basa en el cálculo de la parte elaborada de una tarea o trabajo en
una unidad de tiempo, pudiendo ser esta una hora, un minuto, un día; según lo que el
problema presente.
Ejemplo:
Juan puede pintar una pared en 4 horas.
Por una regla de tres simple se puede determinar qué parte de la pared pinta en una
hora, de la siguiente manera:
Al resolver la regla de tres simple quedaría:
Tiempo Parte que realiza
4 horas El total de la obra se representa con la unidad (1)
1 hora x
1
Por lo tanto, la parte que hizo en una hora es un cuarto de la obra.
Del ejemplo planteado se puede deducir que la parte que hace de la obra, es igual a la
inversa multiplicativa del número total de horas, días, minutos que se demore en hacer
toda la obra.
Tiempo que demora Parte que realiza en una unidad de tiempo
5 días 1
5
de la obra en 1 día
8 horas 1
8
de la obra en 1 día
12 minutos 1
12
de la obra en 1 minuto
9
2
horas 2
9
de la obra en 1 hora
12
5
días 5
12
de la obra en 1 día
16
3
minutos 3
16
de la obra en 1 minuto
Fracciones
decimales son
aquellas que tienen
un denominador que
es una potencia de
10.
8
10
; 7
100
; 23
1000
; 579
10 000
Fracciones
equivalentes son
aquellas que tienen
el mismo valor
numérico.
4
5
= 8
10
= 16
20
= 12
15
= 0,8
Para homogeneizar
las fracciones
se debe calcular
el MCM de los
denominadores.
1
4
y 3
10
MCM(4 ; 10) = 20
1
4
= 1 × 5
4 × 5
= 5
20
3
10
= 3 × 2
10 × 2
= 6
20
Todo porcentaje se
puede expresar como
una fracción.
a % = a
10020 % = 20
100
= 1
5
30 % = 30
100
= 3
10
75 % = 75
100
= 3
4
98 % = 98
100
= 49
50
110 % = 110
100
= 11
10
150 % = 150
100
= 3
2
280 % = 280
100
= 14
5
54
Ejercicios resueltos
¿Cuánto le falta a los 2
3
de los 3
5
de los 7
8
de 2
para ser igual a los 4
9
de los 3
8
de los 2
5
de 12?
Un granjero reparte sus gallinas entre sus
4 hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas,
el segundo la cuarta parte, el tercero la quinta
parte y el cuarto las 7 restantes. ¿Cuántas gallinas
fueron repartidas?
A un alambre de 95 m de longitud se le han hecho
dos cortes, de tal manera que la longitud de cada
corte sea igual al anterior aumentado en su mitad.
¿Cuánto es la longitud del trozo más largo?
María pone un negocio de venta de queques. Si
cada día vende un tercio más del número que
vendió el día anterior, ¿cuántos queques vendió
el segundo día, sabieno que en tres días vendió
222 queques?
Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número de
soles. Si Pablo le da 12 soles a Pedro, tendrán
ambos la misma cantidad; si por el contrario,
Pedro le da 3
5
de su dinero a Pablo, el número de
soles de este queda aumentado en los 3
8
.
¿Cuántos soles tiene cada uno de ellos?
7
10
4
5
+ m =
1
10
m =
8
10
7
10
m = −
2
3
3
5
7
8
3
8
2
5
4
9
× × × ×× ×2 + m = 12
n.° de gallinas: x
h1 + h2 + h3 + h4 = Total
+ + + 7 = x
10x + 5x + 4x + 140 = 20x
19x + 140 = 20x
140 = x
4x + 6x + 9x = 380
19x = 380
x = 20
9x + 12x + 16x = 9 × 222
37x = 9 × 222
x = 54
El segundo día: 4
3
= 4
3
(54) = 72
Más largo: t3 = 9x
4
= 9
4
(20) = 45
× 20 × 20
x
2
x
4
x
5
+x + = 95× 4 × 43x
2
9x
4
x x + =x2
3x
2
+3x
2
3x
4
9x
4
=
t2 t3t1
+ x
2
+ 1
2
3x
2
+x + = 222× 9 × 94x
3
16x
9
Pedro: S/ a
a + 12 = b − 12
a + 24 = b
Pablo: S/ b
3
5
a
5
3
8
b
8
a b=
=
8a = 5b
8a = 5(a + 24)
8a = 5a + 120
3a = 120
a = 40 ⇒ b = 40 + 24 = 64
Resolución:
Rpta. 1
10
Resolución:
Rpta. 140 gallinas.
Resolución:
Rpta. El trozo más largo mide 45 metros.
n.° de queques
d1
x
d2 d3
4x
3
+ x1
3
16x
9
+ x1
3
4
3
Resolución:
Encuentra el valor de una fracción de denominador
84, que sea mayor que 1
7
pero menor que 1
6
.
<
<
<
<
1
7
12
84
1
6
14
84
x
84
x
84
Resolución:
La fracción es 13
84
.Rpta.
Resolución:
Rpta. Pedro tiene S/ 40 y Pablo S/ 64.
Rpta. 72 queques.
×14×12
x
1 4
2
3
5
6
55MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Cada vez que un jugador apuesta pierde 13 de
su dinero. Después de 3 juegos se quedó con
800 soles. ¿Con cuánto dinero empezó?
Una persona tiene cierto número de gallinas. Al
ser víctima de un robo pierde 2
9
del total, menos
5 gallinas. Por otro lado, compra 37 gallinas y se
percata que el número inicial de gallinas quedó
aumentado en 1
6
. ¿Cuántas gallinas le robaron?
Se debe distribuir 200 caramelos entre cierto
número de niños por partes iguales, pero en
el momento de la repartición se encuentran
ausentes 5 niños, por lo que el resto de los niños
recibe 20 caramelos más cada uno. ¿Cuántos
niños recibieron caramelos?
Un tanque puede ser llenado por un primer
caño en 20 horas y por un segundo caño en
30 horas. ¿En cuántas horas se llenará el tanque,
si funcionan a la vez los dos caños?
Un depósito puede llenarse por un tubo en 8 horas,
por otro en 6 y vaciarse por uno de desagüe en
4 horas. Si estando lleno 1
4
del tanque y abrimos
los tres tubos, ¿en cuántas horas se llenará el
depósito?
dinero: x
pierde: 1
3
queda: 2
3
n.° de gallinas: x
n.° de niños: x
caño A = 20 horas eficiencia
caño A = 8 h
desagüe = 4 h
eficiencia
eficiencia
x =
x = x = 18
Caño (A + B) = 12
caño B = 30 horas eficiencia
2
3
2
3
2
3
x = 800
x = 2700
200
x − 5
200
x
= 20−
1
x − 5
x − (x − 5)
(x − 5)x
1
x10
10
= 1
= 1
10 ⋅ 5 = (x − 5)x
x = 10
Rpta. Solo 5 niños recibieron caramelos.
−
roban: 2 x − 5
9
quedan: 7 x + 5
9
7x
9 + 5 + 37 =
7x
6
42x + 270 + 1998 = 63x
2268 = 21x
x = 108
roban: 2
9
(108) − 5 = 19
1
20
1
8
1
4
1
20
1
30
1
30
5
60
1
12
3 + 2
60
+ = = =
caño B = 6 h eficiencia 16
3
4
3
4
3 + 4 − 6
24
1
24
x =18
1
6
1
4
3
4
+ −
Resolución:
Rpta. Empezó con 2700 soles.
Resolución:
Rpta. Le robaron 19 gallinas.
Subiendo la escalera de 2 en 2, doy 9 pasos más
que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos peldaños tiene
la escalera?
n.° de escaleras: x
5x − 2x = 90
3x = 90
x = 30 peldaños
n.° de pasos 1 − n.° de pasos 2 = 9
x
2
x
5
− = 9
Resolución:
Rpta. La escalera tiene 30 peldaños.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Se llenará en 12 horas.
Rpta. Se llenará en 18 horas.
Resolución:
−
7 10
8
9
11
12
56
Ejercicios de aplicación
¿Cuánto le sobra a los
6
5 de los
8
9 de
3
4
para ser
igual a la mitad de los
3
5 de los
4
15 de
5
8 ?
¿Cuál es la fracción cuyo valor es menor que
2
5
pero mayor que 1
3
, si se sabe que su denominador
es 30?
¿Cuánto le sobra a la mitad de los 3
8
de 5
6
de 24
para ser igual al exceso de
5
2 sobre
1
4 ?
Los 4
5
de las aves de una granja son palomas, los
5
6
del resto son gallinas y las 8 aves restantes son
pavos. ¿Cuántas aves hay en la granja?
Carlos reparte las canicas que tiene entre sus
hermanos menores. Hugo recibe 1
4
de las
canicas, Jorge 1
3
y Pedro las 20 canicas restantes.
¿Cuántas canicas repartió Carlos?
A una pieza de tela de 12,2 m de longitud se le
hizo dos cortes de tal manera que la longitud de
cada trozo es igual a la longitud de la anterior más
1
4
de dicha longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo
más grande?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.Rpta.
1
2
4
3
6
5
57MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Carlos y Daniel hacen una obra en 4 días y
Daniel solo lo puede haber hecho en 12 días. ¿En
cuántos días, Carlos trabajando solo podría hacer
los 2
3
de la obra?
Si al numerador de la fracción 3
5
se le suma un
número y al denominador se le resta el mismo
número se obtiene otra fracción equivalente a la
recíproca de la fracción dada. Calcula el valor de
dicho número.
Resolución:
Resolución:
Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua
y se les añade la misma cantidad de agua a cada
una. ¿Cuál debe ser esta cantidad para que el
contenido del primer recipiente sea los 23 del
segundo?
Resolución:
Rpta.
Rpta.Rpta.
Diana va de compras, gastando en la primera
tienda 1
5
de su dinero, más 1 sol; en la segunda
tienda gastó 2
3
de lo que le quedaba menos
3 soles y en la tercera tienda gasta 1
4
del resto
más 5 soles. Si aún le quedan 4 soles. ¿Cuánto
gastó en la primera tienda?
Resolución:
Rpta.
Tres obreros hacen un trabajo en 4 días. Sabiendo
que el primer obrero lo haría en solo 9 días y el
segundo en 12 días. ¿Cuánto tiempo tardaría el
tercero trabajando solo?
Resolución:
Rpta.
Dos grifos A y B llenan juntos un estanque en
30 horas. Si el grifo B fuera de desagüe, ambos
se tardarían en llenar el estanque 60 horas. ¿En
cuántas horas llenaría la llave A el estanque,
estando este vacío?
Resolución:
Rpta.
8
11
9
12
107
58
Los 2
3
de los miembros de un comité son
mujeres, 14 de los hombres están casados. Si hay
10 hombres solteros, ¿cuántas personas conforman
el comité?
Miguel puede hacer un trabajo en 5 días y Ángel
en 8 días. ¿En cuántos días podrán hacer el
trabajo los dos juntos?
Un grifo llena un pozo en 4 horas y otro lo vacía
en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo, si
se abre el desagüe una hora después de abrir el
grifo de llenado?
Dos obreros necesitan 12 horas para hacer un
trabajo. Si uno solo lo hace en 20 horas, ¿cuánto
tiempo emplearía el segundo?
Un grifo puede llenar un tanque en 6 horas y undesagüe lo vacía en 8 horas. Si ambos se abren a
la vez, ¿en qué tiempo se llenaría el tanque?
El doble de mi edad, aumentado en su mitad,
en sus 25 , y en sus
3
10
y en 40, suma 200 años.
¿Cuántos años tengo?
Practica y demuestra
1 6
7
8
9
10
2
3
4
5
A 1
24
B 13 C
1
11
D 16 E
11
24
¿Cuánto le falta a 1
8
para ser igual a la diferencia
entre 1
3
y 124?
A 104 B 100 C 50
D 45 E 25
En un salón de clases se reparten las hojas entre
4 alumnos. El primero recibió 15 del total, el segundo 1
4 , el tercero
1
10 y el último las 45 hojas restantes.
¿Cuántas hojas fueron repartidas en total?
A 15 B 20 C 30
D 40 E 45
A 3 B 6 C
40
13
D
7
40
E
3
40
A 6 h B 8 h C 10 h
D 12 h E 14 h
A 12 h B 24 h C 25 h
D 30 h E 32 h
A 2 h B 3 h C 6 h
D 12 h E 24 h
A 130 B 48 C 16
D 8 E 7
Un pintor va mejorando su productividad cada
día en 12 , si luego de 4 días logró pintar 130 m
2.
¿Cuántos metros cuadrados pintó el primer día?
A 240 B 500 C 560
D 760 E 780
Al dividir el número 1000 en dos partes, tal que si
de los 56 de la primera se resta
1
4 de la segunda,
se obtiene 10. Calcula el valor de la segunda parte.
A 30 años B 40 años C 50 años
D 60 años E 70 años
Tema
59MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
8
Sucesiones
Sucesión aritmética
Una sucesión aritmética es una secuencia numérica que se caracteriza porque sus
términos presentan una razón aritmética constante.
Ejemplos:
• 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; …
• 121 ; 119 ; 117 ; 115 ; …
+4 +4 +4 Razón aritmética
–2 –2 –2 Razón aritmética
Término enésimo
Es aquel que representa a todos los términos de la progresión, ya que todos ellos
tendrán la forma de este. Además, en una progresión de n términos el término enésimo
será el último.
Tn = T1 + r(n – 1)
Siendo:
Tn : Término enésimo
T1 : Primer término
r : Razón aritmética constante
n : Posición del término
En el caso del primer ejemplo planteado:
5 ; 9 ; 13 ; 17 ; …
Tn = T1 + r(n – 1)
Tn = 5 + 4(n – 1)
Tn = 5 + 4n – 4
Tn = 4n + 1
+4 +4 +4
Cantidad de términos
Para calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética se pueden utilizar
dos procesos.
a. La primera forma de calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética
es igualar el término enésimo de dicha progresión con el último término; luego,
despejar hasta hallar el valor de n.
b. La segunda forma de calcular la cantidad de términos en una progresión aritmética
es con una fórmula que se deduce a partir del término enésimo.
Tn – T1
r + 1 = n
Una sucesión de
orden superior
adquiere su nombre
según el nivel en el
que se encuentre la
razón constante; es
decir, si esta aparece
en el segundo nivel,
será de segundo
grado, si aparece en
el tercer nivel, será
de tercer grado y así
sucesivamente.
Cuando una
sucesión combina
letras con números
se le conoce con el
nombre de sucesión
alfanumérica.
4; A; 11; D;
18; G; 25; J;…
En las sucesiones
con operaciones
combinadas, las
que aparecen con
más frecuencia son
la suma, la resta, la
multiplicación y la
división.
Algunas sucesiones
notables adquieren
su nombre por la
distribución que
forman utilizando
pequeños
elementos.
Su ce s ion e s
60
Sucesión geométrica
Una progresión geométrica es una secuencia numérica que se caracteriza porque sus
términos presentan una razón geométrica constante.
Ejemplos:
• 5 ; 15 ; 45 ; 135 ; …
×3 Razón geométrica constante×3 ×3
• 1200 ; 600 ; 300 ; 150 ; …
× 12 ×
1
2 ×
1
2
Término enésimo
Para determinar el término enésimo en una sucesión geométrica, se emplea:
Tn = T1 × q
n – 1
Siendo:
Tn : Término enésimo
T1 : Primer término
q : Razón geométrica constante
n : Posición del término
En el caso del primer ejemplo planteado:
5 ; 15 ; 45 ; 135 ; …
Tn = T1 × q
n – 1
Tn = 5 × 3
n – 1
×3 ×3 ×3
Cantidad de términos
Para calcular la cantidad de términos en una progresión geométrica se debe igualar el
término enésimo de dicha progresión con el último término y luego despejar la ecuación
hasta hallar el valor de n.
Sucesión de segundo grado
Sucesión numérica que se caracteriza porque sus términos presentan una razón
constante, pero no en el primer nivel como en la sucesión aritmética, sino en el segundo
nivel de las razones.
Ejemplos:
• 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; …
+6 +8 +10 +12
+2 +2
+2 +2 +2
+2 Razón constante
• 18 ; 28 ; 40 ; 54 ; 70 ; ...
+10 +12 +14 +16
1
11
2
2
3
3
4
4
4
3
2
3
10
6
15
1
A1 A2 A3
A4 A5
Números cuadrados
perfectos
Números cúbicos
perfectos
Números triangulares
Números rectangulares
1 4
9
16
61MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Término enésimo
Para hallar el término enésimo de una sucesión de segundo grado, se emplea:
Tn = An
2 + Bn + C
Siendo:
Tn : Término enésimo
n : Posición del término
A : Coeficiente cuadrático
B : Coeficiente lineal
C : Término independiente
Para hallar los valores de los coeficientes lo primero que se debe hacer es retroceder
una columna en los términos de la sucesión y en las razones.
En el caso del primer ejemplo planteado:
5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; …
+6 +8 +10 +12
C = 1
A + B = +4
2A = +2 +2 +2 +2
Luego, se halla los valores de A, B y C de las igualdades obtenidas.
• 2A = 2 A = 1
• A + B = 4 como se sabe que A = 1, entonces B = 3
• C = 1
Ahora se debe reemplazar los valores de los coeficientes en la ecuación del término
enésimo.
Tn = An
2 + Bn + C
Tn = n
2 + 3n + 1
Se puede comprobar que es correcto el proceso reemplazando el valor de n para los
primeros términos.
Tn = n
2 + 3n + 1
T1 = 1
2 + 3(1) + 1 = 5
T2 = 2
2 + 3(2) + 1 = 11
T3 = 3
2 + 3(3) + 1 = 19
T4 = 4
2 + 3(4) + 1 = 29
T5 = 5
2 + 3(5) + 1 = 41
No es lo mismo
sucesión que
progresión, la
diferencia entre ellas
es que mientras
que en la sucesión
la razón puede ir
cambiando, en la
progresión el valor
de la razón debe ser
siempre el mismo.
Es por esto que solo
existen dos tipos
de progresiones, la
progresión aritmética
y la progresión
geométrica.
En las sucesiones
alfabéticas se debe
considerar 27 letras,
tomando en cuenta
que no están las
letras compuestas
(Ch, Ll) y se debe
considerar la Ñ.
No o lv id e s
Impo rt a nt e
62
Ejercicios resueltos
Halla el término enésimo de la sucesión:
5 ; 13 ; 21 ; 29 ; 37 ; …
Encuentra la cantidad de términos de las sucesiones:
a) 8 ; 17 ; 26 ; 35 ; 44 ; 53 ; … ; 161
b) 17 ; 15 ; 13 ; 11 ; 9 ; … ; –79
Determina el término enésimo de la sucesión:
8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; …
Determina la cantidad de términos de la sucesión:
120 ; 60 ; 30 ; 15 ; ... ;
Encuentra el término enésimo de la sucesión:
17 ; 29 ; 43 ; 59 ; 77 ; … Halla la cantidad de términos de la sucesión:
5; 10; 17; 26; 37; …; 442
Resolución:
5 ; 13 ; 21 ; 29 ; 37
+8 +8 +8
Tn = T1 + r(n – 1)
Tn = 5 + 8(n – 1)
Tn = 8n – 3
Rpta. 8n – 3
Rpta. a) 18 y b) 49
Resolución:
Resolución:
Resolución:
8 ; 16 ; 32 ; 64 ; ...
×2 ×2 ×2
Tn = T1 × q
n – 1
Tn = 8 × 2
n – 1
Tn = 2
3 × 2n – 1
Tn = 2
n + 2
Resolución:
cantidad de términos =
Tn – T1
r + 1
a) 8 ; 17 ; 26 ; 35 ; … ; 161
+9 +9 +9
161 – 8
9
+ 1 = 18cantidad de términos =
b) 17 ; 15 ; 13 ; ... ; –79
–2 –2
+ 1 = 49cantidad de términos = –79 – 17
–2
Resolución:
120 ; 60 ; 30 ; ... ; 15128
× 12 ×
1
2
Tn = 120
1
2
n – 1
8 × 1
2n – 1
= 15128
= 1
128
1
2n – 4
= 1
27
n – 4 = 7 n = 11
C = 2 5 ; 10 ; 17 ; 26 ; … ; 442
+3 +5 +7 +9
+2 +2 +2
A + B =
2A =
A = 1; B = 2; C = 2
Tn = An
2 + Bn + C
Tn = n
2 + 2n + 2 = 442
n(n + 2) = 440
n(n + 2) = 20 × 22
n = 20
15
128
Rpta. 2n + 2
17 ; 29 ; 43 ; 59 ; ... C = 7
A + B =
2A =
+10 +12 +14 +16
+2 +2 +2
A = 1; B = 9; C = 7
Tn = An
2 + Bn+ C
Tn = n
2 + 9n + 7
Rpta. n2 + 9n + 7 Rpta. 20
Rpta. 11
1 4
2
3
5
6
63MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
En una sucesión aritmética, el quinto término es
34 y el octavo término es 49. ¿Cuánto es el valor
del vigésimo término de dicha sucesión?
¿Cuántos términos de la siguiente sucesión
terminan en cifra 5?
13 ; 22 ; 31 ; 40 ; ... ; 904
Al dividir el décimo y el sétimo término de una
sucesión geométrica se obtiene como resultado 8.
Si el valor del segundo término de dicha sucesión
es 12, ¿cuánto es el valor de su decimoquinto
término?
Durante la temporada de cosechas de naranjas
una persona es la encargada de recogerlas
del árbol. La primera tarde estaban maduras
8 naranjas de las que cosechó 1; la segunda tarde
maduraron 16 de las que cosechó 3; la tercera
tarde maduraron 24 de las que cosechó 7; la
cuarta tarde maduraron 32 de las que cosechó
13 y así sucesivamente, hasta que una tarde
cosechó una menos que todas las que maduraron
esa tarde. ¿Cuántas naranjas maduraron esa tarde?
Un estudiante resuelve el primer día 3 problemas,
el segundo día resuelve 8 problemas, el tercer
día resuelve 15 problemas, el cuarto día resuelve
24 problemas y así sucesivamente, hasta que
cierto día resolvió tantos problemas como 24 veces
el número de días que había estado practicando.
¿Cuántos problemas resolvió ese día?
El primero, el segundo y el sétimo término de
una progresión aritmética forman una progresión
geométrica. Si la suma de dichos términos es 93,
¿cuánto es el valor de su producto?
T5 = 34
T8 = 49
Tn = T1 + r(n – 1)
T5 = T1 + 4r = 34
T8 = T1 + 7r = 49
3r = 15
r = 5
(–)
Resolución:
T1 + 4(5) = 34
T1 = 14
Tn = 14 + 5(n – 1)
Tn = 5n + 9
T20 = 5(20) + 9 = 109
Resolución:
Rpta. 109 Rpta. 10 términos
T10
T7
= 8 ; T2 = 12 ; T15 = ??
Tn = T1 × q
n – 1
T10
T7
=
T1 × q
9
T1 × q
6 = 8
q3 = 8 q = 2
T2 = T1 × q
1
12 = 2 × T1 6 = T1
T15 = T1 × q
14
T15 = 6 × 2
14
T15 = 3 × 2 × 2
14
T15 = 3 × 2
15
3 ; 8 ; 15 ; 24
d1 d2 d3 d4
0
+3 +5 +7 +9
+2 +2 +2
A + B =
2A =
C =
dn
24nn.° de prob.
A = 1; B = 2; C = 0
Tn = An
2 + Bn + C
Tn = n
2 + 2n = 24n
n2 = 22n n = 22
24n = 24 × 22
24n = 528
Rpta. 528
Rpta. 3 × 215
Resolución: Resolución:
+9 +9 +9
Resolución:
Tn = T1 + r(n – 1)
Tn = 13 + 9(n – 1)
Tn = 9n + 4 = ...5
9n = ...1
n = ...9
n = {9 ; 19 ; 29 ; ... ; 99} ⇒
+10 +10
Cant.
term. =
Tn = 9n + 4 = 904
9n = 900
n = 100
Cant. ter. = 100
99 – 9
10 + 1 = 10
t1 t2 t7
x x + r x + 6r
×q ×q
x + 6r
x + r =
x + r
x
x2 + 6rx = x2 + 2xr + r2
4rx = r2 r = 4x
T1 = x
T2 = 5x
T7 = 25x
31x = 93
x = 3
T1 = 3
T2 = 15
T7 = 75
Rpta. 3 × 15 × 75 = 3375
Resolución: t1
8 ; 16 ; 24 ; 32
t2 t3 t4
maduras
1 ; ; ;3 7 13
+2
+2+2 +2
+4 +60
C = 1
A + B =
2A =
tn
8n
n2 – n + 1
A = 1; B = –1; C = 1
Cosechó todas las naranjas maduras.
cosechó
n2 – n + 1 – 1 = 8n n = 9 Tn = 8(9) = 72
Rpta. Maduraron 72 naranjas.
7 10
8
9
11
12
64
Ejercicios de aplicación
Juan le dice a Robert «Si ordeno los números 3;
7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno le sumo
una misma cantidad, obtengo una progresión
geométrica». Calcula la suma de las cifras del
cuarto término de dicha progresión.
Resolución:
En una progresión geométrica creciente de tres
términos, se multiplica el primer término por 4, el
segundo por 7 y el tercero por 6, obteniéndose
una progresión aritmética. Si el segundo término
de la P.A. es 42. Encuentra el valor del tercer
término de la P.G.
Resolución:
Halla el término enésimo de las sucesiones:
a) 10 ; 17 ; 24 ; 31 ; 38 ; …
b) 234 ; 230 ; 226 ; 222 ; 218 ; …
Resolución:
Determina el término enésimo de las sucesiones:
a) 89 ; 99 ; 113 ; 131 ; 153 ; …
b) 879 ; 870 ; 859 ; 846 ; 831 ; …
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
1
2
3
4
65MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Halla la cantidad de términos de las sucesiones.
a) 98 ; 109 ; 120 ; 131 ; 142 ; 153 ; … ; 439
b) 18 ; 16 ; 14 ; 12 ; 10 ; … ; –134
Resolución:
En una sucesión aritmética el tercer término es 56
y el décimo término es 105. ¿Cuánto es el valor
del vigesimocuarto término de dicha sucesión?
Resolución:
En una sucesión geométrica el segundo término
es 15 y el sexto término es 1215. ¿Cuánto es el
valor del decimosexto término de dicha sucesión?
Resolución:
Calcula la cantidad de términos de las sucesiones.
Encuentra la cantidad de términos de las sucesiones:
Resolución:
Las sucesiones:
• 4 ; 11 ; 18 ; 25 ; …
• 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; …
Si se sabe que tienen igual cantidad de términos
y que al sumar el último término de la primera con
el último término de la segunda sucesión resulta
803. ¿Cuántos términos tiene cada sucesión?
Resolución:
a) 1 ; 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; … ; 1249
b) 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; 45 ; … ; 465
Rpta.
a) 12 ; 36 ; 108 ; 324 ; … ; 26 244
b) 49 ; 7 ; 1 ; 17 ; ... ;
1
710
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Rpta.
6
9
7
10
85
66
A 16 B 17 C 18
D 19 E 20
Practica y demuestra
En una sucesión lineal el tercer término es 10 y el
décimo término es 45. Calcula el valor del término
de lugar 22.
Determina el valor del primer término negativo de
la sucesión.
671 ; 665 ; 659 ; ...
¿Cuántos números pares hay desde 56 hasta 238?
Determina el valor del vigésimo término en:
39 ; 56 ; 73 ; 90 ; …
Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente
sucesión:
1 ; 5 ; 11 ; 19 ; … ; 379
En una progresión geométrica el término de sexto
lugar es 972 y el primer término es 4. Halla el valor
de la razón de la progresión.
De las sucesiones:
• 27 ; 25 ; 23 ; 21 ; ...
• –6 ; –5 ; –4 ; –3 ; ...
Se sabe que tienen la misma cantidad de términos
y además sus últimos términos son iguales. Calcula
la diferencia de sus penúltimos términos.
Si x – 3; x + 1; x + 13; ... son los tres primeros
términos de una P.G. Determina el valor del
decimotercer término de dicha progresión.
Halla el valor del trigésimo término de la sucesión:
4 ; 8 ; 14 ; 22 ; …
Calcula x – y en la siguiente progresión aritmética:
x
3
;17; y2 ; 33
A 95 B 100 C 105
D 110 E 115
A 340 B 362 C 370
D 382 E 390
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A 3 × 210 B 3 × 212 C 2 × 133
D 2 × 312 E 13 × 22
A 20 B 22 C 24
D 26 E 28
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
A –6 B –5 C –3
D –2 E –1
A 184 B 182 C 102
D 92 E 82
A 932 B 902 C 892
D 874 E 836
1 6
2
7
3
8
4 9
5
10
Tema
67MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
9
Series
En toda serie notable
donde n representa la
posición del término,
se debe empezar con
n = 1, es decir, para
aplicar la fórmula
de la suma de los n
primeros números
enteros positivos, esta
debe empezar en 1;
para aplicar la suma
de los n primeros
números pares enteros
positivos, esta debe
empezar en 2; y así
sucesivamente.
Si no se da el caso
anterior lo que se debe
hacer es aplicar un
pequeño artificio que
consiste en agregar los
términos que faltan y
luego quitárselos.
S = 8 + 9 + 10 + 11 + … + 30
S = 1 + 2 + 3 +…+ 7 +
8 + 9 +…+ 30 – (1 +
2 + 3 +…+ 7)
S = 30 × 312 –
7 × 8
2
Series notables
Una serie notable es aquella que tiene un nombre específico y una fórmula determinada
para calcular su valor.
A continuación te mostraremos algunas series notables:
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2
a. Suma de los n primeros números enteros positivos
b. Suma de los n primeros números pares enteros positivos
c. Suma de los n primeros números impares enteros positivos
d. Suma de los cuadrados de los n primeros números enteros positivos
f. Suma de los n primeros productos consecutivos tomados de 2 en 2
g. Suma de los n primeros productos consecutivos tomados de 3 en 3
e. Suma de los cubos de los n primeros números enteros positivos
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n(n + 1)
2
12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4+ 4 × 5 +... + n × (n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n × (n + 1) × (n + 2) =
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
13 + 23 + 33 + 43 + … + n3 =
n(n + 1)
2
2
Recu e rda
¿Sa bía s qu e.. .?
Los números
naturales, pares
e impares, se
encuentran en
progresión aritmética,
por lo tanto también
se pueden calcular
utilizando la fórmula
de la suma de
términos de dicha
progresión.
1 + 2 + 3 + 4 +…+ n
2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2n
1 + 3 + 5 + 7 +…+ 2n – 1
2 + 4 + 6 + 8 + … + (2n) = n(n + 1)
68
Para calcular el valor de una serie de orden superior, primero se debe hallar el término
enésimo de la sucesión que forman los términos.
Ejemplo:
S = 5 + 12 + 23 + 38 + 57 + … (20 términos)
Una vez que se halla el término enésimo se puede tener cada uno de los términos de
manera disgregada de la siguiente forma:
De manera análoga se podrá trabajar cuando aparezca una suma donde los términos
estén formados por el producto de dos o más números.
Ejemplo:
R = 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 16 × 18
= 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + 3(3 + 2) + 4(4 + 2) + … + 16(16 + 2)
= (12 + 22 + 32 + ... + 162) + 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 16)
=
16(17)(33)
6 + 2
16(17)
2
= 1496 + 2(136)
= 1768
2A = 4 A + B = 3 C = 2
A = 2 B = 1 C = 2
Tn = An
2 + Bn + C
Tn = 2n
2 + n + 2
Tn = 2n
2 + n + 2
T1 = 2(1)
2 + 1 + 2
T2 = 2(2)
2 + 2 + 2
T3 = 2(3)
2 + 3 + 2
T20 = 2(20)
2 + 20 + 2
... ... ... ...
Una sumatoria es la
forma abreviada de
colocar una serie,
y se caracteriza
por el uso del
operador matemático
Sumatoria (∑),
el cual está
representado por la
letra griega sigma.
Por ejemplo, la
forma de representar
la suma de los n
primeros números
enteros positivos con
sumatorias, sería la
siguiente:
Σ
n
i =
i = 1
n(n + 1)
2
Ahora se puede aplicar las fórmulas de las series notables:
S = 2(12 + 22 + 32 + ... + 202) + (1 + 2 + 3 + ... + 20) + (2 + 2 + 2 + ... + 2)
= 2 20(21)(41)
6
+
20(21)
2
+ 2(20)
= 2(2870) + 210 + 40
= 5990
20 veces
Import a nt e
Re cu e rda
¿Sa bía s qué.. .?
No te olvides de las
listas de números
importantes, como
los naturales, pares,
impares, cuadrados
perfectos, cubos
perfectos, entre
otras, que se han
desarrollado en
capítulos anteriores.
El término enésimo
de la sucesión que
forman los números
triangulares es igual
a la de la suma
de los n primeros
números enteros
positivos.
El término enésimo
de la sucesión que
forman los números
rectangulares es
igual a la de la suma
de los n primeros
números pares
enteros positivos.
Series de orden superior
Una serie de orden superior es aquella en la que sus términos forman una sucesión de
orden superior, es decir, sus términos forman una sucesión de segundo o tercer grado.
69MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
tn = n
2 – 3n + 7
t1 = 1
2 – 3(1) + 7
t2 = 2
2 – 3(2) + 7
t3 = 3
2 – 3(2) + 7
t10 = 10
2 – 3(10) + 7
Ejercicios resueltos
Encuentra el valor de la serie.
Q = 22 + 42 + 62 + ... + 462
Resolución:
Indica el valor de la serie.
P = 0,1 + 0,8 + 2,7 + 6,4 + 12,5 + ... (29 sumandos)
Resolución:
Calcula la suma de los 10 primeros términos de
la sucesión cuyo término enésimo tiene la forma
n2 – 3n + 7.
Resolución:
Q = (1 × 2)2 + (2 × 2)2 + (3 × 2)2 + ... + (23 × 2)2
= 12 × 22 + 22 × 22 + 32 × 22 + ... + 232 × 22
= 22 (12 + 22 + 32 + ... + 232)
= 17 296
= 18 922,5
= (1 + 8 + 27 + 64 + ... ) 1
10
= (13 + 23 + 33 + ... + 293)1
10
= (189 225)1
10
P = + + + + ... (29 sumandos)
1
10
27
10
8
10
64
10
+
J = 12 + 22 + 32 + ... + 102 – 3(1 + 2 + 3 + ... + 10) + 7(10)
=
= 385 – 165 + 70
= 290
– 3 + 70
10 × 11
2
10 × 11 × 21
6
Rpta. 290
Rpta. 17 296
Rpta. 18 922,5
1 Calcula el valor de la serie.
M = 0,01 + 0,02 + 0,03 + 0,04 + ... + 2
Resolución:
M = + + + + ... +
= (1 + 2 + 3 + ... + 200)
=
= 201
1
100
1
100
1
100
2
100
3
100
4
100
200
100
Rpta. 201
200 × 201
2
= 4 23 × 24 × 47
6
=
2
1
10
29 × 30
2
3 Halla el valor de la serie.
J = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ...) (16 sumandos)
= (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + 162)
=
= 748
1
2
1
2
1
2
J =
1
2
+
4
2
+
9
2
+
16
2
+
25
2
+ ... (16 sumandos)
16 × 17 × 33
6
Rpta. 748
Resolución:
4
5
6
2 Determina el valor de la serie.
H = 9 + 18 + 27 + 36 + ... + 189
Resolución:
= 9
= 9 × 21 × 11
= 2079
H = 9(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 21)
Rpta. 2079
21 × 22
2
... ... ... ...
70
¿Cuánto es el valor de la serie?
A = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 10 × 11
Resolución:
Halla el valor de la serie.
U = 8 + 16 + 26 + 38 + 52 + ... (15 sumandos)
Resolución:
Indica el valor de la serie.
W = 5 + 12 + 21 + 32 + 45 + ... (19 sumandos)
Resolución:
Encuentra el valor de la serie.
W = 1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + 4 × 16 + ... + 19 × 1
Resolución:
W = 1 × 20 – 12 + 2 × 20 – 22 + 3 × 20 – 32 + ... +
19 × 20 – 192
= 20(1 + 2 + 3 + ... + 19) – (12 + 22 + 32 + ... + 192)
c = 0 5 + 12 + 21 + 32 + ...
a + b = +5 +7 +9 +11
2a = +2 +2 +2
a = 1 , b = 4 , c = 0
tn = n
2 + 4n
t1 = 1
2 + 4(1)
t2 = 2
2 + 4(2)
t3 = 3
2 + 4(3)
: : :
t19 = 19
2 + 4(19)
15 × 16 × 31
6
15 × 16
2
c = 2 8 + 16 + 26 + 38 + ...
a + b = +6 +8 +10 +12
2a = +2 +2 +2
a = 1 , b = 5 , c = 2
tn = n
2 + 5n + 2
t1 = 1
2 + 5(1) + 2
t2 = 2
2 + 5(2) + 2
t3 = 3
2 + 5(3) + 2
: : :
t15 = 15
2 + 5(15) + 2
U =
U = 1240 + 600 + 30 = 1870
+ 5 + 2(15)
19 × 20 × 39
6
10 × 11 × 21
6
19 × 20
2
10 × 11
2
W =
=
W = 2470 + 760 = 3230
+ 4
+
+
A = 12 + 1 + 22 + 2 + 32 + 3 + ... + 102 + 10
= 12 + 22 + 32 + ... + 102 + 1 + 2 + 3 + ... + 10
= 385 + 55 = 440
= 20
19 × 20
2
– 19 × 20 × 39
6
= 3800 – 2470
= 1330
Calcula el valor de la suma de los 15 primeros
términos de la sucesión cuyo término enésimo
tiene la forma n(n + 7).
Resolución:
tn = n(n + 7)
tn = n
2 + 7n
t1 = 1
2 + 7(1)
t2 = 2
2 + 7(2)
t2 = 3
2 + 7(3)
: : :
t15 = 15
2 + 7(15)
=
15 × 16 × 31
6 +
7
15 × 16
2
= 1240 + 840 = 2080
+
J = 12 + 22 + 32 + ... + 152 + 7(1 + 2 + 3 + ... + 15)
Rpta. 1870
Rpta. 1330
Rpta. 2080
Rpta. 3230
Rpta. 440
Rpta. 10 385
Determina el valor de la serie.
B = 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + ... + 30 × 32
Resolución:
B = 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + 3(3 + 2) + ... + 30 (30 + 2)
= 12 + 22 + 32 + ... + 302 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 30)
=
30 × 31 × 61
6
+ 2
30 × 31
2
= 9455 + 930
= 10 385+
7 10
8
9
11
12
71MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios de aplicación
Calcula el valor de la serie.
S = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 40
Resolución:
Determina el valor de la serie.
R = 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,07 + … + 1,27
Resolución:
Carlos, el padre de Andrea, prometió regalarle
en cada uno de sus cumpleaños tantas rosas
como el número de años que cumplía ese día. Si
se sabe que el precio en soles de cada una de
las rosas que le regala es numéricamente igual
al número de rosas que compra, ¿cuántos soles
habrá gastado en rosas hasta el día que Andrea
cumplió 35 años?
Resolución:
Se tiene 15 cuadrados cuyos lados miden 1 cm,
2 cm, 3 cm, … 15 cm. ¿Cuánto será la cantidad
de metros cuadrados que dará como resultado la
suma de las áreas de estos cuadrados?
Resolución:
María empezó a ahorrar el primer día del mes
de marzo. Si se sabe que el primer día ahorró
20 céntimos y cada día ahorró 20 céntimos más
que el día anterior, ¿cuántas monedas de un sol
podrá obtener como máximo al cambiar el dinero
ahorrado en un mes?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Halla lasuma total de los números presentes en el
siguiente arreglo:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ... + 202
22 + 32 + 42 + 52 + ... + 202
32 + 42 + 52 + ... + 202
42 + 52 + ... + 202
202
Rpta.
Resolución:
1
2
4
3
6
5
72
Encuentra el valor de la serie.
F = 32 + 62 + 92 + 122 + ... + 482
Resolución:
Claudia trabaja en su computadora y tiene una
aplicación que cuenta las veces que aprieta los
botones del teclado, si el primer día presiona los
botones 125 veces, el segundo día 216, el tercer
día 343, el cuarto día 512 y sigue la secuencia
durante los 17 días que trabaja. ¿Cuántas veces
habrá presionado los botones del teclado durante
ese tiempo?
Resolución:
Calcula la suma de las áreas de 20 circunferencias
cuyos radios miden 5 m, 10 m, 15 m, 20 m y así
sucesivamente hasta el último.
Resolución:
Halla la suma de los 13 primeros términos de la
sucesión cuadrática cuyo término enésimo es
n2 + 5n – 7.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Indica el valor de la serie.
W = 10 + 20 + 32 + 46 + 62 + ... (10 sumandos)
Resolución:
Rpta.
Calcula el valor de la serie.
D = 1 × 29 + 2 × 28 + 3 × 27 + 4 × 26 + ... + 29 × 1
Resolución:
Rpta.
8
11
9
12
107
73MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
1 Halla el valor de la serie.
H = 16 + 32 + 48 + 64 + … + 336
A 2969 B 2699 C 3696
D 3769 E 4699
2 Determina el valor de la serie.
S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ... + 18,81
A 290,5 B 198,5 C 92,85
D 90,85 E 98,52
3 Encuentra el valor de la serie.
Q = 42 + 82 + 122 + 162 + ... + 1202
A 151 280 B 150 180
C 151 280 D 251 285
E 51 280
5 Halla la suma de los 20 primeros términos de la
sucesión cuyo término enésimo tiene la forma
3n2 – 5n + 12.
A 6800 B 6500 C 6400
D 7800 E 5400
A 303 B 249 C 140
D 129 E 29,241
4 Calcula el valor de la serie.
P = 0,001 + 0,008 + 0,027 + 0,064 + 0,125 + …
18 sumandos
A 11 880 B 11 870 C 11 860
D 11 850 E 11 840
Determina el valor de la serie.
U = 24 + 48 + 78 + 114 + 156 + … (20 sumandos)
6
A 5950 B 5850 C 3750
D 2975 E 2925
Calcula el valor de la serie.
A = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + … (25 sumandos)
7
A 12 545 B 12 425 C 12 245
D 8445 E 2425
Halla el valor de la serie.
B = 1 × 7 + 2 × 8 + 3 × 9 + 4 × 10 + … + 30 × 36
8
A 650 B 950 C 1250
D 1300 E 2600
Determina el valor de la serie.
W = 1 × 24 + 2 × 23 + 3 × 22 + 4 × 21 + … + 24 × 1
9
A 2450 B 2550 C 2650
D 2750 E 2850
Encuentra el valor de la suma de los 20 primeros
términos de la sucesión cuyo término enésimo
tiene la forma n(n − 2).
10
74
Tema
Operaciones matemáticas
10
Los elementos
de algunas
operaciones
matemáticas
universales:
sumando
+ sumando = suma
minuendo
– sustraendo =
diferencia
multiplicando
× multiplicador =
producto
dividendo divisor
residuo cociente
(base)exponente = potencia
cantidad
subradical
índice
El alfabeto griego:
= raíz
definición
Una operación matemática es un proceso a partir del cual un conjunto de operandos
se convierten en un resultado.
Ejemplo:
Operandos
7 8+
Operador
matemático
= 15
Resultado
En este caso la operación es conocida por todos, la Adición, en la cual los operandos
adquieren el nombre de sumandos y el resultado se llama suma.
operador matemático
Es un símbolo que representa a una operación, es decir, a un proceso. Estos se
clasifican en universales y arbitrarios.
operadores matemáticos universales: Son aquellos símbolos que adquieren el
mismo significado en todos los ámbitos y lugares.
Entre ellos encontramos:
operador Nombre
+ Adición
– Sustracción
× Multiplicación
÷ División
Radicación
( )n Potenciación
! Factorial
log Logaritmo
lim Límite
Σ Sumatoria
% Por ciento
∏ Productoria
Máximo valor entero
operadores matemáticos arbitrarios: Son aquellos símbolos que no tienen una
definición específica y cualquier persona le puede dar un significado en cada situación
planteada.
Entre ellos encontramos:
#, $, &, *, @, ^, Ω, Ψ, •, , , , , , , , , ,
Alfa : a A
Beta : b B
Gamma : g G
delta : d D
Épsilon : e E
Zeta : z Z
Eta : h H
Theta : q Q
Iota : i I
Kappa : k K
Lambda : l L
Mu : m M
Nu : n N
Xi : x X
Ómicron : o O
Pi : p P
Rho : r R
Sigma : s Σ
Tau : t T
Ípsilon : u U
Fi : f F
Ji : χ Χ
Psi : y Y
omega : w W
75MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
operaciones matemáticas arbitrarias
Las operaciones arbitrarias se caracterizan por tener la siguiente estructura:
Operandos
a # b
Operador
= 2a + 3b – 5
Regla de definición
Operando
x
Operador Regla de definición
= 3x2 + 8
La forma en la cual se debe resolver este tipo de problemas es la siguiente:
Ejemplo 1
Si se sabe que: a @ b = 2b – 3a + 17, calcula el valor de 5 @ 8.
Resolución:
De la definición:
a @ b = 2b – 3a + 17
5 @ 8 = 2(8) – 3(5) + 17
5 @ 8 = 16 – 15 + 17
5 @ 8 = 18
Se iguala el primer operando con el primer
número (a = 5) y el segundo operando con el
segundo número (b = 8) y luego se reemplazan
esos valores en la regla de definición, terminando
el problema con el cálculo de esa operación.
Ejemplo 2
Si se sabe que 2x = x2 – 12, halla el valor de 14 .
Resolución:
2x = x2 – 12
14 = (7)2 – 12
14 = 49 – 12
14 = 37
2x = 14
14
2
x =
x = 7
Se iguala el operando con el número (2x = 14),
luego se despeja para calcular el valor de la
variable (x = 7) y después se reemplaza ese
valor en la regla de definición, terminando el
problema con el cálculo de esa operación.
El símbolo arroba,
que se representa
con el caracter @,
era una antigua
unidad de masa del
sistema castellano
(usado en España) y
equivalía a la cuarta
parte del quintal, lo
que supone 25 libras.
Aquí hay una lista
de otras expresiones
que se utilizan en
matemática:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual
≥ mayor o igual
∼ proporcional
≅ aproximado
∈ pertenece
∃ existe
∀ cualquier
En este capítulo
encontrarás
problemas que
te servirán para
practicar la resolución
de ecuaciones.
El símbolo + proviene
de la letra «P»,
porque «PLUS» en
latín significa más.
El símbolo – proviene
de la letra «m»,
porque «MinUS» en
latín significa menos.
La multiplicación se
puede representar
con × o • o *
Recu e rda
¿Sa bía s qu e.. .?
76
operaciones binarias
Una operación binaria es aquella operación matemática que necesita un operador y
dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.
Ejemplo:
En el conjunto A = {8; 9; 10; 11} definimos la siguiente tabla.
♥ 8 9 10 11
8 8 11 9 10
9 10 9 8 11
10 11 8 10 9
11 9 10 11 8
Si se quiere hallar el valor de 9 ♥ 11, lo que se debe hacer es buscar el elemento
que sea la intersección de la fila del 9 y la columna del 11, ya que el primer operando
determina la fila y el segundo la columna.
♥ 8 9 10 11
8 8 11 9 10
9 10 9 8 11
10 11 8 10 9
11 9 10 11 8
Por lo tanto, 9 ♥ 11 = 11.
Propiedades de las operaciones matemáticas
Clausura o cerradura
a * b = c a, b y c ∈ C, siendo C el conjunto en el que se define la operación
Una operación es cerrada si todos los elementos de la misma pertenecen al conjunto
en el cual se define la operación.
Ejemplos:
a) En la suma es cerrada:
3 + 4 = 7
3 , 4 , entonces 7 .
b) En la multiplicación es cerrada:
8 × 5 = 40
8 , 5 , entonces 40 .
Para saber si una operación binaria definida mediante una tabla cumple la propiedad
de clausura lo único que se debe hacer es verificar que todos los elementos presentes
en la tabla, tanto en el cuerpo como en los márgenes pertenezcan al conjunto en el que
se define la operación.
El Código Binario
es un sistema de
representación
de textos o de
procesadores de
instrucciones de una
computadora, que
hace uso del sistema
binario, en tanto,
el sistema binario
es aquel sistema
de numeración que
se emplea en las
matemáticas y enla
informática y en el
cual los números se
representan usando
únicamente las cifras
cero y uno (0 y 1).
Especialmente a
instancias de las
telecomunicaciones
y de la informática,
este código se
emplea con
diferentes métodos
de codificación
de datos, como
ser: cadenas de
caracteres, cadenas
de bits, pudiendo ser
de ancho fijo o de
ancho variable.
¿Sa bía s qu e.. .?
77MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Propiedad conmutativa
a * b = b * a
La propiedad conmutativa es aquella que dice que el orden de los operandos no altera
el resultado.
Ejemplos:
a) En N la suma es conmutativa.
8 + 3 = 3 + 8
2 + 7 = 7 + 2
b) En Z la multiplicación es conmutativa.
8 × 3 = 3 × 8
7 × 2 = 2 × 7
Para saber si una operación binaria definida mediante una tabla cumple con la propiedad
conmutativa, lo que se debe hacer es trazar la diagonal principal y verificar que sea un
eje de simetría, es decir, que corte la tabla en dos partes exactamente iguales.
p
a
b
c
d
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
a b c d
Sí es conmutativa
R
1
2
3
4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 3
3 4 1 2
4 1 2 1
Elemento neutro (e)
a * e = a
no es conmutativa
Es aquel elemento que al operarlo con cualquier otro se obtiene el mismo elemento
inicial, es decir, es aquel que no afecta a ningún operando.
Ejemplos:
a) El elemento neutro de la suma es el 0.
3 + 0 = 3 ; 11 + 0 = 11
b) El elemento neutro de la multiplicación es el 1.
4 × 1 = 4 ; 19 × 1 = 19
Para hallar el elemento neutro en una operación binaria definida mediante una tabla
se tiene que buscar la intersección de la fila y la columna que sean iguales a las que
aparecen en los márgenes de la tabla.
Los sistemas de
numeración de
la actualidad son
ponderados, lo cual
significa que cada
posición de una
secuencia de dígitos
tendrá asociado un
peso, en tanto, el
sistema binario es de
hecho un sistema de
numeración de este
tipo: ponderado.
Not a
78
W
1
2
3
4
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
W
1
2
3
4
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
W
1
2
3
4
1 2 3 4
4 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
Elemento inverso (a–1)
a * a–1 = e
Al operar un elemento cualquiera con su inverso debe dar como resultado el elemento
neutro de dicha operación.
Ejemplo:
a) En la suma, el inverso de 4 es −4:
Porque 4 + (−4) = 0
b) En la multiplicación, el inverso de 5 es 15 :
Porque 5 × ( 15 ) = 1
Para hallar el elemento inverso en una operación binaria definida mediante una tabla se
debe hallar primero el elemento neutro y luego buscar la pareja con la que un elemento
da como resultado el neutro.
∑
2
3
4
5
2 3 4 5
3 4 5 2
4 5 2 3
5 2 3 4
2 3 4 5
∑
2
3
4
5
2 3 4 5
3 4 5 2
4 5 2 3
5 2 3 4
2 3 4 5
Por lo tanto:
2–1 = 4 3–1 = 3
4–1 = 2 5–1 = 5
Por lo tanto: e = 2.
e = 5
=
=
El sistema de
numeración binario,
también llamado
sistema de base 2,
utiliza solo dos
dígitos, el cero (0) y
el uno (1).
En una cifra binaria,
cada dígito tiene
distinto valor
dependiendo de
la posición que
ocupe. El valor de
cada posición es
el de una potencia
de base 2, elevada a
un exponente igual
a la posición del
dígito menos uno. Se
puede observar que,
tal y como ocurría
con el sistema
decimal, la base de
la potencia coincide
con la cantidad de
dígitos utilizados (2)
para representar los
números.
De acuerdo con
estas reglas,
el número
binario 1011 tiene un
valor que se calcula
así:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar
que ambas cifras
describen la
misma cantidad lo
escribimos así:
1011(2) = 11(10)
Import a nt e
Ade más
79MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
Si a ∗ b = a(a – b), calcula (2 ∗ 1) ∗ (4 ∗ 3).
Resolución:
Rpta. –4
Rpta. 212
Rpta. 9
Rpta. 146
2(2 – 1) ∗ 4(4 – 3)
2 ∗ 4
2(2 – 4) = –4
Si a
3
b
4
= ab + a + b, halla 2 5.
Resolución:
2 5 =
6
3
20
4
2 5 = 6 × 20 + 6 + 20
2 5 = 146
Si
m2
2
m ∗ n = + 3, determina el valor de E.
E = 4 ∗ (5 ∗ (6 ∗ ...))
200 operadores
Resolución:
E = 4 ∗ (5 ∗ (6 ∗ ...))
x
E = 4 ∗ x = 4
2
2
+ 3
Rpta. 11
→ E = 11
Se define en Z:
a b = (a + b)(a b)
(a + b) b = 2ab
Encuentra: 8 5
Resolución:
a b = (a + b)(a b)
8 5 = (8 + 5)(8 5)
(a + b) b = 2ab
(3 + 5) 5 = 2(3)(5) = 30
8 5 = 30
∴ 8 5 = (8 + 5)(30) = 8 5 = 390
8
Se define:
P(x + 5) = P(x + 2) + 2
Además: P(12) = 20
Calcula: P(300)
Resolución:
P(x + 5) = P(x + 2) + 2
Se analiza
x = 10 :
x = 13 :
x = 16 :
x = 295:
P(15) = P(12) + 2
P(18) = P(15) + 2
P(21) = P(18) + 2
P(300) = P(297) + 2
+
P(300) = P(12) + 2
297 – 12
3
+ 1
P(300) = P(12) + 2(96)
20
P(300) = 20 + 192 = 212
a # b = a2b2
Resolución:
Se analiza
✓ 1 q 1 ⇒ 1 = 1 ✓ 3 q 1 ⇒ 3 ≠ 1
✓ 4 q 4 ⇒ 4 = 4 ✓ 3 q 3 ⇒ 3 = 3
P =
3 q 3
12
# 4
P =
2(3) + 3
12
# 4
P =
3
4
# 4 =
3
4
2
(4)2 = 9
Rpta. 390
Halla: P = # 4
(1 q 1) q ( 3 q 1)
4 q 4
P =
(1 q 1) q ( 3 q 1)
4 q 4
# 4
P =
(2(1) + 1) q ( 3 )2 13)
2(4) + 4
# 4
Si a q b =
a2 b3 ; si a ≠ b
2a + b ; si a = b
6
1 5
2
3
4
6
80
Dada la siguiente tabla:
sabe que n n(n + 1)
2
= .
Encuentra el valor de x en 2x + 1 = 21, si se
Resolución:
2x + 1 = 21 =
6 × 7
2
2x + 1 = 6 = 3 × 4
2
2x + 1 = 3 = 2 × 3
2
2x + 1 = 2
2x = 1
x =
1
2
Rpta. 1
2
Sabiendo que:
x + 5 = x – 3 ; x – 1 = x – 5
Calcula el valor de . A = x + 1
Resolución:
A = x – 3
A = x – 7
A = x – 11
x – 1 = x – 5
–4
x + 5 = x – 3
x + 1 = x – 3
–4
Rpta. x – 11
1 2 3 4
1 3 4 1 2
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
Halla el valor de B = (4 3) (2 1)
Resolución:
B = (4 3) (2 1)
B = 4 4
B = 1
Rpta. 1
Rpta. 2
En Q = {0; 1; 2; 3}, se define:
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 3 0 2
2 2 0 3 1
3 3 2 1 0
Determina el valor de x en:
(3 x) (2 0) = (3 3) 0
Resolución:
(3 x) (2 0) = (3 3) 0
(3 x) 2 = 0 0
(3 x) 2 = 0
3 x = 1
x = 2
si se sabe que .x
x + 1
x – 1
=
Determina n en 2 × 4 × 6 × ... × 2n = 145,
Resolución:
2 2 + 1
2 – 1
=
+1
=
3
1
–1
3
1
×
5
3
×
7
5
× ... ×
2n + 1
2n – 1
= 145
2n + 1 = 145 → 2n = 144
n = 72
Rpta. 72
Se reemplaza:
Rpta. 2
En el conjunto M = {1; 2; 3; 4}, se define:
1 2 3 4
1 4 1 2 3
2 1 2 3 4
3 2 3 4 1
4 3 4 1 2
Encuentra:
M = [{(1–1 2)–1 (2–1 3)–1} 4–1]–1
Resolución:
M = [{(1–1 2)–1 (2–1 3)–1} 4–1]–1
M = [{(3 2)–1 (2 3)–1} 4]–1
M = [{(3–1 3–1} 4]–1
M = [{1 1} 4]–1
M = [4 4]–1
M = 2–1
M = 2
1–1 = 3
2–1 = 2
3–1 = 1
4–1 = 4
1 2 3 4
1 4 1 2 3
2 1 2 3 4
3 2 3 4 1
4 3 4 1 2
elemento neutro 2
7 10
8
9
11
12
81MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios de aplicación
Si
Si
Si
x + 1 = x2 – 1
Calcula: A = 2 1
x + 2 = 4x2 – 1
Halla: 3 – 1
x + 3 = x2 – 3
Encuentra: 1 + 2
Si x y = x
2 – xy
x – y – 1, x ≠ y ∧ xy ≠ 0, calcula el
valor de 8 (8 (8 (8 …))).
Una operación representada, se define así:
x = 2x; si x es par
x = x; si x es impar
Halla el valor de .3 + 7 – 2 – 7
Calcula (8 # 3) # (5 # 6), si:
a > b ⇒ a # b = a + a + a + …
b veces
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se define a b = a2 + 2a + b0, determina E.
E = 5 (7 (9 ... (2017 2018))...)
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Si a b = (a + b)a, halla m, si m + (2 3) = 3 2
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
1
3
2
4
6
7
6
8
5
a < b ⇒ a # b = b + b + b + …
a veces
82
Si x D y = (x + y)(x2 – xy + y2), calcula el valor de
P = (2 D 1)(1 D 2).
Si x D y = x2 + y2 + xy, halla el valor de a
(3 D 2) + a + (5 D 1) = 7 D 4.
Sabiendo que a b = 2a D b ∧ a D b = a(b – 1),
determina 4 7.
Si a b = a2 D b, a D b = 2[ab (a – 1)] y
a b = (a + 2)(b – 1), encuentra (3 6) (2 2).
Si x = (x + 1)2, encuentra el valor den.
n = 100
Se define x = (x + 1)x
2
, determina n.
2n + 1 = 231
Dados x = 2x + 3 ; x = 4x − 3, halla 7 .
Calcula el valor de x en 2x + 1 = 21.
n = 1 + 2 + 3 + ... + n
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
16
14
11
10
16
12
9 13
83MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Definida las operaciones:
2n – 1 = 4n + 1 y 2n + 1 = 16n + 9
Calcula E = 3 + 4
Si P(x + 5) = x2 + 11x + 30; además P(P(y)) = 930.
Halla el valor de y.
De la siguiente tabla:
a
b
c
d
b
c
d
a
c
d
a
b
d
a
b
c
a
b
c
d
a b c d
Determina el valor de:
M = (a b) (c d)
De la siguiente tabla: Dada la tabla:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
3
4
5
1
2
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
Encuentra el valor de x en x ▲ 4 = (1 ▲ 2) ▲ 3.
Se define la operación en el conjunto A = {0; 1; 2; 3},
mediante la siguiente tabla:
0
1
2
3
2
3
0
1
3
0
1
2
0
1
2
3
1
2
3
0
0 1 2 3
Encuentra el valor de x + y – z.
Si se sabe que la operación & cumple la propiedad
conmutativa:
¿La operación es cerrada? ¿Por qué?
4
5
6
7
5
x
7
z
6
7
4
5
7
4
5
6
4
y
6
7
4 5 6 7&
De la siguiente tabla:
0
1
2
3
2
3
0
1
3
0
1
2
0
1
2
3
1
2
3
0
0 1 2 3#
Determina el valor de 3–1 # 0–1, donde a–1 es el
elemento de a.
11 10 9 8 7
11
10
9
8
7
11
10
9
8
7
10
9
8
7
11
9
8
7
11
10
8
7
11
10
9
7
11
10
9
8
£
Halla el valor de: 7–1 £ (10–1 £ 9–1)–1.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.Rpta.
Rpta.
Rpta.
6 6
19
23
18
22
20 24
17 21
84
Practica y demuestra
Dado m n = m2 – mn; a O b = ab – b2, calcula
(4 2) O (1 – 2).
Si
Si x + 1
1
(x + 2)(x + 3)=
Calcula el valor de n en:
1 + 2 + 3 + ... + n =
6
13
n = 3n – 5; x = 6x + 7, halla el valor de E.
E = 2 + 2
Si x = x2 – 1; x = x (x + 2).
Encuentra 3 + 2
2
.
Dada la siguiente tabla:
a b c d
a b c d a
b c d a b
c d a b c
d a b c d
Si se sabe que la operación © cumple la propiedad
conmutativa.
Halla el valor de x en:
[(x b) c] (d d) = (a c) b
© 1 2 3 4 5
1 3 4 5 1 2
2 4 5 1 n 3
3 m 1 2 3 4
4 1 2 3 4 5
5 2 3 p 5 1
Determina el valor de 3m + 2n – p.
Se define ♥ en el conjunto M = {1; 2; 3; 4; 5}
mediante la siguiente tabla.
♥ 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 1
3 3 4 5 1 2
4 4 5 1 2 3
5 5 1 2 3 4
Dadas las ecuaciones: 1 ♥ b = 2; b ♥ c = 1; a ♥ c = 5
Calcula: (a–1 ♥ b–1)–1 ♥ c–1
Donde: a–1 elemento inverso de a.
Si x y = ;
x + y
x – y
1
5
1
5
3
5
1
3
1
3
determina .
–2 4
8 ∆ 2
A – B – C
D E
m m + 5
2
= ; si m es impar
m m + 4
2
= ; si m es par
Encuentra el valor de 7 6– .
A 9 B 16 C 25 D 36 E 64
A d B c C b D a E x
A 3 B 6 C 9 D 12 E 15
A 5 B 4 C 2 D 1 E 3
A 6 B 9 C 12
D 15 E 18
A 0 B 1 C 2
D 3 E 4
A 12 B 24 C 36
D 40 E 48
A 24 B 22 C 20
D 18 E 16
1 6
2
3
7
4
8
5
9
Tema
85MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Principios fundamentales
del conteo
Principio aditivo
Si un evento A puede ocurrir en m formas y un segundo evento B puede ocurrir en
n formas y ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea, entonces E o F
pueden ocurrir en m + n formas distintas.
Ejemplos:
a) Un estudiante se matricula a un curso de la universidad y podría elegir a su profesor
entre 3 hombres y 2 mujeres. ¿De cuántas maneras distintas podrá elegir a su
profesor?
Como podría elegir cualquiera de los 3 profesores o las 2 profesoras.
3 + 2 = 5
Por lo tanto, este estudiante tiene cinco opciones para elegir.
b) En una biblioteca hay 3 libros de novelas de misterio diferentes, 5 novelas de
romance y 4 novelas de aventura diferentes. ¿De cuántas maneras distintas se
puede elegir un libro de esa biblioteca?
Como podría elegir cualquiera de las 3 novelas de misterio o las 5 de romance o las
4 de aventura.
3 + 5 + 4 = 12
Por lo tanto, existen 12 formas de escoger una novela.
En los problemas de conteo, el conector lógico disyuntivo «o» se convierte en
una suma.
Principio multiplicativo
Si un evento A puede efectuarse de n formas diferentes y si continuando el procedimiento,
un segundo evento B puede realizarse de m formas, entonces el número de formas en
que los eventos pueden realizarse será n × m maneras distintas.
Ejemplos:
a) El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas
maneras se puede elegir un almuerzo de un plato caliente y un postre?
Se puede hacer una lista de todas las posibilidades, pero es mucho más práctico
aplicar el principio de la multiplicación: Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y
para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre.
3 × 4 = 12
Por lo tanto, hay 12 maneras distintas de pedir un menú en dicho restaurante.
b) ¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con las
27 letras del alfabeto y los números 0; 1; 2; ...; 9?
Utilizando el principio de multiplicación: hay 27 maneras de elegir la letra y para
cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número.
27 × 10 = 270
Por lo tanto, hay 270 maneras distintas de formar un código.
En los problemas de conteo, el conector lógico conjuntivo «y» se convierte en
una multiplicación.
Contar es un
proceso de
abstracción que
nos lleva a otorgar
un número cardinal
como representativo
de un conjunto.
De manera práctica
se utiliza el principio
aditivo en aquellas
situaciones donde
encaje el conector
lógico disyuntivo (o)
y el principio
multiplicativo en
aquellas situaciones
donde encaje el
conector lógico
conjuntivo (y).
Los principios del
conteo son
utilizados mucho
en el estudio de la
Estadística y las
probabilidades.
Cuando un evento
se realiza
inmediatamente
después de otro, se
pueden considerar
como consecutivos
y por lo tanto se
debería multiplicar
para calcular el total
de formas en las que
se pueden realizar.
11
Recu e rda
86
Jorge quiere viajar desde Lima hasta Trujillo y al
recibir informes de las agencias se percata que
existen 3 líneas de transporte aéreo y 5 líneas
terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podría
viajar Jorge?
¿Cuántos resultados diferentes se obtiene en el
lanzamiento de un dado o una moneda?
Si se sabe que desde Lima hasta ica existen
tres caminos diferentes y de ica hasta Ayacucho
existen cuatro caminos distintos. ¿De cuántas
maneras diferentes podría viajar una persona
desde Lima hasta Ayacucho, pasando por ica?
¿Cuántos resultados diferentes se tiene al lanzar
un dado y una moneda?
¿Cuántos resultados diferentes se obtiene al
lanzar dos dados de diferente color?
Se lanzan tres dados, uno después de otro.
¿Cuántos posibles resultados se pueden obtener,
si se sabe que cada dado tiene un resultado
diferente?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Lima ica Ayacucho
Como debe ir desde Lima hasta ica y desde ica
hasta Ayacucho, se debe multiplicar.
3 × 4 = 12
Rpta. Podría viajar de 12 maneras distintas.
Una moneda tiene dos posibles resultados:
{cara, sello}
Un dado tiene seis posibles resultados:
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
Como se lanza el dado y la moneda, se debe
multiplicar.
Se lanzan dos dados de diferente color:
Se lanzan tres dados:
Resolución:
Como puede viajar por vía aérea o vía terrestre,
se deben sumar las cantidades.
3 + 5 = 8
Rpta. Podría viajar de 8 maneras distintas.
6 × 2 = 12
y
Rpta. Se tiene 12 resultados diferentes.
Se lanzó un dado o una moneda.
6 + 2 = 8
o
Rpta. Se obtiene 8 resultados diferentes.
6 × 6 = 36
y
Rpta. Se obtiene 36 resultados diferentes.
Rpta. Se pueden obtener 120 resultados posibles.
y
y
y
y
Es un caso normal, se multiplicaría 6 × 6 × 6 = 216,
pero como los resultados deben ser diferentes, se
debeir restando una posibilidad a cada dado a
partir del segundo lanzamiento.
6 × 5 × 4 = 120
Ejercicios resueltos
1 4
2
3
5
6
87MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Resolución:
Un producto se arma en tres etapas: para la primera
etapa se tienen disponibles 5 líneas de armado,
para la segunda 4 y para la tercera 6 líneas de
armado. ¿De cuántas maneras distintas puede
moverse el producto en el proceso de armado?
Un producto se vende en tres mercados, en el
primero se tiene disponible en 6 tiendas, en el
segundo en 5 tiendas y en el tercer mercado en
4 tiendas. ¿De cuántas maneras distintas puede
adquirir una persona un artículo de dicho producto?
Juan Carlos tiene cinco pantalones y seis
camisas, todos de distintos colores. ¿De cuántas
maneras puede escoger las prendas, sabiendo
que el pantalón marrón se lo debe poner siempre
con la camisa crema y viceversa?
En un salón hay 12 mujeres y 17 caballeros. ¿De
cuántas maneras se podría elegir una pareja para
que los represente en un concurso de baile, si se
sabe que Martina se rehúsa a formar una pareja
con Hugo y con Julio?
Juan tiene tres pantalones de distintos colores
y cinco polos diferentes. ¿De cuántas maneras
podrá combinar las prendas para vestirse?
¿Qué pasaría si dos de los pantalones fueran
exactamente iguales?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Como el producto debe pasar por cada una de
las etapas para ser producido, es decir, por la
primera etapa y la segunda etapa y la tercera
etapa, entonces se multiplica.
Como se va adquirir un solo artículo, este puede
ser comprado en el primer mercado o en el
segundo mercado o en el tercer mercado, por lo
tanto se debe sumar las cantidades En este caso se le debe restar una prenda tanto a los
pantalones como a las camisas por la exclusividad
que tienen la camisa crema y el pantalón marrón.
Como una pareja debe estar formada por un
hombre y una mujer se debe mutiplicar, pero al
final se le debe restar el número de parejas que
no se pueden formar.
Como debe utilizar pantalón y polo para vestirse,
se debe multiplicar.
5 × 4 × 6 = 120
6 + 4 + 5 = 15 pantalón y camisas
(5 – 1) × (6 – 1)
4 × 5 = 20
3 × 5 = 15
2 × 5 = 10
1.er mercado o 2.o mercado o 3.er mercado
Si dos pantalones fueran iguales, entonces solo
deberíamos considerar que tiene 2 pantalones
diferentes.
Rpta. Existen 120 formas distintas de producir un
artículo.
Rpta. Existen 15 formas distintas de producir un
artículo.
Rpta. Tiene 21 formas distintas de vestirse.
Rpta. En el primer caso tenían 15 formas distintas
de vestirse y en el segundo tenían 10.
pantalón y polo
pantalón y polo
1 2
María tiene seis blusas y tres faldas, todas las
prendas de distinto color. ¿De cuántas maneras
se podría vestir María, si se sabe que la falda
crema se la pone siempre con la blusa blanca?
Resolución:
Como debe utilizar blusa y falda para vestirse, se
debe multiplicar, Pero, como la falda se la pone
siempre con la blusa blanca, se debe restar una
prenda a las faldas, puesto que dicha falda no se
podrá combinar con las otras blusas.
faldas y blusas
(3 – 1) × 6 = 12
12 + 1 = 13
Rpta. Tiene 13 formas distintas de vestirse.
Se le debe sumar una por el conjunto
formado por la falda crema y la blusa
blanca.
⇒ 20 + 1 = 21
17 × 12 = 204
Parejas que no se pueden formar
Martina Hugo
Julio 2{
204 – 2 = 202
Rpta. Se pueden formar 202 parejas.
7 10
8
9
11
12
88
Si se sabe que Pedro tiene cuatro pantalones, seis
camisas y cinco pares de zapatos, todos de diferentes
colores. Responde cada una de las preguntas.
¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?
¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse,
si tres de las camisas fueran iguales?
¿De cuántas maneras distintas se puede entrar y
salir de dicho edificio?
¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa
blanca siempre la usa con el pantalón azul?
¿De cuántas maneras distintas podrá vestirse,
si el pantalón azul y la camisa blanca forman un
conjunto exclusivo?
Si se sabe que un edificio tiene cinco puertas diferentes
en su hall principal. Responde las preguntas.
¿De cuántas maneras distintas se puede entrar a
dicho edificio?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
¿De cuántas maneras distintas se puede entrar y
salir de dicho edificio, si se sabe que para salir se
tiene que utilizar una puerta diferente a la que se
entró?
Rpta.
Resolución:
Si se sabe que de Lima a Chimbote existen cinco
caminos diferentes y de Chimbote a Chiclayo hay seis
caminos también diferentes, responde las preguntas.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir
desde Lima hasta Chiclayo, pasando siempre por
Chimbote?
Rpta.
Resolución:
Ejercicios de aplicación
1
2
4
3
6
8
5
7
89MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir
desde Lima hasta Chiclayo y regresar, si la ruta
de regreso debe ser diferente a la de ida?
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener
en el lanzamiento de tres dados de diferente color?
¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir desde
Lima hasta Chiclayo y regresar hasta Lima?
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener
en el lanzamiento de cinco monedas de diferente
denominación?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Un producto se vende en tres mercados: en el
primero se tiene disponible en 3 tiendas, en el
segundo en 4 tiendas y en el tercer mercado
en 5 tiendas. Si tiene que ir a los 3 mercados,
¿de cuántas maneras distintas puede adquirir
una persona tres artículos de dicho producto,
comprando uno en cada mercado?
¿De cuántas maneras distintas se puede formar
un código que está formado por dos símbolos, si
se sabe que el primer símbolo es una vocal y el
segundo una cifra del 3 al 8?
En una carrera participan 8 corredores. ¿De
cuántas maneras distintas podrían llegar los dos
primeros puestos?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Del siguiente esquema, donde cada letra
representa un punto y cada línea un camino:
¿De cuántas maneras se puede ir desde A hasta
E sin pasar dos veces por un mismo punto y sin
retroceder?
A B
C
D
E
Rpta.
Resolución:
El Colegio de Contadores debe elegir un
representante entre 8 máster, 9 doctores y
4 nuevos colegiados. ¿De cuántas maneras
diferentes se podrá elegir al representante?
Rpta.
Resolución:
9 14
13 17
11
16
10
15
12
90
Se sabe que una casa tiene del jardín a la sala
5 puertas y de allí al comedor hay 6 puertas. ¿De
cuántas formas se puede ir del jardín al comedor
pasando por la sala?
Una persona que va de visita al hospital, tiene que
sacar un pase que tiene como clave, una letra o un
número de una cifra. ¿Cuántos pases diferentes
podrá sacar?
Un salón de clases tiene 10 alumnos a los cuales
se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones
distintas se tiene para ocupar los 3 primeros
puestos, si no hay empate?
¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir
una persona que tiene 6 ternos, de los cuales
2 son iguales; 5 pares de medias, de las cuales
3 son iguales; 2 pares de zapatos; 8 corbatas y
6 camisas, de las cuales 3 son iguales?
Se lanzan tres dados diferentes al piso, ¿de
cuántas maneras distintas se pueden obtener
resultados diferentes en los tres dados?
Paola tiene 6 pantalones y 6 camisas, todos de
distintos colores. ¿De cuántas maneras se podrá
vestir, si el pantalón blanco se lo debe poner
siempre con la camisa roja?
Maritza tiene para vestirse: 6 blusas, 2 pantalones,
3 faldas, 4 pares de zapatos. ¿De cuántas
maneras diferentes se podrá vestir de forma que
no puede utilizar falda y pantalón juntos?
¿Cuántos resultados posibles se puedenobtener
en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y
3 dados, si se sabe que todos estos elementos
son diferentes?
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A
hasta C sin retroceder?
A CB
Con cinco retazos de tela, ¿cuántas
banderas bicolores se pueden
formar? Se sabe que los retazos son
de colores diferentes y la bandera
debe tener la forma mostrada.
A 25 B 30 C 35
D 40 E 45
A 36 B 35 C 31
D 30 E 29
A 270 B 260 C 250
D 243 E 240
A 30 B 72 C 170
D 510 E 720
A 8 B 15 C 125
D 6912 E 7525
A 25 B 24 C 23
D 21 E 20
A 48 B 36 C 20
D 16 E 11
A 104 B 114 C 120
D 140 E 144
A 216 B 150 C 125
D 120 E 36
A 480 B 960 C 966
D 980 E 2880
2 7
8
3
9
5
4
10
Practica y demuestra
1 6
Tema
91MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Factorial de un número
12
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente
en análisis combinatorio y análisis matemático. Es por esto que se hace necesario y
fundamental el dominio de esta operación.
definición
El factorial del número n se define como el producto de todos los números enteros
positivos hasta el número n. Este operador matemático universal se denota con los
símbolos: n! o n y se lee «factorial del número n», «factorial de n» o «n factorial»,
donde el valor del número n debe ser entero y no puede ser negativo.
n = n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × (n – 1) × n
De donde se deduce que:
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Además, es importante saber que por convención, es decir, por un acuerdo entre
matemáticos, el valor del factorial de 0 es igual a 1, ya que sin esta consideración no
serviría la teoría de Análisis combinatorio.
0! = 1
Propiedad
Esta propiedad servirá para degradar un factorial, es decir, expresar el valor del factorial
de un número entero cualquiera en función del factorial de otro número menor que él.
n! = n × (n – 1)!
De tal forma que ahora se puede expresar los siguientes factoriales de distintas
maneras:
5! = 5 × 4! 8! = 8 × 7 × 6! m! = m × (m – 1)!
10! = 10 × 9! 16! = 16 × 15 × 14! p! = p × (p – 1) × (p – 2)!
De tal manera que al momento en que se tenga que simplificar o reducir una expresión
con factoriales el proceso sería el siguiente:
Ahora pues, se entiende que para simplificar una expresión que contenga el operador
factorial, lo que se debe hacer es degradar al mayor número y llevarlo hasta que sea
igual al valor del menor para que se pueda eliminar o factorizar.
10!
7!
=a)
10 × 9 × 8 × 7!
7!
= 10 × 9 × 8 = 720
12! + 11!
10!
=b)
12 × 11 × 10! + 11 × 10!
10!
= 12 × 11 + 11 = 143
Recuerda que solo
estamos trabajando
con el factorial de
números naturales
(0; 1; 2; 3; 4; 5; ...).
n!! se lee «cofactorial
de n» o «doble
factorial de n» y
su definición va a
depender de si el
número n es par o
impar. Si n es par
será igual al producto
de todos los pares
positivos hasta n, si
es impar será igual
al producto de todos
los impares positivos
hasta n.
Ejemplo:
4!! = 2 × 4
6!! = 2 × 4 × 6
5!! = 1 × 3 × 5
11!! = 1 × 3× 5 ×7 × 9 × 11
Cantidad de ceros
en los que termine el
resultado de un
factorial va a
depender de la
cantidad de veces
que aparezca
el factor 5 en su
desarrollo.
Ejemplo:
5! Termina en 1 cero.
10! Termina en 2 ceros.
15! Termina en 3 ceros.
20! Termina en 4 ceros.
25! Termina en 6
ceros, puesto que
el 25 tiene dos
factores 5 en su
descomposición
canónica.
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320
9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362 880
Recu e rda
92
Calcula el valor de:
P = [(1! + 1)! + 1]!
Si se sabe que a = 2 × 2! ∧ b = 4! + 0! , halla el
valor de E = (a × b)b – a.
Determina E.
Encuentra la suma de los valores que toma x en:
(x – 5)! = 1
P = [(1! + 1)! + 1]!
P = [2! + 1]!
P = [3]!
P = 6
a = 2 × 2!
a = 2 × 2
a = 4
b = 4! + 0!
b = 24 + 1
b = 25
b = 5
E = (a × b)b – a
E = (4 × 5)5 – 4
E = 201 = 20
Resolución:
Rpta. 6
Rpta. 11
Rpta. 12
Rpta. 2
Rpta. 20
Rpta. 7
Resolución:
Resolución:
Resolución:
E =
5! + 6! + 7!
5! + 6!
E =
5! + 6 × 5! + 7 × 6 × 5!
5! + 6 × 5!
E =
5!(1 + 6 + 7 × 6)
5!(1 + 6)
E =
7 + 7 × 6
7
E =
7(1 + 6)
7
E = 7
(x – 5)! = 1! ∨ (x – 5)! = 0!
x – 5 = 1 x – 5 = 0
x = 6 x = 5
Suma de valores 6 + 5 = 11.
Se sabe que .Vnk =
n!
(n – k)!
Calcula el valor de .E =
V
10
2 × V
8
3
V
7
5
Resolución:
E =
10!
(10 – 2)!
×
8!
8 – 3!
7!
(7 – 5)!
=
10!
8!
×
8!
5!
7!
2!
E =
10!
5!
7!
2!
=
10! × 2!
7! × 5!
=
10 × 9 × 8 × 7! × 2!
7! × 5 × 4 × 3 × 2!
2
1
3
1
2
1
E = 2 × 3 × 2
E = 12
Reduce e indica el valor de R.
R =
8(4 7 )2
8! × 8!
Resolución:
R =
8 (4 × 7!)2
8 × 7! × 8 × 7!
R =
8 × 16 × (7!)2
8 × 8 × (7!)2
R =
16
8
R = 2
Ejercicios resueltos
1 4
2
3
5
6
93MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Expresa el valor de E como factorial.
E = 3 × 6 × 9 × 12 × … × (3n)
Encuentra el valor de n.
Halla el valor de M.
M = 20 × 19 × 18!18!
Resolución:
Resolución:
Entonces:
Resolución:
E = 3 × 6 × 9 × 12 × … × (3n)
n factores
Agrupando:
E = (3 × 3 × … × 3) × (1 × 2 × 3 × ... × n)
n factores
E = 3n × (n!)
Rpta. 3n × (n!)
Rpta. 1
Rpta. 3
Rpta. (n + 1)! – 1!
20!
18!M = +
19!
17! +
18!
16! +
17!
15! + ... +
3!
1! +
2!
0!
+ 19 × 18 × 17!17! +
18 × 17 × 16!
16! +
... + 3 × 2 × 1!1! +
2 × 1 × 0!
0!
M = 20 × 19 + 19 × 18 + 18 × 17 + ... + 3 × 2 + 2 × 1
M = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 19 × 20
M =
19 × 20 × 21
3
M = 2660
Rpta. 2660
(n + 3)! × (n + 5)!
(n + 3)! + (n + 4)!
= 120
(n + 3)! × (n + 5)!
(n + 3)! + (n + 4)(n + 3)!
= 120
(n + 3)! × (n + 5)!
(n + 3)! × (1 + n + 4) = 120
(n + 5)(n + 4)!
n + 5 = 120
(n + 4)! = 5!
n + 4 = 5 ⇒ n = 1
Si (n + 3)! = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n, calcula la suma
de los valores de n.
Resolución:
Factorizando el lado derecho
n(n3 + 6n2 + 11n + 6)
Aplicando Ruffini
1 6 11 6
–1 –1 –5 –6
1 5 6 0
–2 –2 –6
1 3 0
(n + 3)! = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 3)(n + 2)(n + 1) × n × (n – 1)! = n × (n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n – 1)! = 1
(n – 1)! = 1! ∨ (n –1)! = 0!
n – 1 = 1 n – 1 = 0
n = 2 n = 1 ⇒ suma de valores
2 + 1 = 3
Halla el valor de:
1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …… + n × n!
Resolución:
(2 – 1) × 1! + (3 – 1) × 2! + (4 – 1) × 3! + ((n + 1) –1) × n!
2 × 1! – 1! + 3 × 2! – 2! + 4 × 3! – 3! + ... + (n + 1) × n! – n!
2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! + ... + (n + 1)! – n!
Agrupando
= 2! + 3! + 4! + ... + n! + (n + 1)! – (1! + 2! + 3! + ... + n!)
= (n + 1)! – 1!
7 10
8 11
12
Rpta. 168
Resolución:
Determina A + B si se sabe que A = 10! 12!9! 11! y
B = 1! 2! 3! 4! 5!
6!
.
A =
10 × 9! × 12 × 11!
9! × 11! = 10 × 12 = 120
B = 1! × 2! × 3! × 4! × 5!
6!
= 1 × 2 × 6 × 24 × 5!6 × 5! = 48
∴ A + B = 120 + 48
A + B = 168
9
94
Ejercicios de aplicación
Calcula F.
Halla el valor de B.
Determina M.
Encuentra el valor de x en la expresión.
(x − 6)! = 1F =
15! + 16!
15! + 16! + 17!
B =
4! × 15!
7! × 13!
3!
M =
n! + (n – 1)!
(n + 1)!
Simplifica.
m! (m – 2)!
(m – 3)! (m + 1)!
Calcula el valor de la expresión.
U =
31! × 64!
2 × 32! × 63!
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
1
2
4
3 6
5
95MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Halla el valor de n si [(n! + 2)! – 4]! = 20! Simplifica.
Simplifica.
Simplifica.
(x – m – 1)! (m + 1)!
(x – m)! m!
E =
35! × 87! × 3 × 4! × 15!
17! × 87 × 86 × 36! × 84!
P =
32! × 24!
23! × 33!
Efectúa.
A = 3! 2!
0! – 2! 3!
1!
Reduce M.
M = a! + (a – 1)! + (a + 1)!
a! + (a + 2)! – a(a – 1)! + (a + 2)!
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
8
11
9
12
107
96
Practica y demuestraDetermina el producto de los valores que toma n
en: (n + 7)! = 1.
Calcula el producto de los 16 primeros números
pares positivos, en forma de factorial.
Encuentra el valor de L.
L = (1! + 2!)2 + (2! + 3!)2 + (3! + 4!)2
Calcula (3! – 2!)! + 1!
5
!
Efectúa .
.
.
24!
23!
+ 30!
28!
Simplifica 18! × 35!
36! × 17!
Halla E =
C62
× C53
C42
, si =Cnk
n!
(n – k)! k!
.
Reduce 5 × 10 × 15 × 20 × ... × 550
108! × 62528
Halla el valor de (n3 – 3) en
(n!)!
n! = 23!
Encuentra el valor de b, si se cumple que
24(b!) = 3(4!) + 21(5!) + 12(4!).
A 102 B 82 C 64
D 41 E 2
A 4 B 21 C 24
D 63 E 61
A 214 × 32 B 214 × 16
C 16! D 216 × 32
E 216 × 16!
A 42 B 49 C –42
D –49 E 36
A 83 B 749 C 894
D 896 E 904
A 18 B
1
4 C
1
2
D 2 E 35 A 23983 B
2398
5 C
2298
3
D 22985 E
2298
7
A 100 B 105 C 110
D 120 E 125 A 5 B 12 C 24
D 120 E 125
A 625 B 225 C 125
D 15 E 25
1 6
2
7
3
8
4
9
5
10
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
e
di
to
re
s®
3
Secundaria
Matemática
Delta
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localizaciónMás contenidos de este tema
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