Modelagem de sistemas mecânicos

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Modelagem de Sistemas 
Dinâmicos
Sistemas Mecânicos
Mola
𝐹𝑒 = 𝐾∆𝑥
Lei de Hooke
❑ Fe: Força elástica (N);
❑ Δx: Deformação da mola (m);
❑ k: Constante elástica (N/m)
Associação de Molas
1. Molas em série Vamos procurar uma única mola 
equivalente ao conjunto serie, ou seja, 
com a mesma força aplicada obter o 
mesmo deslocamento (deformação):
keq
0
0
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2
𝐹
𝑘𝑒𝑞
=
𝐹
𝑘1
+
𝐹
𝑘2
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
𝑘𝑒𝑞 =
𝑘1𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
Produto 
pela Soma
𝑘𝑒𝑞𝑥 = 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥
Associação de Molas
2. Molas em paralelo Vamos procurar uma única mola 
equivalente ao conjunto paralelo, ou seja, 
com a mesma força aplicada obter o 
mesmo deslocamento (deformação):
keq
0
𝐹 = 𝐹𝑒1 + 𝐹𝑒2
0
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2
Amortecedor
A força aplicada pelos amortecedores é diretamente proporcional 
a velocidade de movimentação relativa de suas extremidades.
❑ Um amortecedor a pistão é um dispositivo que proporciona atrito viscoso, e 
consiste em um pistão e um cilindro com óleo.
❑ Qualquer movimento relativo entre a haste do pistão e o cilindro encontra a 
resistência do óleo, porque este deve fluir em volta do pistão (ou através de 
orifícios no próprio pistão), de um lado a outro.
𝐹𝑎 = b ሶ𝑧 − ሶ𝑥
b: coeficiente de atrito 
viscoso
Associação de Amortecedores
1. Amortecedores em paralelo Vamos procurar um único 
amortecedor equivalente ao conjunto 
paralelo, ou seja, com a mesma força 
aplicada obter o mesmo deslocamento:
𝑥 𝑦
𝑏𝑒𝑞
𝐹 = 𝐹𝑎1 + 𝐹𝑎2
𝑏𝑒𝑞 ሶ𝑦 − ሶ𝑥 = 𝑏1 ሶ𝑦 − ሶ𝑥 + 𝑏2 ሶ𝑦 − ሶ𝑥
𝑏𝑒𝑞 = 𝑏1 + 𝑏2
Associação de Amortecedores
2. Amortecedores em série Vamos procurar um único amortecedor 
equivalente ao conjunto série, ou seja, 
com a mesma força aplicada obter o 
mesmo deslocamento:
ሶ𝑦 − ሶ𝑥 = ሶ𝑧 − ሶ𝑥 + ( ሶ𝑦 − ሶ𝑧)
𝐹
𝑏𝑒𝑞
=
𝐹
𝑏1
+
𝐹
𝑏2
1
𝑏𝑒𝑞
=
1
𝑏1
+
1
𝑏2
𝑏𝑒𝑞 =
𝑏1𝑏2
𝑏1 + 𝑏2
Produto 
pela Soma
𝑏𝑒𝑞
𝑥 𝑦
Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro sem massa. 
Considere que o carro e seu sistema de massa-mola-amortecedor estejam parado 
para t < 0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro e a entrada do sistema. 
Em t = 0, o carro se move em velocidade constante, ou ሶ𝑢= constante. O 
deslocamento y(t) da massa é a saída. Encontre a função de transferência.
Segunda Lei de Newton para translação
Aplicando a transformada de Laplace para condições iniciais nulas temos:
𝒎𝒔𝟐𝒀 𝒔 + 𝒃𝒔𝒀 𝒔 + 𝒌𝒀 𝒔 = 𝒃𝒔𝑼 𝒔 + 𝒌𝑼(𝒔)
Função de Transferência
Exercício: Obtenha as funções de transferência X1(s)/U(s) e X2(s)/U(s) do 
sistema mecânico abaixo: