Aula12

Prévia do material em texto

Estat́ıstica
Departamento de Estat́ıstica / UFPB
Módulo: Probabilidade
4. Probabilidade
4.1 Teoria dos Conjuntos
4.2 Espaço Amostral e Eventos
4.2 Definições de Probabilidade
4.4 Probabilidade da União de Eventos
4.5 Probabilidade Condicional
4.6 Teorema da Multiplicação e Independência
4.7 Teorema da Probabilidade Total
4.8 Teorema de Bayes
1 13
Probabilidade Condicional
Definição: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra Ω, onde P pAq ą 0. A probabilidade de B ocorrer
condicionada a A ter ocorrido é:
P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
Observação:
Se P pAq ą 0 e P pBq ą 0, então
P pA{Bq “
P pAXBq
P pBq
e P pB{Aq “
P pAXBq
P pAq
.
Portanto, temos a seguinte identidade:
P pAXBq “ P pBqP pA{Bq “ P pAqP pB{Aq.
2 13
Teorema do Produto de dois Eventos
O teorema do produto (ou multiplicação) é utilizado quando temos o interesse em determinar a probabilidade
de que dois eventos ocorram em sequência.
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral Ω, então:
P pAXBq “ P pBqP pA|Bq
P pAXBq “ P pAqP pB|Aq
Esse teorema é consequência direta da definição de probabilidade condicional.
3 13
Exemplo 1
Dois carros são selecionados em uma linha de produção com
12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade
de ambos os carros serem defeituosos.
Solução:
1. Sejam os eventos A: o primeiro carro é defeituoso e B: o segundo carro é defeituoso.
Queremos encontrar P pAXBq “?.
2. Note que esse tipo de seleção é sem reposição, quando selecionar o 1ª carro, teremos um carro a menos na
segunda seleção. Portanto, A e B são eventos condicionados.
3. P pAXBq “ P pAqP pB{Aq “
5
12
¨
4
11
“
20
132
“ 0,1515...
4 13
Exemplo 2
Urna 1 Urna 2A urna U1 possui 2 bolas azuis e 3 amarelas. A urna U2 possui 3
bolas azuis e 2 amarelas. Uma bola é selecionada aleatoriamente
da urna U1 e colocada na urna U2. Em seguida, uma bola é
selecionada aleatoriamente da urna U2. Qual é a probabilidade
das bolas selecionadas nas urnas U1 e U2 serem ambas azuis?
Solução:
1. Sejam os eventos U1: a bola retirada da urna 1 é azul e U2: a bola retirada da urna 2 é azul.
Queremos encontrar P pU1 X U2q “?.
2. Note que, a retirada da bola da urna 2 depende de qual bola foi retirada na urna 1. Portanto, U1 e U2 são
eventos condicionados.
3. P pU1 X U2q “ P pU1qP pU2{U1q “
2
5
¨
4
6
“
8
30
“ 0,2666...
5 13
Teorema da Multiplicação
Considere a sequência de eventos tA1, A2, . . . , Anu de um mesmo espaço amostral Ω. A probabilidade da
interseção destes conjuntos é definida por:
P pA1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X Anq “ P pA1qP pA2{A1qP pA3{A1 X A2q ¨ ¨ ¨P pAn{A1 X A2 X A3 X ¨ ¨ ¨ X An´1q.
Em particular, para dois, três e quatro eventos, a dedução da fórmula é:
Dois eventos: P pA1 X A2q “ P pA1qP pA2{A1q
Três eventos: P pA1 X A2 X A3q “ P pA1qP pA2 X A3{A1q
“ P pA1qP pA2{A1qP pA3{A1 X A2q
Quatro eventos: P pA1 X A2 X A3 X A4q “ P pA1qP pA2 X A3 X A4{A1q
“ P pA1qP pA2{A1qP pA3 X A4{A1 X A2q
“ P pA1qP pA2{A1qP pA3{A1 X A2qP pA4{A1 X A2 X A3q
6 13
Exemplo 3
Três carros são selecionados em uma linha de produção com 12 uni-
dades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de todos os
três carros serem defeituosos.
Solução:
1. Sejam os eventos A1: o 1ª carro é defeituoso, A2: o 2ª carro é defeituoso e A3: o 3ª carro é defeituoso.
Queremos encontrar P pA1 X A2 X A3q “?.
2. P pA1 X A2 X A3q “ P pA1qP pA2{A1qP pA3{A1 X A2q
“
5
12
¨
4
11
¨
3
10
“
60
1320
“ 0,04545...
7 13
Exemplo 4
Urna 1 Urna 2 Urna 3A urna U1 possui 2 bolas azuis e 3 amarelas. A urna
U2 possui 3 bolas azuis e 2 amarelas. A urna U3
possui 3 bolas azuis e 3 bolas amarelas. Uma bola
é selecionada aleatoriamente da urna U1 e colocada
na urna U2. Em seguida, uma bola é selecionada
aleatoriamente da urna U2 e colocada na urna U3. Por fim, uma bola é selecionada aleatoriamente da urna U3.
Qual é a probabilidade das bolas selecionadas nas urnas U1, U2 e U3 serem todas azuis?
Solução:
1. Sejam os eventos U1: a bola retirada da urna 1 é azul, U2: a bola retirada da urna 2 é azul e U3: a bola
selecionada da urna 3 é azul.
Queremos encontrar P pU1 X U2 X U3q “?.
2. P pU1 X U2 X U3q “ P pU1qP pU2{U1qP pU3{U1 X U2q
“
2
5
¨
4
6
¨
4
7
“
32
210
“ 0,1524.
8 13
Independência de Eventos
Dois eventos A e B, de um mesmo espaço amostra Ω, são ditos independentes se a probabilidade de um deles
ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:
P pA{Bq “ P pAq ou P pB{Aq “ P pBq ou P pAXBq “ P pAq ¨ P pBq.
Exemplos de eventos independentes:
De uma urna com 4 bolas azuis e 5 bolas amarelas são retiradas duas bolas com reposição. Se Ai é o
evento a i-ésima bola retirada é azul, para i “ 1, 2, então A1 e A2 são independentes.
Um dado é lançado quatro vezes. Seja Ai o evento: a i-ésima face do dado é 6, para i “ 1, 2, 3, 4, então
A1, A2, A3 e A4 são independentes.
9 13
Exemplo 5:
Urna 1De uma urna com 4 bolas azuis e 5 bolas amarelas são retiradas duas bolas
com reposição. Considere os eventos: Ai: a i-ésima bola retirada é azul, para
i “ 1, 2. Qual é a probabilidade das bolas selecionadas serem todas azuis?
Solução:
Como o sorteio é com reposição, a configuração da urna na segunda retirada é a mesma da primeira, portanto
A1 e A2 são independentes.
P pA1 X A2q “ P pA1qP pA2q “
4
9
¨
4
9
“
16
81
“ 0,1975.
10 13
Exemplo 6:
Um dado é lançado quatro vezes. Seja Ai o evento: a i-ésima face do dado é 6, para i “ 1, 2, 3, 4.
Qual é a probabilidade de ocorrer a face 6 em todos os lançamentos.
Solução:
Cada lançamento do dado tem a mesma configuração, portanto A1, A2, A3 e A4 são independentes. Então,
P pA1 X A2 X A3 X A4q “ P pA1qP pA2qP pA3qP pA4q “
1
6
¨
1
6
¨
1
6
¨
1
6
“
1
1296
“ 0,0008.
11 13
Exemplo 7
Sejam dois eventos A e B associados a um experimento. Sendo P pAq “ 0,3, P pBq “ p e P pAYBq “ 0,8.
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Solução:
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
Se A e B são disjuntos, então AXB “ H e consequentemente P pAXBq “ P pHq “ 0. Então,
P pAYBq “ P pAq ` P pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p. Portanto, p “ 0,8´ 0,3 “ 0,5.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Se A e B são independentes, então P pAXBq “ P pAqP pBq e consequentemente
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAqP pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p´ 0,3p.
0,8´ 0,3 “ p1´ 0,3qp ÞÝÑ 0,5 “ 0,7p ÞÝÑ p “
0,5
0,7
“ 0,7143.
12 13
Exemplo 7
Sejam dois eventos A e B associados a um experimento. Sendo P pAq “ 0,3, P pBq “ p e P pAYBq “ 0,8.
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Solução:
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
Se A e B são disjuntos, então AXB “ H e consequentemente P pAXBq “ P pHq “ 0. Então,
P pAYBq “ P pAq ` P pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p. Portanto, p “ 0,8´ 0,3 “ 0,5.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Se A e B são independentes, então P pAXBq “ P pAqP pBq e consequentemente
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAqP pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p´ 0,3p.
0,8´ 0,3 “ p1´ 0,3qp ÞÝÑ 0,5 “ 0,7p ÞÝÑ p “
0,5
0,7
“ 0,7143.
12 13
Exemplo 7
Sejam dois eventos A e B associados a um experimento. Sendo P pAq “ 0,3, P pBq “ p e P pAYBq “ 0,8.
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Solução:
a) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são disjuntos.
Se A e B são disjuntos, então AXB “ H e consequentemente P pAXBq “ P pHq “ 0. Então,
P pAYBq “ P pAq ` P pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p. Portanto, p “ 0,8´ 0,3 “ 0,5.
b) Encontre o valor de p quando os eventos A e B são independentes.
Se A e B são independentes,então P pAXBq “ P pAqP pBq e consequentemente
P pAYBq “ P pAq ` P pBq ´ P pAqP pBq, ou seja, 0,8 “ 0,3` p´ 0,3p.
0,8´ 0,3 “ p1´ 0,3qp ÞÝÑ 0,5 “ 0,7p ÞÝÑ p “
0,5
0,7
“ 0,7143.
12 13
Referências Bibliográficas
Os livros BUSSAB e MORETTIN (2017), COSTA NETO (2002) estão dispońıvel na Minha Biblioteca, que é
uma base de livros eletrônicos, em português, que reúne milhares de t́ıtulos acadêmicos das diversas áreas do
conhecimento. Para acessar a Biblioteca você deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta
sequência no menu: Biblioteca ´ ą Pesquisar Livros Digitais ´ ą Minha Biblioteca.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estat́ıstica Básica. 9ª. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
COSTA NETO, P. L. O. Estat́ıstica. 2ª. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. Dispońıvel em:
xhttps://sigaa.ufpb.bry.
13 / 13
https://sigaa.ufpb.br
https://sigaa.ufpb.br